1、1偏微分方程偏微分方程21.1 基本概念n數學物理方程通常是指物理學、力學、工程技術和其他學科中出現的偏微分方程。n反映有關的未知變量關于時間的導數和關于空間變量的導數之間的制約關系。n連續介質力學、電磁學、量子力學等等方面的基本方程都屬于數學物理方程的范圍。31.1 基本概念n偏微分方程是指含有未知函數以及未知函數的某些偏導數的等式。（1.1.1）（1.1.2）（1.1.3）（1.1.4）（1.1.5）41.1 基本概念n偏微分方程的一般形式注：F中可以不顯含自變量和未知函數，但是，必須含有未知函數的某個偏導數。涉及幾個未知函數及其偏導數的多個偏微分方程構成一個偏微分方程組。注：除非特別說明

2、，一般假設函數u及其在方程中的各階偏導數連續。51.1 基本概念（1.1.1）（1.1.2）（1.1.3）（1.1.4）（1.1.5）61.1 基本概念（1.1.1）（1.1.2）（1.1.3）（1.1.4）（1.1.5）如果一個偏微分方程對未知函數及它的所有偏導數都是線性的，且它們的系數都是僅依賴于自變量的已知函數，則這樣的偏微分方程稱為線性偏微分方程。71.1 基本概念對于一個非線性偏微分方程，如果它關于未知函數的最高階偏導數是線性的，則稱它是擬線性偏微分方程。例81.1 基本概念對于線性偏微分方程而言，將方程中不含未知函數及其偏導數的項稱為自由項。當自由項為零時，該方程稱為齊次方程，否則

3、稱為非齊次方程。注：齊次、非齊次是對線性偏微分方程而言的。（1.1.1）（1.1.2）（1.1.3）9 1.1 基本概念101.1 基本概念111.1 基本概念121.1 基本概念131.1 基本概念141.1 基本概念151.1 基本概念161.1 基本概念171.1 基本概念181.2 三類經典方程的導出例1.2.1 弦的微小橫振動問題弦的微小橫振動問題弦振動方程是在18世紀由達朗貝爾等人首先給予系統研究的。設有一根長為L均勻柔軟富有彈性的細弦，平衡時沿直線拉緊，在受到初始小擾動下，作微小橫振動。試確定該弦的運動方程。191.2 三類經典方程的導出假設：假設：1. 細弦，就是與張力相比，弦

4、的重量可以忽略不計。2. 有彈性，表示張力的大小可以按胡可（Hooke）定律來計算。3. 柔軟，是指弦可以彎曲，同時發生于弦中張力的方向總是沿著弦所在曲線的切線方向。4. 橫振動，是指弦的運動只發生在一個平面上，且弦上各點的位移與弦的平衡位置垂直。5. 微小橫振動，是指振動的幅度及弦在任意處切線的傾角都很小。201.2 三類經典方程的導出211.2 熱傳導方程的導出例例 1.2.2 熱傳導方程熱傳導方程所謂熱傳導，就是物體內溫度較高的點處的熱量向溫度較低點處的流動。熱傳導問題歸結為求物體內部溫度的分布規律。221.2 熱傳導方程的導出設物體在內無熱源。在中任取一封閉曲面S。以函數u(x,y,z

5、,t)表示物體在t時刻M=M(x,y,z)處的溫度。231.2 熱傳導方程的導出241.2 熱傳導方程的導出251.2 熱傳導方程的導出261.2 熱傳導方程的導出下面考慮物體內部有熱源（例如物體中通有電流，或有化學反應等情況）。設在單位時間內單位體積中所產生的熱量為F(x,y,z,t)，則則有熱源的熱傳導方程為271.2 熱傳導方程的導出無熱源的情況下得到的熱傳導方程：有熱源的情況下得到的熱傳導方程：稱為齊次熱傳導方程稱為非齊次熱傳導方程281.2 熱傳導方程的導出291.2 熱傳導方程的導出301.2 拉普拉斯方程的導出311.2 泊松方程的導出設空間中有一電荷密度為(x,y,z)的靜電場

6、。在此電場內任取一由封閉曲面S包圍的區域，由靜電學基本原理知，通過S向外的電通量等于中總電量的4倍。即其中E為電場強度矢量，n為上的單位外法線向量。321.2 泊松方程的導出又由庫侖定律知，靜電場是有勢的。即存在靜電位勢u=u(x,y,z)，使E=-grad u代入上式，得靜電位勢u滿足以下的泊松方程即331.2 拉普拉斯方程和泊松方程的導出341.3 定解條件與定解問題一個偏微分方程與定解條件一起構成對于具體問題的完整描述，稱為定解問題。定解問題中的偏微分方程稱為泛定方程。常見的定解條件，可分為初始條件與邊界條件。351.3.1 初始條件361.3.1 初始條件371.3.1 初始條件381

7、.3.1 初始條件391.3.2邊界條件401.3.2邊界條件411.3.2邊界條件421.3.2邊界條件431.3.2邊界條件441.3.2邊界條件451.3.2邊界條件461.3.2邊界條件471.3.2邊界條件481.3.2邊界條件491.3.2邊界條件501.3.3定解問題一個偏微分方程與定解條件一起構成對于具體問題的完整描述，稱為定解問題。511.3.3定解問題521.3.3定解問題531.3.3定解問題54551.3.3定解問題561.3.3定解問題571.3.3定解問題581.3.3定解問題591.3.3定解問題601.4定解問題的適定性定解問題的提法是否合適？例如：這個定解問題

8、的解是否一定存在？解的存在性問題這個定解問題的解是否只有一個？解的唯一性問題此外，還要考慮解的穩定性問題（或稱為解對定解條件或自由項的連續依賴性問題），即當定解條件或自由項作很小的變化時，問題的解是否也作很小的變化。定解問題的存在性、唯一性、穩定性統稱為定解問題的適定性。如果一個定解問題的解是存在的、唯一的、穩定的，稱這個問題是適定的，即認為這樣的定解問題的提法是合適的。611.4定解問題的適定性621.4定解問題的適定性631.4定解問題的適定性641.5 線性疊加原理651.5 線性疊加原理661.5 線性疊加原理671.5 線性疊加原理681.5 線性疊加原理691.5 線性疊加原理疊加

9、原理的適用范圍非常廣泛。疊加原理對于用線性方程和線性定解條件描述的物理現象來說，都是成立的。例如，一維熱傳導方程及其定解問題的疊加原理。701.5 線性疊加原理711.5 線性疊加原理721.5 線性疊加原理731.5 線性疊加原理特解 通解通解分析分析741.5 線性疊加原理751.5 線性疊加原理761.5 線性疊加原理77第二章 二階線性偏微分方程的分類和標準型二階線性偏微分方程的分類和標準型782.1兩個自變量的二階線性PDE的分類和標準型792.1兩個自變量的二階線性PDE的分類和標準型802.1兩個自變量的二階線性PDE的分類和標準型根據復合函數求導法則，有812.1兩個自變量的二

10、階線性PDE的分類和標準型822.1兩個自變量的二階線性PDE的分類和標準型記記 的符號是自變量可逆變換下的不變量832.1兩個自變量的二階線性PDE的分類和標準型注：混合型的 退縮的842.1兩個自變量的二階線性PDE的分類和標準型852.1兩個自變量的二階線性PDE的分類和標準型定理：設(x,y)滿足隱函數存在定理中的條件，則(x,y)是方程（2.1.10）的解的充要條件是(x,y)=c是一階常微分方程的通積分。證明： 設(x,y)是方程（2.1.10）的解。862.1兩個自變量的二階線性PDE的分類和標準型872.1兩個自變量的二階線性PDE的分類和標準型雙曲型方程的第一標準形式雙曲型方

11、程的第一標準形式882.1兩個自變量的二階線性PDE的分類和標準型雙曲型方程的第二標準形式雙曲型方程的第二標準形式雙曲型方程的第一標準形式和第二標準形式統稱為雙曲型方程的標準形式雙曲型方程的第一標準形式和第二標準形式統稱為雙曲型方程的標準形式892.1兩個自變量的二階線性PDE的分類和標準型拋物型方程的標準形式902.1兩個自變量的二階線性PDE的分類和標準型912.1兩個自變量的二階線性PDE的分類和標準型922.1兩個自變量的二階線性PDE的分類和標準型橢圓型方程的標準形93 2.1兩個自變量的二階線性PDE的分類和標準型942.1兩個自變量的二階線性PDE的分類和標準型952.1兩個自變

12、量的二階線性PDE的分類和標準型96 第三章第三章 波動方程的初值（柯西）問題與行波法波動方程的初值（柯西）問題與行波法973.1一維波動方程的初值（柯西）問題983.1一維波動方程的初值（柯西）問題993.1一維波動方程的初值（柯西）問題1003.1一維波動方程的初值（柯西）問題1013.1一維波動方程的初值（柯西）問題1023.1一維波動方程的初值（柯西）問題1033.1一維波動方程的初值（柯西）問題1043.1一維波動方程的初值（柯西）問題1053.1一維波動方程的初值（柯西）問題1063.1一維波動方程的初值（柯西）問題1073.1一維波動方程的初值（柯西）問題1083.1一維波動方程的初值（柯西）問題1093.1一維波動方程的初值（柯西）問題1103.1一維波動方程的初值（柯西）問題1113.1一維波動方程的初值（柯西）問題1123.1一維波動方程的初值（柯西）問題1133.1一維波動方程的初值（柯西）問題1143.1一維波動方程的初值（柯西）問題1153.1一維波動方程的初值（柯西）問題1163.1一維波動方程的初值（柯西）問題117 1183.1一維波動方程的初值（柯西）問題1193.1一維波動方程的初值（柯西）問題1203.1一維波動方程的初值（柯西）問題1213.1一維波動方程的