1、1990年全國碩士研究生入學統一考試數學三試題一、填空題(本題滿分15分,每小題3分.把答案填在題中橫線上.)(1) 極限_.(2) 設函數有連續的導函數,若函數在處連續,則常數=_.(3) 曲線與直線所圍成的平面圖形的面積為_.(4) 若線性方程組有解,則常數應滿足條件_.(5) 一射手對同一目標獨立地進行四次射擊,若至少命中一次的概率為,則該射手的命中率為_. 二、選擇題(本題滿分15分,每小題3分.每小題給出的四個選項中,只有一項符合題目要求,把所選項前的字母填在題后的括號內.)(1) 設函數,則是 ( )(A) 偶函數 (B) 無界函數 (C) 周期函數 (D) 單調函數(2) 設函數

2、對任意均滿足等式,且有其中為非零常數,則 ( ) (A) 在處不可導 (B) 在處可導,且(C) 在處可導,且 (D) 在處可導,且(3) 向量組線性無關的充分條件是 ( )(A) 均不為零向量(B) 中任意兩個向量的分量不成比例(C) 中任意一個向量均不能由其余個向量線性表示(D) 中有一部分向量線性無關(4) 設為兩隨機事件,且,則下列式子正確的是 ( )(A) (B) (C) (D) (5) 設隨機變量和相互獨立,其概率分布為-1 1 -1 1 則下列式子正確的是 ( )(A) (B) (C) (D) 三、計算題(本題滿分20分,每小題5分.)(1) 求函數在區間上的最大值.(2) 計算

3、二重積分,其中是曲線和在第一象限所圍成的區域.(3) 求級數的收斂域.(4) 求微分方程的通解.四、(本題滿分9分)某公司可通過電臺及報紙兩種形式做銷售某種商品的廣告,根據統計資料,銷售收入(萬元)與電臺廣告費用(萬元)及報紙廣告費用(萬元)之間的關系有如下經驗公式:(1) 在廣告費用不限的情況下,求最優廣告策略；(2) 若提供的廣告費用為1.5萬元,求相應的最優廣告策略.五、(本題滿分6分)設在閉區間上連續,其導數在開區間內存在且單調減少；,試應用拉格朗日中值定理證明不等式:,其中常數滿足條件.六、(本題滿分8分)已知線性方程組(1) 為何值時,方程組有解?(2) 方程組有解時,求出方程組的

4、導出組的一個基礎解系；(3) 方程組有解時,求出方程組的全部解.七、(本題滿分5分)已知對于階方陣,存在自然數,使得,試證明矩陣可逆,并寫出其逆矩陣的表達式(為階單位陣).八、(本題滿分6分)設是階矩陣,和是的兩個不同的特征值,是分別屬于和的特征向量.試證明不是的特征向量.九、(本題滿分4分)從十個數字中任意選出三個不同數字,試求下列事件的概率：三個數字中不含0和5；三個數字中不含0或5.十、(本題滿分5分)一電子儀器由兩個部件構成,以和分別表示兩個部件的壽命(單位:千小時),已知和的聯合分布函數為:(1) 問和是否獨立?(2) 求兩個部件的壽命都超過100小時的概率.十一、(本題滿分7分)某

5、地抽樣調查結果表明,考生的外語成績(百分制)近似服從正態分布,平均成績為72分,96分以上的占考生總數的2.3%,試求考生的外語成績在60分至84分之間的概率.附表0 0.5 1.0 1.5 2.0 2.5 3.0 0.500 0.692 0.841 0.933 0.977 0.994 0.999 表中是標準正態分布函數.1990年全國碩士研究生入學統一考試數學三試題解析一、填空題(本題滿分15分,每小題3分.)(1)【答案】【解析】對原式進行分子有理化,分子分母同乘以有理化因子.,再分子分母同時除以,有 原式.因為,其中為常數,所以原式(2)【答案】【解析】由于在處連續,故.為“”型的極限未

6、定式,又在點處導數存在,所以.【相關知識點】函數在點連續：設函數在點的某一鄰域內有定義,如果則稱函數在點連續.(3)【答案】【解析】O2先解出兩條曲線在平面的交點,即令,解得和,故所圍成的平面圖形如右圖所示:所求面積為 (4)【答案】【解析】由于方程組有解,對作初等行變換,第一行乘以加到第四行上,有 ,第二行加到第四行上,再第三行乘以加到第四行上,有.為使,常數應滿足條件:.【相關知識點】非齊次線性方程組有解的判定定理：設是矩陣,線性方程組有解的充分必要條件是系數矩陣的秩等于增廣矩陣的秩,即是(或者說,可由的列向量線表出,亦等同于與是等價向量組).設是矩陣,線性方程組,則（1） 有唯一解 （2

7、） 有無窮多解 （3） 無解 不能由的列向量線表出.(5)【答案】【解析】這是一個四重伯努利試驗概率模型,設試驗的成功率即射手的命中率為,則進行四次獨立的射擊, 設事件為“射手命中目標的次數”,服從參數的二項分布,由二項分布的概率公式,事件“四次均不中”的概率為,它是至少命中一次的對立事件.依題意 .本題的另一種分析方法是用隨機變量表示獨立地進行射擊中命中目標的次數,表示一次射擊的命中率,則,依題意即【相關知識點】二項分布的概率公式：若,則,.二、選擇題(本題滿分15分,每小題3分.)(1)【答案】(B)【解析】由于,而,所以,故無界.或考察在的函數值,有,可見是無界函數.應選(B).以下證明

8、其他結論均不正確. 由,知(A)不正確；由,而,知(D)不正確.證明(C)不正確可用反證法.設,于是的定義域為且的全部零點為若以為周期,則有令有即.從而,其中為某一正數.于是也是的周期.代入即得,對有這表明在上成立,于是在上成立,導致了矛盾. 故不可能是周期函數.【相關知識點】極限的四則運算法則:若,則有 .(2)【答案】(D)【解析】通過變量代換或按定義由關系式將在的可導性與在的可導性聯系起來.令,則.由復合函數可導性及求導法則,知在可導,且,因此,應選(D).【相關知識點】復合函數求導法則:如果在點可導,而在點可導,則復合函數在點可導,且其導數為 或 .(3)【答案】(C)【解析】本題考查

9、線性無關的概念與理論,以及充分必要性條件的概念.(A)(B)(D)均是必要條件,并非充分條件.也就是說,向量組線性無關,可以推導出(A)(B)(D)選項,但是不能由(A)(B)(D)選項中的任意一個推導出向量組線性無關.例如:顯然有,該向量組線性相關.但(A)(B)(D)均成立.根據“線性相關的充分必要條件是存在某可以由線性表出.”或由“線性無關的充分必要條件是任意一個均不能由線性表出.”故選(C).(4)【答案】A【解析】由于,所以,于是有.故本題選A. 對于B選項,因為,所以事件發生,則事件必然發生,所以,而不是,故B錯.對于C選項,因為,由條件概率公式,當是相互獨立的事件時,才會有；所以

10、C錯.對于D選項,因為,所以事件發生事件不發生是個不可能事件,故,所以(D)錯.(5)【答案】(C)【解析】由離散型隨機變量概率的定義,有 .故本題選(C).而(B)、(D)選項是錯誤的.對于(A)選項,題目中只說了隨機變量和相互獨立,且他們的概率分布相同,但是二者是不同的事件,并不能說事件與事件是同一事件.故(A)錯.三、計算題(本題滿分20分,每小題5分.)(1)【解析】在上,故函數在上單調增加,最大值為.由,有.【相關知識點】1.對積分上限的函數的求導公式：若,均一階可導,則.2.假定與均具有連續的導函數,則 或者 (2)【解析】區域是無界函數,設,不難發現,當時有,從而 (3)【解析】

11、因系數,故,這樣,冪級數的收斂半徑.因此當,即時級數絕對收斂.當時,得交錯級數；當時,得正項級數,二者都收斂,于是原級數的收斂域為.【相關知識點】1.求收斂半徑的方法：如果,其中是冪級數的相鄰兩項的系數,則這冪級數的收斂半徑2.交錯級數的萊布尼茨判別法：設交錯級數滿足：(1) (2)則收斂,且其和滿足余項3級數：當時收斂；當時發散.(4)【解析】方法1:所給方程為一階線性微分方程,可直接利用通解公式求解.方法2: 用函數同乘方程兩端,構造成全微分方程.方程兩端同乘,得,再積分一次得.最后,再用同乘上式兩端即得通解.【相關知識點】一階線性非齊次方程的通解為 , 其中為任意常數.四、(本題滿分9分

12、)【解析】(1)利潤為銷售收入減去成本,所以利潤函數為 由多元函數極值點的必要條件,有因駐點惟一,且實際問題必有最大值,故投入電臺廣告費用0.75萬元,報紙廣告費用1.25萬元可獲最大利潤.(2)若廣告費用為1.5萬元,則應當求利潤函數(與(1)中解析式相同)在時的條件最大值.拉格朗日函數為由 因駐點惟一,且實際問題必有最大值,故應將廣告費1.5萬元全部用于報紙廣告,可使利潤最大.【相關知識點】拉格朗日乘數法:要找函數在附加條件下的可能極值點,可以先作拉格朗日函數其中為參數.求其對與的一階偏導數,并使之為零,然后與附加條件聯立起來：由這方程組解出及,這樣得到的就是函數在附加條件下的可能極值點.

13、五、(本題滿分6分)【解析】方法1:當時,即不等式成立；若,因為 其中.又單調減少,故.從而有,即.方法2:構造輔助函數,將式子移到不等式右邊,再將視為變量,得輔助函數令,由于,所以,又因為且,在單調減少,所以,于是在上單調遞增,故,即,其中.【相關知識點】拉格朗日中值定理：如果函數滿足在閉區間上連續；在開區間內可導,那么在內至少有一點,使等式成立.六、(本題滿分8分)【解析】本題中,方程組有解.(相關定理見第一題(4)對增廣矩陣作初等行變換,第一行乘以、分別加到第二、四行上,有,第二行乘以、分別加到第三、四行上,第二行再自乘,有(1) 當且,即時方程組有解.(2) 當時,方程組的同解方程組是

14、由,即解空間的維數為3.取自變量為,則導出組的基礎解系為.(3) 令,得方程組的特解為.因此,方程組的所有解是,其中為任意常數.【相關知識點】若、是對應齊次線性方程組的基礎解系,則的通解形式為其中是的基礎解系,是的一個特解.七、(本題滿分5分)【解析】若、是階矩陣,且則必有于是按可逆的定義知.如果對特征值熟悉,由可知矩陣的特征值全是0,從而的特征值全是1,也就能證明可逆.由于,故.所以可逆,且.八、(本題滿分6分)【解析】(反證法)若是的特征向量,它所對應的特征值為,則由定義有：.由已知又有 .兩式相減得 .由,知不全為0,于是線性相關,這與不同特征值的特征向量線性無關相矛盾.所以,不是的特征

15、向量.【相關知識點】矩陣特征值與特征向量的定義：設是階矩陣,若存在數及非零的維列向量使得成立,則稱是矩陣的特征值,稱非零向量是矩陣的特征向量.九、(本題滿分4分)【解析】樣本空間含樣本點總數為；即十個數字任意選三個有多少種選擇方案.有利于事件的樣本點數為；十個數字除去0和5任意選三個有多少種選擇方案.有利于事件的樣本點數為；十個數字除去0任意選三個的選擇方案和十個數字除去5任意選三個的選擇方案再減去中間多算了一次的方法數,即是事件被加了兩次,所以應該減去.由古典型概率公式, .【相關知識點】古典型概率公式：.十、(本題滿分5分)【解析】(1) 由連續型隨機變量邊緣分布的定義,且(為常數)有 和

16、的邊緣分布函數分別為由于對任意實數都滿足.因此和相互獨立.(2) 因為和相互獨立,所以有 .十一、(本題滿分7分)【解析】若已知正態分布的期望和方差,在計算有關概率時可將其轉化為標準正態分布的有關概率,通過表計算.但是正態分布的參數與未知時,則應先根據題設條件求出與的值,再去計算有關事件的概率.設為考生的外語成績,依題意有,且,但未知.所以可標準化得.由標準正態分布函數概率的計算公式,有查表可得 ,即, .1990年全國碩士研究生入學統一考試數學三試題解析一、填空題(本題滿分15分,每小題3分.)(1)【答案】【解析】對原式進行分子有理化,分子分母同乘以有理化因子.,再分子分母同時除以,有 原

17、式.因為,其中為常數,所以原式(2)【答案】【解析】由于在處連續,故.為“”型的極限未定式,又在點處導數存在,所以.【相關知識點】函數在點連續：設函數在點的某一鄰域內有定義,如果則稱函數在點連續.(3)【答案】【解析】O2先解出兩條曲線在平面的交點,即令,解得和,故所圍成的平面圖形如右圖所示:所求面積為 (4)【答案】【解析】由于方程組有解,對作初等行變換,第一行乘以加到第四行上,有 ,第二行加到第四行上,再第三行乘以加到第四行上,有.為使,常數應滿足條件:.【相關知識點】非齊次線性方程組有解的判定定理：設是矩陣,線性方程組有解的充分必要條件是系數矩陣的秩等于增廣矩陣的秩,即是(或者說,可由的

18、列向量線表出,亦等同于與是等價向量組).設是矩陣,線性方程組,則（4） 有唯一解 （5） 有無窮多解 （6） 無解 不能由的列向量線表出.(5)【答案】【解析】這是一個四重伯努利試驗概率模型,設試驗的成功率即射手的命中率為,則進行四次獨立的射擊, 設事件為“射手命中目標的次數”,服從參數的二項分布,由二項分布的概率公式,事件“四次均不中”的概率為,它是至少命中一次的對立事件.依題意 .本題的另一種分析方法是用隨機變量表示獨立地進行射擊中命中目標的次數,表示一次射擊的命中率,則,依題意即【相關知識點】二項分布的概率公式：若,則,.二、選擇題(本題滿分15分,每小題3分.)(1)【答案】(B)【解

19、析】由于,而,所以,故無界.或考察在的函數值,有,可見是無界函數.應選(B).以下證明其他結論均不正確. 由,知(A)不正確；由,而,知(D)不正確.證明(C)不正確可用反證法.設,于是的定義域為且的全部零點為若以為周期,則有令有即.從而,其中為某一正數.于是也是的周期.代入即得,對有這表明在上成立,于是在上成立,導致了矛盾. 故不可能是周期函數.【相關知識點】極限的四則運算法則:若,則有 .(2)【答案】(D)【解析】通過變量代換或按定義由關系式將在的可導性與在的可導性聯系起來.令,則.由復合函數可導性及求導法則,知在可導,且,因此,應選(D).【相關知識點】復合函數求導法則:如果在點可導,

20、而在點可導,則復合函數在點可導,且其導數為 或 .(3)【答案】(C)【解析】本題考查線性無關的概念與理論,以及充分必要性條件的概念.(A)(B)(D)均是必要條件,并非充分條件.也就是說,向量組線性無關,可以推導出(A)(B)(D)選項,但是不能由(A)(B)(D)選項中的任意一個推導出向量組線性無關.例如:顯然有,該向量組線性相關.但(A)(B)(D)均成立.根據“線性相關的充分必要條件是存在某可以由線性表出.”或由“線性無關的充分必要條件是任意一個均不能由線性表出.”故選(C).(4)【答案】A【解析】由于,所以,于是有.故本題選A. 對于B選項,因為,所以事件發生,則事件必然發生,所以

21、,而不是,故B錯.對于C選項,因為,由條件概率公式,當是相互獨立的事件時,才會有；所以C錯.對于D選項,因為,所以事件發生事件不發生是個不可能事件,故,所以(D)錯.(5)【答案】(C)【解析】由離散型隨機變量概率的定義,有 .故本題選(C).而(B)、(D)選項是錯誤的.對于(A)選項,題目中只說了隨機變量和相互獨立,且他們的概率分布相同,但是二者是不同的事件,并不能說事件與事件是同一事件.故(A)錯.三、計算題(本題滿分20分,每小題5分.)(1)【解析】在上,故函數在上單調增加,最大值為.由,有.【相關知識點】1.對積分上限的函數的求導公式：若,均一階可導,則.2.假定與均具有連續的導函

22、數,則 或者 (2)【解析】區域是無界函數,設,不難發現,當時有,從而 (3)【解析】因系數,故,這樣,冪級數的收斂半徑.因此當,即時級數絕對收斂.當時,得交錯級數；當時,得正項級數,二者都收斂,于是原級數的收斂域為.【相關知識點】1.求收斂半徑的方法：如果,其中是冪級數的相鄰兩項的系數,則這冪級數的收斂半徑2.交錯級數的萊布尼茨判別法：設交錯級數滿足：(1) (2)則收斂,且其和滿足余項3級數：當時收斂；當時發散.(4)【解析】方法1:所給方程為一階線性微分方程,可直接利用通解公式求解.方法2: 用函數同乘方程兩端,構造成全微分方程.方程兩端同乘,得,再積分一次得.最后,再用同乘上式兩端即得

23、通解.【相關知識點】一階線性非齊次方程的通解為 , 其中為任意常數.四、(本題滿分9分)【解析】(1)利潤為銷售收入減去成本,所以利潤函數為 由多元函數極值點的必要條件,有因駐點惟一,且實際問題必有最大值,故投入電臺廣告費用0.75萬元,報紙廣告費用1.25萬元可獲最大利潤.(2)若廣告費用為1.5萬元,則應當求利潤函數(與(1)中解析式相同)在時的條件最大值.拉格朗日函數為由 因駐點惟一,且實際問題必有最大值,故應將廣告費1.5萬元全部用于報紙廣告,可使利潤最大.【相關知識點】拉格朗日乘數法:要找函數在附加條件下的可能極值點,可以先作拉格朗日函數其中為參數.求其對與的一階偏導數,并使之為零,

24、然后與附加條件聯立起來：由這方程組解出及,這樣得到的就是函數在附加條件下的可能極值點.五、(本題滿分6分)【解析】方法1:當時,即不等式成立；若,因為 其中.又單調減少,故.從而有,即.方法2:構造輔助函數,將式子移到不等式右邊,再將視為變量,得輔助函數令,由于,所以,又因為且,在單調減少,所以,于是在上單調遞增,故,即,其中.【相關知識點】拉格朗日中值定理：如果函數滿足在閉區間上連續；在開區間內可導,那么在內至少有一點,使等式成立.六、(本題滿分8分)【解析】本題中,方程組有解.(相關定理見第一題(4)對增廣矩陣作初等行變換,第一行乘以、分別加到第二、四行上,有,第二行乘以、分別加到第三、四行上,第二行再自乘,有(1) 當且,即時方程組有解.(2) 當時,方程組的同解方程組是由