1、數列中的類比推理例1在等差數列 a 沖，若a10 = 0 ,則有等式a1 a 亠ana1 a-a19j(n : 19, n 二N )成立，類比上述性質，相應地：在等比數列中,若b9 1，則有等式成立分析本題考查等差數列與等比數列的類比一種較本質的認識是：等差數列 用減法定義一性質用加法表述(若 m,n,p,qN* ,且m n = p q,則 am aap - aq)；等比數列一用除法定義十質用乘法表述(若 m,n,p,qN * ,且m n p q,則 am a. =ap aq).由此，猜測本題的答案為：Db2bn 初2b17_n (n : 17, nN*).事實上，對等差數列 n匚，如果ak

2、- 0，則an 1 a2k_n = a* .2 a2k_2_n =二 ak ak =0. 所以有：a1 a a a1 - a an (an 1 a“ 2 梟 a2k_n *22)(n : 2k -1,nN ).從而對等比數列 f *，如果bk = 1，則有等式： db2 bn 二 b(b2 b2k丄(n ： 2k -1 ,n N *)成立.評注 本題是一道小巧而富于思考的妙題，主要考查觀察分析能力， 抽象概括能力，考查運用類比的思想方法由等差數列：n 而得到等比數列 江的新的一般性的結論。例2.定義“等和數列”，在一個數列中，如果每一項與它的后一項的和都為同一常數，那么這個數列叫做等和數列，

3、這個常數叫做該數列的公和。已知數列an 等和數列，且a 2 ,公和為5。那么a18的值為，這 個數列前n項和Sn的計算公式為。分析：此題類比等差數列定義給出“等和數列”定義，解決此類問題要認真理解所給出的定 義，結合所學知識尋求正確解決方法。解： an是等和數列，3)= 2，公和為5,二 a2 = 3，則 a = 2 , a4 = 3，知 a2n = 3 , a2n = 2( n N*)。二 a18 = 3，數列 an 形如：2, 3, 2, 3, 2, 3,5n(n為偶數)25 n -1 n為奇數2 2評注：這是一道新情境題型，關鍵要吃透定義，對于n為奇數時，551Sn=Sn，2 n - 1

4、i亠 2 n 一。222本題以“等和數列”為載體，解決本題的關鍵是課本中所學的等差數列的有關知識及其數 學活動的經驗，本題還考查分類討論的數學思想方法。例3若數列an( n N*)是等差數列，則有數列bn /1 恥 an ,(nN*)也是等差數列；類比上述性質，相應地：若數n列Cn( nN)是等比數列，且Cn0，貝U有數列dn,(n乏N )也是等比數列。解析:由已知“等差數列前n項的算術平均值是等差數列”可類比聯想“等比數列前n項的幾何平均值也應該是等比數列”不難得到dn =5 c2 c3 cn,(nN *)也是等比數列評析：本題只須由已知條件的特征從形式和結構上對比猜想不難挖掘問題的突破口。

5、二、函數中的類比推理例4 (2003年上海春招高考題)設函數1f(x：x2，利用課本中推導等差數列前n項和公式的方法，可求得f (-4) f (0) f (5) f (6)的值為分析此題利用類比課本中推導等差數列前n項和公式的倒序相加法，觀察每一個因式的特點，嘗試著計算f(x) f(1 -X):1x,，f(1 -X)22x1z 2 2 2 2x1 2x2 2，2 2x 1 +丄夕 - f(x) f(1 - x)=進，發現 f(x) f(1 -x)正好是一個定值，.2S = 2 12，S =3、2.2評注此題依據大綱和課本，在常見中求新意，在平凡中見奇巧，將分析和解決問題的 能力的考查放在了突出

6、的位置 本題通過弱化或強化條件與結論，揭示出它與某類問題的聯系與區別并變更出新的命題 這樣，通過從課本出發，無論是對內容的發散，還是對解題思 維的深入，都能收到固本拓新之用，收到“秀枝一株，嫁接成林”之效，從而有效于發展學 生創新的思維。1 + f (x)例5:已知“ R，a為常數，且f(x+a)=，問f(x)是不是周期函數，若是求出周期，若不是說明理由。分析：由 f(x - a)二-一空 聯想到tan(x ) = tanX，找到一個具體函數，1 - f (x)41 - tan xf (x) = tanx及a，而函數y = tanx的周期T =二=4a猜想f (x)是一個周期為4a的4函數。這

7、樣方向明，思路清。證明f(x a) aJ f(x a)L，1 - f (x)1 f(x a) f (x)f (x 4a) = f (x2a)2a=1f(x 2a)二 f(x),. f(x)的周期 T =4a例4(2003年上海春招高考題)已知函數33f(x) =x -x33g(x)二 x x(1)證明f(x)是奇函數，并求f(x)的單調區間.(2)分別計算f(4) -5f(2)g(2)和f (9) -5 f (3)g(3)的值，由此概括出涉及函數f (x)和g(x)的對所有不等于零的實數x都成立的一個等式，并加以證明分析 (1)略;(2)分別計算得f(4)-5f(2)g(2)和f (9) -

8、5f (3)g(3)的值都為零，由此概括出對所有不等于零的實數 x有：f (x2)-5f (x) q(x) =0.如果將式子f(x2) -5f (x) q(x) =0中的 5 改成字母 ( =0)，可進一步推廣2 .f (x ) -，f (x) g(x) =0.評注 由數字型向字母型類比推廣相當于從特例向一般推廣，但其實質都是一般化策略.正如波利亞在其怎樣解題中所闡述的一般化思想：“一般化就是從考慮一個對象，過渡到考慮包含該對象的一個集合，或者從考慮一個較小的集 合過渡到考慮一個包含該較小的集合的更大集合。”四、立體幾何中的類比推理例10. ( 2002年上海春招題)若從點O所作的兩條射線 O

9、M、ON上分別有點M1、M2與.而：靈.若從點所作的不在同一個點N1、N2，則三角形面積之比為：S M1N1M1 N1SM2N2平面內的三條射線 OP、OQ和OR上分別有點 P、P2與點Q1、Q2和R1、R2，則類似的結論為：.分析 在平面中是兩三角形的面積之比，憑直覺可猜想在空間應是體積之比，故猜想.（證明略）VoQtR OP-! OQ1 OR1VO _P2Q2R2 OP2 OQ2 OR2評注 本題主要考查由平面到空間的類比要求考生由平面上三角形面積比的結論類比得出空間三棱錐體積比的相應結論又在2004年廣東高考數學試卷中出現本題的類題。例11. （ 2003年全國高考題）在平面幾何中，有勾

10、股定理：“設厶ABC的兩邊AB、AC 互相垂直，則 AB2 AC2二BC2. ”拓展到空間，類比平面幾何的勾股定理，研究三棱錐“設三棱錐A-BCD的三個側面的側面面積與底面面積間的關系，可以得出的正確結論是:ABC、ACD、ADB兩兩相互垂直，則通常可抓住幾何要素的如下對應關系作對比:面一 邊二面角 一平面角分析關于空間問題與平面問題的類比，多面體 一 多邊形； 體積面積；面積 一線段長； 由此，可類比猜測本題的答案：S.ABC S.ACD S.ADB - S.BCD （證明略）評注本題考查由平面幾何的勾股定理到空間的拓展推廣，因此平時的教學與復習中要 注意類比等思想方法的學習，更要注意研究性

11、學習在數學中的適時切入。五、解析幾何中的類比推理例14. （ 2003年上海春招題）已知橢圓具有性質：若M、N是橢圓C上關于原點對稱的兩個點，點P是橢圓上任意一點，當直線PM、PN的斜率都存在,并記為 kPM、kPN時,那么kpM與kpN之積是與點P的位置無關的定值2x試對雙曲線a2b2二1寫出具有類似特性的性質，并加以證明2分析類似的性質為：若M、N是雙曲線務a2-占=1上關于原點對稱的兩個點， 點P是雙 b2那么kPM與kPN之2 里 x2-b2.a曲線上任意一點，當直線PM、PN的斜率都存在，并記為kPM、kPN時, 積是與點P的位置無關的定值.證明：設點 M、P的坐標為（m, n ）、

12、（ x, y），則N （- m,n） 2 b 22因為點M（ m,n）在已知雙曲線上，所以 n2m-b2，同理ya2 2 , 2 2 2 , 2則kpMkPNy -n yny-nbx-mb2 2 222 2x-mxmx-max-ma評注本題以橢圓、雙曲線為載體，考查直線的斜率，橢圓、雙曲線的概念與方程，考查數學運算能力。同類之間的類比在圓錐曲線中，常常以姐妹題形式出現，這樣對學生思維和素質的考查具有很好的功能，而且題型新穎，避免了傳統的考法的單調。例4 (2001年上海高考題)已知兩個圓： x2+y2=l :x2+(y-3)2=1,則由式減去式 可得兩圓的對稱軸方程。 將上述命題在曲線仍為圓的

13、情況下加以推廣，即要求得到一個更一般的命題，而已知命題應成為所推廣命題的一個特例，推廣的命題為.分析：本題給出了求兩圓的對稱軸方程的方法，考查抽象思維能力和推廣數學命題的 能力。將題設中所給的特殊方程、推廣到一般情況：設圓的方程為(x-a)2+(y-b)2=r22 2 2(x-c) +(y-d) =r _ _ 2 2 2 2(a c或b工d),則由-可得兩圓的對稱軸方程為2(c-a)x+2(d-b)y+a +b -c -d =0六. 新定義、新運算中的類比a + b例15、若記號“*”表示兩個實數a與b的算術平均的運算，即a b，則兩邊均含2有運算符號“ * ”和“ + ”，且對于任意 3個實

14、數a, b, c都能成立的一個等式可以是解析：由于本題是探索性和開放性問題，問題的解決需要經過一定的探索過程，并且答案不a + b惟一。這題要把握住 a b，還要注意到試題的要求不僅類比推廣到三個數，而且2等式兩邊均含有運算符號“ *”和“ + ”，則可容易得到a+ (b* c) = (a+b) * (a+c)。正確 的結論還有： (a b) +c= (a c) + (b c) , ( a” b) +c= (b a) +c 等。例16、電子計算機中使用二進制，它與十進制的換算關系如下表：十進制123456二進制11011100101110觀察二進制1位數，2位數，3位數時，對應的十進制的數，當二進制為6位數能表示十進制中最大的數是 解：通過閱讀，不難發現：0 0 1 0 1 0 1 2 0 1 21 =1 2 ,2 =0 21 2 ,3 =1 21 2 ,4 =0 20 21 2 ,5