1、立體幾何基礎題題庫一（有詳細答案）1、二面角是直二面角，設直線與所成的角分別為1和2，則（A）1+2=900 （B）1+2900 （C）1+2900 （D）1+2900解析：C如圖所示作輔助線，分別作兩條與二面角的交線垂直的線，則1和2分別為直線AB與平面所成的角。根據最小角定理：斜線和平面所成的角，是這條斜線和平面內經過斜足的直線所成的一切角中最小的角2. 下列各圖是正方體或正四面體，P，Q，R，S分別是所在棱的中點，這四個點中不共面的一個圖是 （A） （B） （C） （D）D解析： A項：底面對應的中線，中線平行QS，PQRS是個梯形B項： 如圖C項：是個平行四邊形D項：是異面直線。3.

2、有三個平面，下列命題中正確的是 （A）若，兩兩相交，則有三條交線 （B）若，則 （C）若，=a，=b，則ab （D）若，=，則=D解析：A項：如正方體的一個角，三個平面相交，只有一條交線。B項：如正方體的一個角，三個平面互相垂直，卻兩兩相交。C項：如圖4. 如圖所示，在正方體ABCDA1B1C1D1的側面AB1內有一動點P到直線AB與直線B1C1的距離相等，則動點P所在曲線的形狀為C解析：平面AB1，如圖：P點到定點B的距離與到定直線AB的距離相等，建立坐標系畫圖時可以以點B1B的中點為原點建立坐標系。5. 在正方體ABCDA1B1C1D1中與AD1成600角的面對角線的條數是 （A）4條 （

3、B）6條 （C）8條 （D）10條C解析：如圖這樣的直線有4條，另外，這樣的直線也有4條，共8條。6. 設A，B，C，D是空間不共面的四點，且滿足，則BCD是 （A）鈍角三角形 （B）直角三角形 （C）銳角三角形 （D）不確定C解析：假設AB為a，AD為b，AC為c，且則，BD=，CD=，BC=如圖則BD為最長邊，根據余弦定理最大角為銳角。所以BCD是銳角三角形。7.設a、b是兩條不同的直線，、是兩個不同的平面，則下列四個命題（ ） 若若 其中正確的命題的個數是（ ）A0個B1個C2個D3個B 解析：注意中b可能在上；中a可能在上；中b/，或均有，故只有一個正確命題8.如圖所示，已知正四棱錐S

4、ABCD側棱長為，底面邊長為，E是SA的中點，則異面直線BE與SC所成角的大小為 （ ）A90°B60°C45°D30°B 解析：平移SC到，運用余弦定理可算得9. 對于平面M與平面N, 有下列條件: M、N都垂直于平面Q; M、N都平行于平面Q; M內不共線的三點到N的距離相等;  l, M內的兩條直線, 且l / M, m / N;  l, m是異面直線,且l / M, m / M; l / N, m / N,&

5、#160;則可判定平面M與平面N平行的條件的個數是（ ）A1B2C3D4只有、能判定M/N，選B10. 已知正三棱柱ABCA1B1C1中，A1BCB1，則A1B與AC1所成的角為 （A）450 （B）600 （C）900 （D）1200C解析：作CDAB于D，作C1D1A1B1于D1，連B1D、AD1，易知ADB1D1是平行四邊形，由三垂線定理得A1BAC1，選C。11. 正四面體棱長為1，其外接球的表面積為A.B. C. D.3解析：正四面體的中心到底面的距離為高的1/4。（可連成四個小棱錐得證12. 設有如下三個命題：甲：相交直線、m都在平面內，并且都不在平面內；乙：直線、m中至少有一條與

6、平面相交；丙：平面與平面相交當甲成立時，A乙是丙的充分而不必要條件 B乙是丙的必要而不充分條件C乙是丙的充分且必要條件 D乙既不是丙的充分條件又不是丙的必要條件解析：當甲成立，即“相交直線、m都在平面內，并且都不在平面內”時，若“、m中至少有一條與平面相交”，則“平面與平面相交”成立；若“平面與平面相交”，則“、m中至少有一條與平面相交”也成立選（C）13. 已知直線m、n及平面，其中mn，那么在平面內到兩條直線m、n距離相等的點的集合可能是：（1）一條直線；（2）一個平面；（3）一個點；（4）空集其中正確的是 解析：（1）成立，如m、n都在平面內，則其對稱軸符合條件；（2）成立，m、n在平面

7、的同一側，且它們到的距離相等，則平面為所求，（4）成立，當m、n所在的平面與平面垂直時，平面內不存在到m、n距離相等的點14.空間三條直線互相平行,由每兩條平行線確定一個平面,則可確定平面的個數為（ ）A3B1或2C1或3D2或3解析：C 如三棱柱的三個側面。15若為異面直線，直線ca，則c與b的位置關系是（ ）A相交B異面C平行 D 異面或相交解析：D 如正方體的棱長。16在正方體A1B1C1D1ABCD中，AC與B1D所成的角的大小為（ ）ABCD解析：DB1D在平面AC上的射影BD與AC垂直，根據三垂線定理可得。17如圖，點P、Q、R、S分別在正方體的四條棱上，并且是所在棱的中

8、點，則直線PQ與RS是異面直線的一個圖是（ ）解析：C A，B選項中的圖形是平行四邊形，而D選項中可見圖：18如圖，是一個無蓋正方體盒子的表面展開圖，A、B、C為其上的三個點，則在正方體盒子中，ABC等于（ ）A45° B60°C90° D120°解析：B 如圖右圖是一個正方體的展開圖，在原正方體中，有下列命題：AB與CD所在直線垂直；CD與EF所在直線平行AB與MN所在直線成60°角；MN與EF所在直線異面其中正確命題的序號是（ ）ABCD解析：D19線段OA，OB，OC不共面，AOB=BOC=COA=60，OA=1，OB=2，OC=3，則A

9、BC是（ ）A等邊三角形B非等邊的等腰三角形C銳角三角形D鈍角三角形解析：B 設 AC=x，AB=y，BC=z，由余弦定理知：x2=12+32-3=7，y2=12+22-2=3，z2=22+32-6=7。 ABC是不等邊的等腰三角形，選（B）20若a，b，l是兩兩異面的直線，a與b所成的角是，l與a、l與b所成的角都是，則的取值范圍是（ ）ABCD解析：D解 當l與異面直線a，b所成角的平分線平行或重合時，a取得最小值，當l與a、b的公垂線平行時，a取得最大值，故選（D）21.小明想利用樹影測樹高，他在某一時刻測得長為1m的竹竿影長0.9m，但當他馬上測樹高時, 因樹靠近一幢建筑物,影子不全落

10、在地面上，有一部分影子上了墻如圖所示.他測得留在地面部分的影子長2.7m, 留在墻壁部分的影高1.2m, 求樹高的高度（太陽光線可看作為平行光線）_.42米解析：樹高為AB，影長為BE，CD為樹留在墻上的影高，CE=米，樹影長BE=米，樹高AB=BE=米。22如圖,正四面體（空間四邊形的四條邊長及兩對角線的長都相等）中,分別是棱的中點, 則和所成的角的大小是_.解析：設各棱長為2，則EF=，取AB的中點為M，即23OX，OY，OZ是空間交于同一點O的互相垂直的三條直 線，點P到這三條直線的距離分別為3，4，7，則OP長 為_.解析：在長方體OXAYZBPC中，OX、OY、OZ是相交的三條互相垂

11、直的三條直線。又PZOZ，PYOY，PXOX，有 OX2+OZ2=49，OY2=OX2=9， OY2+OZ2=16，得 OX2+OY2+OZ2=37，OP=24設直線a上有6個點，直線b上有9個點，則這15個點，能確定_個不同的平面.解析： 當直線a，b共面時，可確定一個平面； 當直線a，b異面時，直線a與b上9個點可確定9個不同平面，直線b與a上6個點可確定6個不同平面，所以一點可以確定15個不同的平面25. 在空間四邊形ABCD中，E，F分別是AB，BC的中點求證：EF和AD為異面直線.解析：假設EF和AD在同一平面內，（2分），則A，B，E，F；（4分）又A，EAB，AB，B，（6分）同

12、理C（8分）故A，B，C，D，這與ABCD是空間四邊形矛盾。EF和AD為異面直線26. 在空間四邊形ABCD中，E，H分別是AB，AD的中點，F，G分別是CB，CD的中點，若AC + BD = a ，ACBD =b，求.解析：四邊形EFGH是平行四邊形，（4分）=2=27. 如圖，在三角形ABC中，ACB=90º，AC=b,BC=a,P是ABC 所在平面外一點，PBAB，M是PA的中點，ABMC，求異面直MC與PB間的距離.解析：作MN/AB交PB于點N（2分）PBAB，PBMN。（4分）又ABMC，MNMC（8分）MN即為異面直線MC與PB的公垂線段，（10分）其長度就是MC與PB

13、之間的距離， 則得MN=AB=28. 已知長方體ABCDA1B1C1D1中, A1A=AB， E、F分別是BD1和AD中點.（1）求異面直線CD1、EF所成的角；（2）證明EF是異面直線AD和BD1的公垂線.（1）解析：在平行四邊形中，E也是的中點，（2分）兩相交直線D1C與CD1所成的角即異面直線CD1與EF所成的角.（4分）又A1A=AB，長方體的側面都是正方形，D1CCD1 異面直線CD1、EF所成的角為90°.（7分）（2）證：設AB=AA1=a, D1F=EFBD1（9分）由平行四邊形，知E也是的中點，且點E是長方體ABCDA1B1C1D1的對稱中心，（12分）EA=ED，

14、EFAD，又EFBD1，EF是異面直線BD1與AD的公垂線.（14分）29. ABC是邊長為2的正三角形，在ABC所在平面外有一點P，PB=PC=，PA=，延長BP至D，使BD=，E是BC的中點，求AE和CD所成角的大小和這兩條直線間的距離.解析：分別連接PE和CD，可證PE/CD，（2分）則PEA即是AE和CD所成角（4分）在RtPBE中，PB=，BE=1，PE=。在AEP中，AE=，=AEP=60º，即AE和CD所成角是60º（7分）AEBC，PEBC，PE/DC，CDBC，CE為異面直線AE和CD的公垂線段，（12分）它們之間的距離為1（14分）30. 在正方體ABC

15、DA1B1C1D1中，E，F，G，H，M，N分別是正方體的棱AB，BC，的中點，試證：E，F，G，H，M，N六點共面解析：EN/MF，EN與MF 共面，（2分）又EF/MH，EF和MH共面（4分）不共線的三點E，F，M確定一個平面，（6分）平面與重合，點H。（8分）同理點G（10分）故E，F，G，H，M，N六點共面31.三個互不重合的平面把空間分成六個部份時，它們的交線有（ ）A1條B2條C3條D1條或2條D解析：分類：1）當兩個平面平行，第三個平面與它們相交時，有兩條交線； 2）當三個平面交于一條直線時，有一條交線，故選D32兩兩相交的四條直線確定平面的個數最多的是（ ）A4個B5個C6個D

16、8個解析：C 如四棱錐的四個側面，個。33.在空間四邊形ABCD的邊AB、BC、CD、DA上分別取E、F、G、H四點如果EF與HG交于點M，則（ ）AM一定在直線AC上BM一定在直線BD上CM可能在AC上，也可能在BD上DM不在AC上，也不在BD上解析：平面ABC平面ACD=AC，先證M平面ABC，M平面ACD，從而MACA 34. 用一個平面去截正方體。其截面是一個多邊形，則這個多邊形的邊數最多是 .解析：6條35. 已知：本題主要考查用平面公理和推論證明共面問題的方法.解析：PQa,PQ與a確定一個平面36. 已知ABC三邊所在直線分別與平面交于P、Q、R三點，求證：P、Q、R三點共線。（

17、12分）本題主要考查用平面公理和推論證明共線問題的方法解析：A、B、C是不在同一直線上的三點過A、B、C有一個平面又37. 已知：平面 求證：b、c是異面直線解析：反證法：若b與c不是異面直線，則bc或b與c相交38. 在空間四邊形ABCD中，AD=BC=2，E、F分別是AB、CD的中點，EF=，求AD與BC所成角的大小（本題考查中位線法求異面二直線所成角）解析：取BD中點M，連結EM、MF，則39. 如圖，在正方體ABCDA1B1C1D1中，M、N分別為棱AA1和BB1的中點，求異面直線CM與D1N所成角的正弦值.(14分)（本題考查平移法，補形法等求異面二直線所成角）解析：取DD1中點G，

18、連結BG，MG，MB，GC得矩形MBCG，記MCBG=0則BG和MC所成的角為異面直線CM與D1N所成的角.而CM與D1N所成角的正弦值為40. 如圖，P是正角形ABC所在平面外一點，M、N分別是AB和PC的中點，且PA=PB=PC=AB=a。（1）求證：MN是AB和PC的公垂線（2）求異面二直線AB和PC之間的距離解析：（1）連結AN，BN，APC與BPC是全等的正三角形，又N是PC的中點AN=BN又M是AB的中點，MNAB同理可證MNPC又MNAB=M，MNPC=NMN是AB和PC的公垂線。（2）在等腰在角形ANB中，即異面二直線AB和PC之間的距離為.41空間有四個點，如果其中任意三個點

19、都不在同一條直線上，那么經過其中三個點的平面          A可能有3個，也可能有2個 B可能有4個，也可能有3個C可能有3個，也可能有1個 D可能有4個，也可能有1個解析：分類，第一類，四點共面，則有一個平面，第二類，四點不共面，因為沒有任何三點共線，則任何三點都確定一個平面，共有4個。.42. 下列命題中正確的個數是       三角形是平面圖形 四邊形是平面圖形四邊相等的四邊形是平面圖形 矩形一定是平面圖形A1個 B2個 C3個 D4個解析：命題是正確的，

20、因為三角形的三個頂點不共線，所以這三點確定平面。命題是錯誤，因平面四邊形中的一個頂點在平面的上、下方向稍作運動，就形成了空間四邊形。命題也是錯誤，它是上一個命題中比較特殊的四邊形。命題是正確的，因為矩形必須是平行四邊形，有一組對邊平行，則確定了一個平面。43. 如果一條直線上有一個點不在平面上，則這條直線與這個平面的公共點最多有_1個。解析：如果有兩個，則直線就在平面內，那么直線上的所有點都在這個平面內，這就與已知有一個點不在平面上矛盾，所以這條直線與這個平面的公共點最多有一個。44. 空間一條直線及不在這條直線上的兩個點，如果連結這兩點的直線與已知直線_，則它們在同一平面內。答案：相交或平行

21、解析：根據推論2，推論3確定平面的條件。45. 三角形、四邊形、正六邊形、圓，其中一定是平面圖形的有_3個。解析：三角形的三個頂點不在一條直線上，故可確定一個平面，三角形在這個平面內；圓上任取三點一定不在一條直線上，這三點即確定一個平面，也確定了這個圓所在的平面，所以圓是平面圖形；而正六邊形內接于圓，故正六邊形也是平面圖形；而四邊形就不一定是平面圖形了，它的四個頂點可以不在同一平面內。46. 三條平行直線可以確定平面_個。答案：1個或3個解析：分類、一類三線共面，即確定一個平面，另一類三線不共面，每兩條確定一個，可確定3個。47. 畫出滿足下列條件的圖形。(1)=1，a ，b ，ab=A(2)=a，b