1、固體物理學-期中考試試題及答 案2005級2007-2008學年第二學期固體物理學期中考試答案一、簡要回答下列問題：(30分)(1)簡要說明熱傳導系數的溫度依賴關系。答品格熱導率的溫度依賴關系如下：高溫情況下， T>>德拜溫度G)d ,對于 所有品格振動模，平均聲子數"T,溫度升高時，聲子間相互 碰撞”的幾率增大， 自由程減小，自由程與溫度成反比；且在高溫下，熱容與溫度無關。因此 高溫情 況下熱導率與溫度成反比。低溫時，盡管品格熱容遵從德拜T3定律，但熱導率k隨溫度的變化主要決 定于平均自由程 入的指數因子，即K隨溫度降低而指數增大。極低溫度的情況下，聲子的平均自由程可以

2、增大到與聲子被晶格缺陷散射所 決定的平均自由程相比擬，甚至可以與晶體樣品的有限尺寸相比擬。這時的平均 自由程不再是非諧效應引起的本征自由程， 而應是以缺陷的空間分布或樣品的尺 寸所決定的與溫度無關的平均自由程。 因此，熱導率的溫度依賴關系將與品格熱 容的溫度依賴關系(T3)相同。(2)聲子數的物理意義是什么？晶體中聲子數目是否守恒？在極低溫下，晶體中的聲子數與溫度T之間有什么樣的關系？答聲子是指格波的量子，它的能量等于方?。一個格波，也就是一種振動模，稱為一種聲子。所以，聲子數代表品格振動的格波數。1頻率為coi的格波的平均嚴子數為 ：ni)=F一e T即每一個格波的聲子數都與溫度有關，因此晶

3、體中的 聲子數目不守恒，它隨溫度的改變而改變。g( )d 以德拜模型為例。晶體中的聲子數目為其中'DN' = j n( .)g( -)d .0令則3VkB3T3 *T x2dxN'=2-3 32二2 3C3x0 e 一1在極低溫度下，的/T 一 0°,于是3V"3 二x2dx 叫 3 二23一 2 二2/?C30ex-1-2 -： gRn "3（3）共價結合為什么有 飽和性”和 方向性”？答對電子束縛能力相同或相近的兩個原子，彼此靠近時，各自貢獻一個電子，為兩 個原子共有，從而使其結合在一起，這種結合，稱為共價結合，或原子結合。能把兩個原子

4、結合在一起的一對為兩個原子所共有的自旋相反配對的電子 結構，稱為共價鍵。它有兩個特點：飽和性和方向性。 飽和性指一個原子只能形 成一定數目的共價鍵。按照泡利不相容原理，當原子中的電子一旦配對后，便不 能再與第三個電子配對。因此當一個原子與其它原子結合時，能夠結合成共價鍵 的數目有一個最大值，這個最大值取決于它所含的未配對的電子數。設 N為一 個原子的價電子數目，對于IVA, VA, VIA, VUA族元素，價電子殼層共包含8 個量子態，最多能容納（8-N）個電子，形成（8-N）個共價鍵。這就是共價 結合的飽和性”。當兩原子未配對的自旋相反的電子結合成共價鍵后， 電子云就會發生交疊， 而且共價鍵

5、結合得越緊密，相應的電子云交疊的也越厲害。因此，兩原子在以共 價鍵結合時，必定選取盡可能使其電子云密度為最大的方位， 也就是電子的波函 數為最大的方向。這就是共價鍵具有 方向性”的物理本質。（4） 一維雙原子鏈中，原子的質量分別為 M和m,若用一個雜質原子分別替代 這兩種原子，說明在何種情況下可以在品格中產生隙模、高頻模、共振模？答晶體中雜質或缺陷可能引入一些新的振動模式頻率。在原有的頻率之上出現的新的頻率的模，稱為高頻模；特征頻率落在了頻帶之中的，稱為共振模；落在頻隙之間，稱為隙模。對于一維雙原子鏈，假設兩種原子白質量分別為 mi和 m2 ,而且m2>mi ；雜質原子的質量為 m

6、9;。當雜質原子替代mi原子（輕的） 位置時，若m' >而就會出現隙模；若m' <m時則出現高頻模。當雜質原子替代 m2原子（重的）位置時，如 m' <m也會出現隙模；m' >m則出現共振模。（5）對晶體作結構分析時，是否可以用可見光，為什么？答不能用可見光作晶體的結構分析。因為晶體的晶格常數的數量級為 10-10m,只有波長與品格常數為一個數量級的電磁波或粒子才能以晶格作為衍射光柵， 進行晶格常數的測定，而可見光 的波長范圍是400nm760nm，遠大于晶格常數，所以不能用它作晶體結構的分 析。、填空題（10分） 1、同一晶體的正、倒格

7、子一般屬于同一品系，其中面心立方晶體的倒格子是體心立方，若已知其晶胞的邊長為 a,則其原胞體積為 a/4 ,原胞基矢. a"" a a 44 aa4 4為ai=2（j+k）a2=3（k+i）a3=a（i+j）T2 -1 * TT 2 - TV*T 2- T T T其 相 應 的b=面討）牛="原j k）胞b3 二冠（i j焚）倒格子晶胞基矢：3*=至，；=至，)*=立。ab7c若假設已知該晶體中的密勒指數為(hkl)的晶面族，則與該晶面垂直 的倒格矢在倒格子晶胞坐標系下的表達式為Gh k尸ha + kb + lc則該晶面在原胞坐標系中的相應面指數為( k +l)(

8、l +h)(h + k)P(p是公約數 )2、由N個原胞組成的一維雙原子鏈，q可以取 N 個不同的值,每個q對應 _2個解，因此總共有2N個不同的格波。若在由N個原胞(每個原胞內有n個原子)組成三維品格中，對一定的波矢q ,有_3一支聲學波，3n-3支光學波，在長波極限下，光學波原子振動的特點是質心不動，相鄰原子振動方向相反,聲學波原子振動的特點是相鄰原子振動方向相同，反映質心運動 。三(15分)寫出長光學波的宏觀運動方程，說明方程的物理意義，并由靜電場和高頻 電場兩種情況導出方程系數。解：長光學波的宏觀運動方程W=3W+h2E(DP= biW b2 E(2)I14這里，W稱為折合位移，反映正

9、負離子相對位移的矢量。P是宏觀極化強度，E是宏觀電場強度。物理意義：方程(D是決定離子相對振動的動力學方程，稱為振動方程；方程（2）表示除去正負離子相對位移產生極化，還要考慮宏觀電場存在時的附加極化，稱為極化方程。這兩個方程中系數并不都是無關的，由對稱性要求有1）靜電場情況下W =0 君=儀0）bi2所以W =-pE代入方程（2）中得biP =b12W b22E =（b22 -星）Ebii又因為 D = ；0E P = ；（0） ；0EP = ；（0）-1；°E對比（3）式和（4）式知:(0)-1 0 =甌-bi22bn2）高頻電場情況下 W=0,6 =可必）所以 P=b22E又因為

10、P =(二)-1；°E對比（6）式和（7）式知:（二）1 ；0 =b22聯立（5）式和（8）式得:；（0）- ；（二）；0b12卜1bi2= b2io(3)(4)(5)(6)(7)(8)(9)卜面確定bii :對橫光學波（下標T）Q縱光學波（下姆L）分別滿足以下關可 W -0 V*Wr =O KWl=0Wx WT 手 0靜電場情況下： D =、（金. P）=0、 E=o所以對方程（1）兩邊取旋度有：Vx W = b11Vx W + b2Vx E即' （dWL 支除“5 （Wl Wt）即：出2dt2112d2WT bW即：才一跖"（10）（10）是橫光學波的振動方程，

11、解此方程可得到bii與橫光學波的振動頻率之間的關系也1 =，。2最后各系數求解總結如下，其中8（0）,鞏陽,6?？赏ㄟ^實驗確定。Z .2b11 = 50b22 =；（二）一1 ；0.-,、-1/21/2、匕2 =b21 =8（0） £（*） % 0。四（15分）低溫下，固體比熱和溫度T3成正比，稱為德拜定律12 二4NkB T 3CV 一（一 ）5。d現已知溫度T=100K時金剛石的熱容Cv =7.2Ml0/cal/mol|_K ,求金剛石的零點 振動能。的單令N = N。（阿伏伽德羅常數），由德拜定律一 4-1一 一 . 一 4 一 1巾=（口）3T =（12 3.1416 8.3

12、14）3皿0。= 1861K5Cv4.186 5 7.2 10因為 T -100K ;與 -1861K ,所以可以利用100K下金剛石熱容數據求其零點振動能，金剛石零點振動能-mE0 =.01 工 ，、, 萬力,g（ ）d -8m是德拜模型中最高角頻，g是模式密度，對三維晶體g( )d ：" 3(2：)dq式中V是晶體的體積，對于德拜模型,是彈性波波速，所以g( )d =33 4_ (2 二) C C3V 22二 2C3d g g(« ) = 3nj,因此-mC3令德拜溫度為則金剛石零點振動能為E。=.223V2 2C39 ,NkB%899 1 摩爾金剛石零點振動能 E0

13、= 一 NkB% =R%=17419.74J/mol=4.2kcal/mol88五（15分）0具有簡立方布喇菲格子的晶體原子間距為 2A ,由于品格具有非線性作用， 一個沿100方向傳播、波矢 Mo。 =1.3Ml010m聲子同另一個波矢大小相等 但沿110方向傳播的聲子相互作用，合并生成第三個聲子，試求合成后聲子 的波矢。解兩聲子相互作用形成第三個聲子時，不僅要服從能量守恒，還要求滿足波 矢守恒(或準動量守恒)qi %2 = %3b2/2=(兀 /a)j101回尸2.4 10 m或者：=q1 ；2=1.3 1010? 1.3 1010(? ?) -2.22 1010? 0.92 101072

14、4因為 1bL1Tb2 1= =1.57 1010m 一12 2a所以，中沿100方向分量已超出了第一布區.但q3沿010方向分量沒有超出第2二，一布區，故可以在沿100萬向給 中加一倒格矢(Gh=-i?=-3.14M1010i? m ) a使之回到第一布區.=q3Gh= 2.22 1010? 0.92 1010?-3.14 1010i?-0.92 1010? 0.92 1010 ?二一二 1.3 1010? 1.3 1010?（m）22所以三聲子過程產生的第三個聲子波矢方向是在-1,1,0,其大小仍為1.3x101°m,，處于第一布里淵區內。六、（15分）已知N個質量為m間距為a的相同的原子組成的一維原子鏈，其原子在偏離平衡位置6時受到近鄰原子的恢復力F=- B吊B為恢復力系數）.1、試證明其色散