1、新課程理念下的高中數(shù)學(xué)建模教學(xué)江西省上猶中學(xué) 蘇小林 關(guān)鍵詞：新課程 數(shù)學(xué)建模 數(shù)列 摘 要：針對(duì)國(guó)家普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)中的第二層次目標(biāo)，在高中的數(shù)學(xué)教學(xué)中，可以以數(shù)學(xué)建模為突破口，探索數(shù)學(xué)應(yīng)用，以提高學(xué)生的數(shù)學(xué)應(yīng)用能力。筆者結(jié)合數(shù)列內(nèi)容進(jìn)行了建模教學(xué)，本文即為一些粗淺的學(xué)習(xí)體會(huì)與感受。 高中階段國(guó)家數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)與義務(wù)教育階段數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)一樣，把學(xué)生的一般性發(fā)展放在首位，但重點(diǎn)放在有選擇、多渠道和能滿足不同層次學(xué)生的不同期望的可持續(xù)發(fā)展上。為了體現(xiàn)有區(qū)別的可持續(xù)發(fā)展，高中階段國(guó)家數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)中的目標(biāo)體系分為三個(gè)不同的層次：（1）作為文化的數(shù)學(xué)旨在提高每位高中學(xué)生的數(shù)學(xué)修養(yǎng)；（2）作為應(yīng)用的數(shù)

2、學(xué)旨在為想進(jìn)入工程技術(shù)、工商和經(jīng)濟(jì)管理等領(lǐng)域?qū)W習(xí)或工作的學(xué)生打下數(shù)學(xué)應(yīng)用的基礎(chǔ)；（3）作為理論的數(shù)學(xué)（即純數(shù)學(xué)）旨在為想進(jìn)一步學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)和其它基礎(chǔ)科學(xué)的學(xué)生提供數(shù)學(xué)理論基礎(chǔ)。 針對(duì)高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)中的第二層次的目標(biāo)，在高中的數(shù)學(xué)教學(xué)中，以數(shù)學(xué)建模為突破口，探索數(shù)學(xué)應(yīng)用，能有效提高學(xué)生的數(shù)學(xué)應(yīng)用意識(shí)，筆者在高一數(shù)學(xué)教學(xué)中，結(jié)合數(shù)列內(nèi)容，進(jìn)行了信貸問題的建模教學(xué)。問題1為了供子女上大學(xué)，某家長(zhǎng)特意在工行辦了教育儲(chǔ)蓄，規(guī)定儲(chǔ)戶每月定期存入550元，三年期滿，月利率為2.7，單利計(jì)算，免征利息稅。假如讀完四年大學(xué)約需費(fèi)用35000元，則儲(chǔ)蓄期滿后還缺多少錢？ 【分析】這實(shí)際上是一個(gè)零存整取的儲(chǔ)蓄問題，先

3、給出此問題的一般公式。設(shè)每月存款額為p元，月利率為r，存期為n個(gè)月，第i月初存入的p元期滿時(shí)的本利和為ai（i=1，2，3，n），則：故期滿時(shí)的本利和 其利息和為 公式和公式即為零存整取儲(chǔ)蓄問題的兩個(gè)基本公式。從分析可知，這實(shí)際是一個(gè)等差數(shù)列問題。本問題中p=550，r=2.7，n=36，期滿時(shí)的利息和=989.01（元）本利和讀完四年大學(xué)尚差14210.99元。問題2個(gè)人住房貸款，據(jù)中國(guó)人民銀行頒布的個(gè)人住房貸款管理辦法的規(guī)定，個(gè)人住房貸款的最長(zhǎng)期限為30年，5年（含5年內(nèi)）的年利率為5.31%（折合月利率為4.425），5年以上年利率為5.58%（折合月利率為4.65）。同時(shí)還規(guī)定了個(gè)人住

4、房貸款的兩種按月還本付息的辦法。第一種是等額本息還款法，即在貸款期間借款人以月均還款額償還銀行貸款本金和利息；第二種是等額還款法（又叫等本不等息還款法），即在貸款期間除了要還清當(dāng)月貸款的利息外，還要以相等的額度償還貸款的本金。（1）試給出兩種還款法的每月還款額，還款息額和利息負(fù)擔(dān)總和的計(jì)算公式。（2）若一借款人從銀行得到貸款40萬元，計(jì)劃20年還清。試以此為例說明借款人選擇何種還款法更為合算？從第幾個(gè)月開始，第二種還款法的還款負(fù)擔(dān)低于第一種方法？【分析】（1）對(duì)于等額本息還款法設(shè)貸款額（本金）為p元，貸款期限為n月，月利率為r，月均還款額為x元，每月還款后的本利余額為模型1 由個(gè)人住房貸款及等

5、額本息還款法的本意，可以理解為：將貸款數(shù)p分成不等的幾份，記為p1、p2、p2、pn,每月歸還其中的一份本利和，且滿足所以于是則 模型2 此問題還等價(jià)于借款人堅(jiān)持n個(gè)月，每月存入x元，經(jīng)過幾個(gè)月后得款.而第一個(gè)月存進(jìn)的x元，本利和為，第二個(gè)月存進(jìn)的x元本利和為從而得：所以對(duì)于等額本金還款法：設(shè)貸款額（本金）為p元，貸款期限為n個(gè)月，月利率為r，每月還款額為，每月利息額（）。由題意，每月歸還本金為元，則 所以利息總和 還款總額為 （2）由已知p=40萬元，n=240，r=4.65=0.00465 根據(jù)票額本息函數(shù)法公式可得： 還款人的月均還款額x=0.27696（萬元）還款總額A=66.4717

6、（萬元）利息負(fù)擔(dān)總和B=26.4717（萬元） 根據(jù)等額本金還款法公式可得： 還款總額A=62.413（萬元） 利息負(fù)擔(dān)總和B=22.413（萬元） 因此采用第二種還款法更合算。 設(shè)第個(gè)月開始第二種還款法的負(fù)擔(dān)低于第一種還款法，則 即 解之得>98.69，取=99，因此，從8年后的第三個(gè)月開始，第二種還款方法的還款負(fù)擔(dān)低于第一種還款法。 通過數(shù)列的建模教學(xué)，筆者認(rèn)識(shí)到數(shù)學(xué)建模就是典型的、直接的數(shù)學(xué)實(shí)踐活動(dòng)，這一活動(dòng)能培養(yǎng)學(xué)生多方面的數(shù)學(xué)實(shí)踐能力：捕捉信息、搜集數(shù)據(jù)的能力，簡(jiǎn)化問題合理假設(shè)的能力，數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識(shí)的應(yīng)用能力，將實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題的能力。通過數(shù)列的建模教學(xué)，筆者還體會(huì)到:1、

7、數(shù)學(xué)建模要善于結(jié)合教材內(nèi)容，數(shù)學(xué)應(yīng)用和數(shù)學(xué)建模活動(dòng)要與現(xiàn)行數(shù)學(xué)教材有機(jī)結(jié)合，把“活動(dòng)”變成課內(nèi)知識(shí)的拓寬和延伸，要充分挖掘教材的功能，使教材為數(shù)學(xué)建模活動(dòng)提供大量的、豐富的實(shí)踐背景，只有把“活動(dòng)”植于課內(nèi)，“活動(dòng)”才有生命力，才能使最大范圍的學(xué)生受益。2、建模教學(xué)要注重過程。雖然數(shù)學(xué)建模的目的是為了解決實(shí)際問題，但對(duì)于高中生來說，進(jìn)行數(shù)學(xué)建模教學(xué)的主要目的并不是要他們直接去解決生產(chǎn)、生活中的實(shí)際問題，而是培養(yǎng)他們的數(shù)學(xué)應(yīng)用意識(shí)，掌握數(shù)學(xué)建模的方法，為將來的工作打下堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ)，因此，要充分強(qiáng)調(diào)過程的重要性。3、要注意建模的多樣性和開放性。數(shù)學(xué)建模是用數(shù)學(xué)的語言和方法，對(duì)實(shí)際問題進(jìn)行抽象、假設(shè)、簡(jiǎn)化，從而建立數(shù)學(xué)模型，因此對(duì)實(shí)際問題的理解不同，