1、 楊培明(手機號碼數學叢書,給您一個智慧的人生！課標高考全國卷數學試題揭秘.預測 第8講:課標全國卷數列試題的求和“情結”之裂項求和法 237 第8講:課標全國卷數列試題的求和“情結”之裂項求和法特色驚爆 課標全國卷中數列試題的求和“情結”的另一個重要例證是著意于考查裂項求和法;使用裂項求和法的關鍵是具有較強的代數變換能力,把數列an的通項an變換為:an=f(n)-f(n+1),即裂項,由此可得:an的前n項和Sn=f(1)-f(n+1).情結淵源1.(2011年課標高考試題理科第17題)等比數列an的各項均為正數,且2a1+3a2=1,a32=9a2a6.()求數

2、列an的通項公式; ()設bn=log3a1+log3a2+log3an,求數列的前n項和.解析:()由a32=9a2a6a32=9a42a3=3a4公比q=;又由2a1+3a2=1a1=an=()n;()由an=()nlog3an=-nbn=log3a1+log3a2+log3an=-(1+2+n)=-=-=-2(-)數列的前n項和Sn=+=-2(1-)+(-)+(-)=-2(1-)=-.2.(2013年課標高考試題文科第17題)已知等差數列an的前n項和Sn滿足:S3=0,S5=-5.()求an的通項公式; ()求數列的前n項和.解析:()由S3=0,S5=-53a2=0,5a3=-5a2

3、=0,a3=-1等差數列an的公差d=-1an的通項公式an=2-n;()由an=2-n=(-)數列的前n項和Tn=(-1-1)+(1-)+(-)=.3.(2015年課標高考試題理科第17題)Sn為數列an的前n項和.已知an>0,an2+2an=4Sn+3.()求an的通項公式; ()設bn=,求數列bn的前n項和.解析:()由an2+2an=4Sn+3a12+2a1=4S1+3a1=S1=3(-1舍去);又由an2+2an=4Sn+3an+12+2an+1=4Sn+1+3,兩式相減得:(an+12+2an+1)-(an2+2an)=4an+1(an+1+an)(an+1-an-2)=

4、0an+1-an=2數列an是公差d=2的等差數列an=2n+1;()由an=2n+1bn=(-)數列bn的前n項和Tn=(-)+(-)+(-)=.命題規律 238 第8講:課標全國卷數列試題的求和“情結”之裂項求和法 裂項求和法有四個層次的問題:等差裂項:如果an是以為d(d0)公差的等差數列,則:=(-),;等比裂項:,=-;三角裂項:如果an是以為d(d0)公差的等差數列,則:sinan=(cosan-1-cosan+1),cosan=(sinan+1-sinan-1),tanantanan+1=cotd(tanan+1-tanan)-1;遞推裂項:an2=a(an-an+1);an2=

5、a(an+an+1)-a2=-;an2=(a-b)an+1-(a+b)an-b2.原創預測 1.等差(等比)裂項:原創示例:設數列an的前n項和為Sn,a1=1,且對任務正整數n,點(an+1,Sn)在直線2x+y-2=0上.()求數列an的通項公式; ()求證:.解析:()由點(an+1,Sn)在直線2x+y-2=0上2an+1+Sn-2=02an+Sn-1-2=0,兩式相減得2an+1-an=0an=()n-1;()因=.因f(x)=在1,+)上遞增,所以f(1)f(n)<1<1.原創預測:1.設數列an是公差不為零的等差數列,Sn是數列an的前n項和,且S2=4S1,4S32

6、=81S2.()求數列an的通項. ()設數列的前項和為Tn,求證:Tn<.2.己知數列an的前n項和Sn滿足:Sn2+1=Sn(2+an),n為正整數.()試證:數列為等差數列,并求an; ()求證:<.3.設數列an中的每一項都大于1.求證:an為等比數列的充要條件是:對任意的正整數n,都有:+=.4.如圖,在RtABC中,C=900,A=300,AC=2,作CP1AB于點P1,P1C1AC于點C1,C1P2AB于點P2,如此繼續下去.令a1=CP1,當n2時,an=Cn-1Pn,數列an的前n項和為Sn.()求證:數列an是等比數列; ()令bn=,求數列bn的前n項和Tn.

7、5.已知數列an滿足:a1=2,an+1(1+an)=2an,nN+.()求數列an的通項公式; ()令bn=an2-an,數列bn的前n項和為Sn,求證:Sn<3. 2.三角(遞推)裂項: 第8講:課標全國卷數列試題的求和“情結”之裂項求和法 239 原創示例:數列an滿足:a1=1,an+1=an2-an+2,n=1,2,3,.()求證:1an<an+1<2; ()比較與an+1的大小,并說明理由.解析:()因an+1-an=an2-2an+2=(an-2)20,假如ak=2,則由ak+1=ak2-ak+2ak+1=2an=2a1=2,與己知矛盾;所以an+1>an

8、ana1=2;因0<a1=1<2,假如0<ak<2,則由ak+1=ak2-ak+2=(ak-1)+0<ak+1<2an<an+1,1an<2;()由an+1=an2-an+22an+1=an2-2an+4an(an+1-an)=(an-2)(an+1-2)=-an+1=.又由a1=1,an+1=an2-an+2a2=,a3=,且當n>3時,an>a3=.所以有:(i)當n=1時,<an+1;(ii)當n=2時,=an+1;(iii)當n3時,>an+1.原創預測:6.己知數列an的前n項和Sn=an+n2. ()求數列an

9、的通項公式; ()設bn=cosan,求數列bn的前n項和Tn.7.己知正項遞增數列an的前n項和Sn滿足:2Sn=an2+n.()求數列an的通項公式; ()設bn=,求數列bn的前n項和Tn.8.己知正項數列an的前n項和Sn滿足:2Sn=(an-2)(an+3).()求數列an的通項公式; ()設bm=tanantanan+t,求數列bn的前n項和Tn.9.已知an滿足a1=1,an+1=an+(n=1,2,3,),令bn=.證明:數列bn的前n項和Tn<1.10.定義在R上的函數f(x)滿足:f(0)=0;對任意x、y(-,-1)(1,+),都有f()+f()=f();當x(-1

10、,0)時,都有f(x)>0.求證:()函數f(x)是(-1,1)上的單調遞減的奇函數; ()f()+f()+f()>f().原創解析:1.解:()an=2n-1;()Sn=n2,當n2時,=<=(-)Tn<1+(1+-)<.2.解:()由Sn2+1=Sn(2+an)a1=S1=,且Sn2+1=Sn(2+Sn-Sn-1)2Sn-SnSn-1=1=-1為等差數列=-(n+1)Sn=an=;()由=-<.3.解:(必要性)(略);(充分性)由+=+=,-得:=- 240 第8講:課標全國卷數列試題的求和“情結”之裂項求和法 nlgan-(n-1)lgan+1=lg

11、a1-=-lga1(-)an=a1()n-1an為等比數列.4.解:()在RtACP1中,a1=CP1=1,在RtACn-1Pn中,PnCn-1=anACn-1=2an,CnCn-1=anACn=an,由Pn+1CnPnCn-1Pn+1Cn:PnCn-1=ACn:ACn-1an+1=an;()bn=-Tn=-=4-.5.解:()由an+1(1+an)=2an=+-1=(-1)-1=-()nan=;()因bn=an2-an=an(an-1)=<=-(n2)Sn<2+(-)<3.6.解:()在Sn=an+n2中,令n=1得:S1=a1+1,由S1=a1a1=2;當n2時,an=S

12、n-Sn-1=(an+n2)-an-1+(n-1)2an+an-1=4n-2an-2n=-an-1-2(n-1)an=2n;()由bn=cosan=cos2n=sin(2n+1)-sin(2n-1)Tn=sin(2n+1)-sin1.7.解:()在2Sn=an2+n中,令n=1得:2S1=a12+1,又由S1=a1a1=1;由2an+1=2Sn+1-2Sn=(an+12+n+1)-(an2+n)(an+1-1)2=an2;由正項數列an遞增an+1>an1an+1-1=aman+1-am=1數列an是公差為1的等差數列;()由bn=tan(n+1)-tannTn=tan(n+1)-tan

13、1.8.解:()由2Sn=(an-2)(an+3)a1=S1=3(-2舍去),且當n2時,2an=2Sn-2Sn-1=(an-2)(an+3)-(an-1-2)(an-1+3)(an+an-1)(an-an-1-1)=0an-an-1=1an=n+2;()由tan1=tan(k+1)-k=tan(k+1)tank=tan(k+1)-tank-1bk=tanaktanak+1=tan(k+2)tan(k+3)=tan(k+3)-tan(k+2)-1Tn=tan(n+3)-tan3-n.9.解:由an+1=an+=-=-Tn=1-<1.10.解:()由f()+f()=f()f(x)+f(y)=f();令y=-x得:f(x)+f(-x)=f(0)=0f(x)在(-1,1)上是奇函數;當-1<x1<x2<0時,則由(1+x1)(1-x2)>0x1-x2>x1x2-1-1<<0f()