1、5.2.3 5.2.3 多元復合函數的求導法則多元復合函數的求導法則1 1 基本形式的復合函數偏導數的鏈式法則基本形式的復合函數偏導數的鏈式法則定理定理 : 設函數設函數u=u(x,y),v=v(x,y)在點在點(x,y)處可導，處可導，在對應在對應(x,y)的點的點(u,v)處，函數處，函數z=f (u,v)有連續偏有連續偏導數，則復合函數導數，則復合函數fu(x,y),v(x,y)在點在點(x,y)處處也可導，且也可導，且xvvfxuufxzyvvfyuufyz多元復合函數的微分法多元復合函數的微分法其中其中 將將y固定，給自變量固定，給自變量x以增量以增量x,),(ovvfuufz22)

2、()(vu證證于是函數于是函數u=(x, y), v=(x, y)相應有增量相應有增量u,v,從而函數從而函數z=f (u, v)也有相應增量也有相應增量z ，由于由于f (u, v)可微，所以可微，所以以以x0除上式兩端，得除上式兩端，得22)()()(xvxuoxvvfxuufxz當當x0時，對上式兩端取極限，由定理條件即得時，對上式兩端取極限，由定理條件即得xvvfxuufxzyvvfyuufyz同理可證同理可證 上述復合函數求導法則可以推廣到二元以上的多元函數上述復合函數求導法則可以推廣到二元以上的多元函數.在滿足定理的相應條件下，有在滿足定理的相應條件下，有: : xwwfxvvfx

3、uufxQywwfyvvfyuufyQzwwfzvvfzuufzQ 例如，對三元復合函數例如，對三元復合函數Q=f (u, v, w) ,其其中中u=u(x, y, z)，v=v (x, y, z)，w=(x, y, z).其結構圖為其結構圖為:例例 設設 z = eu cos v，,xyu ,2yxv . yzxz ，求求解解 因為因為,cosevuzu ;sinevvzu ,yxu ;2 xv,xyu .1 yv可得可得 xz2sinecose vyvuu)sin2cos(evvyu ,)2sin(2)2cos(eyxyxyxy yz)1(sinecose vxvuu)sincos(evv

4、xu .)2sin()2cos(eyxyxxxy 2 其它形式復合函數偏導數的鏈式法則稱為全導數稱為全導數.以上公式中的導數以上公式中的導數 dtdz 如果函數如果函數 )(xuf 及及)(xvy 都在點都在點 x x 可可導導, ,函數函數),(vufz 在對應點在對應點),(vu具有連續偏導具有連續偏導數，則復合函數數，則復合函數 )(),(xxfzyf 在點在點x可導，可導，且其導數可用下列公式計算：且其導數可用下列公式計算： dxdvvzdxduuzdxdz ( 1 )( 1 )。例例 。求已知dxdz,cosxv,sinxu,vuz22解解: : uuf2vvf2xdxducosxd

5、xdvsin故故 dzfdufdvdxu dxv dx=2sinxcosx+2cosxsinx=2sin2x .=2sinxcosx+2cosxsinx=2sin2x .2 cos2 sinuxvx( 2) 若若z=f (u)可導，可導，u = u (x, y)有連續偏導數，有連續偏導數，(結構如右下圖結構如右下圖)，則對復合函數，則對復合函數z=f u(x, y)有有xududzxzyududzyz( 3) 若若z=f (x, u), u = (x, y)均均具有連續偏導數，則對復合函具有連續偏導數，則對復合函數數z=fx,u (x, y)，有，有xuufxfxzyuufyz例例 3，設設)

6、sin,2,( xyyxxyfz 求求xz 與與.yz 解解,xyu 令令,2yxv ,sin xyw 于是于是).,(wvufz 因為因為,2xyxu , 1 xv,cos xyxw ,1xyu , 2 yv,sin xyw 所以所以 xz 2xyfuxyffwvcos1 ,cos3212fxyffxy 式中的式中的 f i 表示表示 z 對第對第 i 個中間變量的偏導數個中間變量的偏導數 (i = 1 , 2 , 3)， 有了這種記法，有了這種記法， 就不一定要明顯地寫出中就不一定要明顯地寫出中間變量間變量 u， v， w .類似地，類似地，可求得可求得 yz.sin21321fxffx

7、例例 4 設設),(yxyxfxyz .,yzxz 求求解解在這個函數的表達式中，在這個函數的表達式中， 乘法中有復合乘法中有復合函數，函數，所以先用乘法求導公式所以先用乘法求導公式. xz ),(yxyxfy 1121 ffxy ),(yxyxfy ,21ffxy yz .),(21ffxyyxyxfx ),(yxyxfx )1(121 ffxy2、多元復合函數的全微分設函數設函數),(, ),(, ),(yxvyxuvufzy的全微分為的全微分為yyzxxzzdddxxvvzxuuzd)(yyvvzyuuzd)(uzvzuz可見無論可見無論 u , v 是自變量還是中間變量是自變量還是中間

8、變量, )dd(yyuxxu)dd(yyvxxv則復合函數則復合函數) (fz ),(, ),(yxyxyudvzvd都可微都可微, , 其全微分表達其全微分表達 形式都一樣形式都一樣, 這性質叫做全微分形式不變性這性質叫做全微分形式不變性.),sin(yzxzdzyxezxy 與與，并由此導出，并由此導出不變性求不變性求利用全微分形式利用全微分形式設設例例 )cos( )sin(yxyxeyx解解uveudsin)cos()sin(yxyxyeyx)cos()sin(yxyxyexzyx)cos()sin(yxyxxeyzyx所以所以) (dd zveusinvveudcos )cos( )

9、sin(yxyxeyx)(dyx)(dyx )cos()sin(yxyxxeyx,xyu 設設, yxv vezusin 于于是是(yd xxdy)(yd xxdy) (dxdy)(dxdy) d xd xdydy5.2.4.隱函數微分法隱函數微分法 一般地說，能用一般地說，能用y=f (x), z=f (x, y)等已將因變量等已將因變量解出的函數，稱之為顯函數；如果由方程形式：解出的函數，稱之為顯函數；如果由方程形式：F(x, y)=0, F(x, y, z)=0, 能確定出函數能確定出函數y=f (x), z=f (x, y)，這種未解出因變量，只是由方程形式確定，這種未解出因變量，只是

10、由方程形式確定的函數稱為隱函數，對于隱函數的求導或求偏導，的函數稱為隱函數，對于隱函數的求導或求偏導，有下面的：有下面的：例例 設設,222xyx 求求.ddxy解解,2),( 22xyxyxF 令令那那么么,22 xFx,2yFy 由公式得由公式得 xydd.1222yxyx 例例 設函數設函數z=f (x, y)由方程由方程sinz=xyz確定，確定， 求求 ,zxyz解法解法1那么那么yzxFxzyFxyzzFcos故故 xyzyzxzcosxyzxzyzcos設設F(x, y, z)=sinzxyz,解法解法2xzxyyzxzzcos故故 xyzyzxzcos同理可得同理可得 xyzx

11、zyzcos方程方程sinz=xyz兩邊分別對兩邊分別對x求偏導，得求偏導，得例例 設設 0932222zxyzyx求求 )1 , 2, 1(22xz解解 : 欲求欲求 ，應先求出，應先求出 , 再求再求 ，)1 , 2, 1(22xzxz22xz故故 ,2yxxF16 zzF所以所以zyxxz612所以，設所以，設F= 932222zxyzyx最后以最后以x=1, y=2, z=1代入即可代入即可. 由由z=f (x, y)是由方程確定的隱函數，是由方程確定的隱函數，222()()1 6zzxyxxxxz322)61 ()2(6)61 (2zyxz故故 52)1 , 2, 1(22xz22(

12、1 6 )(2)( 6)(1 6 )zzxyxz例例 設設,0),( bzcyazcx 其中其中 a , b , c 為常數，為常數， 函數函數 可微可微).0(21 ba證證兩邊對兩邊對 x 求導求導.0)()(21 xzbxzac 解得解得211 bacxz證明證明,cyzb xza 同理同理212 bacyza + b 于是有于是有.cyzbxza 即為所證即為所證.*隱函數的情況是多種多樣的，例如求由方程組隱函數的情況是多種多樣的，例如求由方程組確定的一元或多元隱函數的導數或偏導數，基本確定的一元或多元隱函數的導數或偏導數，基本思想和方法也完全類似思想和方法也完全類似, 0),(, 0

13、),(vuyxGvuyxF在滿足一定條件下，確定了隱函數在滿足一定條件下，確定了隱函數),(),(yxvvyxuuxvxu,求求利用復合函數求導法則，在方程利用復合函數求導法則，在方程F(x, y, u,v)=0及及G(x, y, u, v)=0兩端同時對兩端同時對x求偏導數，但要注意求偏導數，但要注意到到u, v是自變量是自變量x, y的函數，我們得到的函數，我們得到例如，方程組例如，方程組00 xvGxuGGxvFxuFFvuxvux將將 視為未知量，用消元法解上面的線性方程視為未知量，用消元法解上面的線性方程組，即可求得組，即可求得 xvxu,xvxu,同理可求得同理可求得 yvyu,*

14、例例 由由 ,sinsin,vxuyyxvu求求 xuyuxv解法解法1 方程組兩端分別對方程組兩端分別對x求偏導數求偏導數,cossincos, 1xvvxvxuuyxvxu用消元法解此方程組得用消元法解此方程組得uyvxvxvxucoscoscossinuyvxuyvxvcoscoscossin同理，方程組兩端分別對同理，方程組兩端分別對y求偏導數，解相應的求偏導數，解相應的未知量為未知量為 , 的線性方程組，可求得的線性方程組，可求得yuyvuyvxuvxdyucoscossincos解法解法2 利用一階全微分形式不變性，方程組利用一階全微分形式不變性，方程組兩端分別微分，有兩端分別微分，有,cossincossin,vdvxvdxuduyudydy