1、和和我們知道求由我們知道求由0, ybxax)(xfy 所圍成的曲邊梯形的面積所圍成的曲邊梯形的面積 A 須經過以下四個步驟：須經過以下四個步驟： （2近似代替：近似代替：iiixfA )( );(1iiixx ;)()(10lim baniiidxxfxfA （4取極限：取極限： （3求和：求和： niiixfA1)( ,ba分成分成n個小區間，個小區間，（1分割分割: 把把iA設第設第 i 個小曲邊梯形的面積為個小曲邊梯形的面積為 niiAA1那么：那么： 定積分的元素法定積分的元素法xoyab)(xfy ix1ix3-5 定積分的若干應用定積分的若干應用（2A對于區間對于區間a,b具有可

2、加性，即整個曲邊梯形的面積等于具有可加性，即整個曲邊梯形的面積等于 所有小曲邊梯形面積的和。所有小曲邊梯形面積的和。在上面的問題中，所求的量面積在上面的問題中，所求的量面積A有如下性質：有如下性質：（1A是一個與變量是一個與變量x的區間的區間a,b有關的量；有關的量；;)( badxxfA即：即：A的精確值，的精確值，iixf )( 近似代替部分量近似代替部分量iA 時，它們只相差一比時，它們只相差一比ix高階的無窮小，因此和式高階的無窮小，因此和式 niiixf1)( 的極限就是的極限就是（3以以（3寫出寫出A的積分表達式，即：的積分表達式，即：dxxfAba)( 求求A的積分表達式的步驟可

3、簡化如下：的積分表達式的步驟可簡化如下： （1確定積分變量確定積分變量x及積分區間及積分區間a，b；A以以dxxf)(作為作為的近似值。的近似值。,dxxx （2在在a,b上任取小區間上任取小區間dxxfdA)(dxxf)(叫做面積元素叫做面積元素,記為記為即：即：dxxfA)(A xyo)(xfy badxx xdxdA具體步驟是：具體步驟是： 那么這個量就可以用積分來表示。那么這個量就可以用積分來表示。 badxxfU)(（3寫出寫出 U 的積分表達式，即：的積分表達式，即： （1根據具體問題，選取一個變量例如根據具體問題，選取一個變量例如 x 為積分變量，并確定為積分變量，并確定 它的變

4、化區間它的變化區間a,b；dxxfdUU)(（2在在a,b上任取小區間上任取小區間 x, x+ dx，求出，求出 U 在這個小區間上在這個小區間上的近似表達式的近似表達式這種方法叫做這種方法叫做 定積分的元素法定積分的元素法.一般地，如果某一實際問題中的所求量一般地，如果某一實際問題中的所求量 U符合下列條件：符合下列條件：（1U是與一個變量是與一個變量x的變化區間的變化區間a，b有關的量；有關的量；（2U對于區間對于區間a，b具有可加性；具有可加性；iU 的近似值可表示為的近似值可表示為iixf )( （3部分量部分量1.平面曲線的弧長平面曲線的弧長定義定義: 若在弧若在弧 AB 上任意作內

5、接折線上任意作內接折線 ,0M1iMiMnMAByox當折線段的最大邊長 0 時, 折線的長度趨向于一個確定的極限 ,此極限為曲線弧 AB 的弧長 , 即并稱此曲線弧為可求長的.iiMM1定理定理: 任意光滑曲線弧都是可求長的任意光滑曲線弧都是可求長的.(證明略)ni 10lims則稱sdyxabo(1) 曲線弧由直角坐標方程給出:)()(bxaxfy)(xfy 弧長元素(弧微分) :xxxdxyd12因此所求弧長xysbad12xxfbad)(1222)(d)(ddyxs取取 x 為為積積分分變變量量， 積分區間為積分區間為,badxxx任取小區間(2) 曲線弧由參數方程給出:)()()(t

6、tytx弧長元素(弧微分) :因此所求弧長tttsd)()(22tttd)()(2222)(d)(ddyxs(3) 曲線弧由極坐標方程給出:)()( rr 平面極坐標系：oppoA，點),(p標，記作（在極坐標系中）的坐稱為點、有序數p，),(p.極角極徑，oAp（極點）（極點）（極軸）（極軸）xy.sin,cosyx,22yx .tanxy或直角坐標系圓的方程：,222ayx極坐標系圓的方程：,a.4表示通過極點的射線注；222)(ayax.cos2a(3) 曲線弧由極坐標方程給出:)()( rr,sin)(,cos)(ryrx令因此所求弧長d)()(22rrsd)()(22yxd)()(2

7、2rr則得sd弧長元素(弧微分) :(自己驗證)例例1 計算旋輪線計算旋輪線)cos1 ()sin(tRyttRx)0(R一拱)20(t的弧長 .解解tstytxd)()(d2dd2dd )cos1 (22tRtR22sintdttRd)cos1 (2ttRd2sin2ttRsd2sin2202cos22tR02.8Rxyoa2)0(12222babyax其中例例2 求橢圓周求橢圓周的弧長.解解上半橢圓周的方程為).(22axaxaaby弧微分為dxyds2)(1dxxaxab222221dxxaxaba222222) 1().1(2222222abcdxxacxasaa那么是圓的半徑，并有時

8、橢圓退化為圓，這時當bacba, 0dxxaasaa222aaaxaxda2)(12aaaxa|arcsin2.2 a不定積分時，當, 0cbadxxacxaaa2222這個積分稱為的原函數不是初等函數.橢圓積分橢圓積分.它無論在應用上還是在數學基礎理論研究中，橢圓積分都有重要價值. 旋轉體旋轉體由一個平面圖形繞同平面內一條直由一個平面圖形繞同平面內一條直線旋轉一周而成的立體這條直線叫做旋轉軸線旋轉一周而成的立體這條直線叫做旋轉軸圓柱圓柱圓錐圓錐圓臺圓臺2. 2. 旋轉體的體積旋轉體的體積推推導導由由連連續續曲曲線線 y=f(x)、直直線線 x=a、x=b 及及 x 軸軸所所圍圍曲曲邊邊梯梯形

9、形繞繞 x 軸軸旋旋轉轉而而成成的的旋旋轉轉體體的的體體積積計計算算公公式式： 取取 x 為為積積分分變變量量， 則則體體積積元元素素為為 dxydV2 dxxfVba2)( 旋轉體的體積公式旋轉體的體積公式dxxf2)( 積分區間為積分區間為,badxxx任取小區間xyoabxyoab)(xfy x類類似似地地，建建立立由由連連續續曲曲線線 x= (y)、直直線線 y=c、y=d 及及 y 軸軸所所圍圍曲曲邊邊梯梯形形繞繞 y 軸軸的的旋旋轉轉體體的的體體積積計計算算公公式式 xyo)(yx cddyy2)( dcVy例例3繞下求所圍成是橢圓周設區域D.99)4(4D22yx軸；）（軸；成的

10、旋轉體的體積：列各直線旋轉一周所形yx2) 1 (.13直線）（x解解上半橢圓周方程為：）（ 1)21125()4(9412xxyxV211252)4(941 dxx211253)4(274xx.2右半橢圓周可視為是一個橢圓環，其體積旋轉所形成的旋轉體（ D)2) 11(12342yyx左半橢圓周) 11(12342yyx分別繞y軸旋轉所形成的旋轉體體積之差.2112)4(941xyyxo2521234yx21234yxyx-11oyV1122)1234(dyy1122)1234(dyy112222)1234()1234(dyyy112124dyy.122112342yxyx-11o11234

11、2yxy1V) 3(112222) 11234() 11234(dyyy112118dyy.92 補例補例 計算下列已知曲線所圍成的圖形，按指定的軸旋轉所產生計算下列已知曲線所圍成的圖形，按指定的軸旋轉所產生的旋轉體的體積：的旋轉體的體積：軸；繞xyx,16)5() 1 (22軸；繞 yyx, 1) 1()2(22軸；繞 yyxxy,)3(22xy0-11解解,11)2(2yxdyyVy2112)11 (dyy2112)11 (xyoab 3. 旋轉體的側面積旋轉體的側面積設平面光滑曲線, ,)(1baCxfy求sySd2d積分后得旋轉體的側面積xxfxfSbad)(1)(22,0)(xf且它

12、繞 x 軸旋轉一周所得到的旋轉曲面的側面積 .)(2xfxxfd)(12xyoab)(xfy abx取取 x 為為積積分分變變量量， 積分區間為積分區間為a,b,badxxx任取小區間則側則側面積元素為：面積元素為：sySd2d側面積元素xyd2xyd2因為的線性主部 .若光滑曲線由參數方程)()()(ttytx給出, 則它繞 x 軸旋轉一周所得旋轉體的不是薄片側面積S 的 )(2ttttd)()(22S注意注意:側面積為xyo)(xfy abxsdxdxdsd 曲線弧由極坐標方程曲線弧由極坐標方程 rr 給出時給出時, cos ,sinxryr 2222xyrrxo d d )( rds旋轉

13、體的側面積為旋轉體的側面積為F222Fy xy d 22sin.rrr dxRyo例例4 計算圓周計算圓周上繞在,21222RRxxxRyxx 軸旋轉一周所得的球臺的側面積 S .解解 對曲線弧對曲線弧,2122xxxxRy應用公式得212xxS22xR 2 122xRxxd21d2xxxR)(212xxR當球臺高 h2R 時, 得球的表面積公式24RS1x2xozyx. 曲線弧的質心與轉動慣量曲線弧的質心與轉動慣量若平面上的一條光滑曲線弧，其參數方程是若平面上的一條光滑曲線弧，其參數方程是AB ,xx ttyy t 線密度為，線密度為， t弧弧 的質量近似為的質量近似為ds ,t ds這段弧

14、關于和軸的靜力矩分別是：這段弧關于和軸的靜力矩分別是：xy 22,xMy ttx ty tdt 22,dsx ty tdt弧微分弧微分,)()(dsttydMx.)()(dsttxdMy 22.yMx ttx ty tdt 其總質量為其總質量為 22.Mtx ty tdt 所以整個曲線弧的質心的坐標為所以整個曲線弧的質心的坐標為,X Y 221,xMXx ttx ty tdtMM 221.yMYy ttx ty tdtMM質量為的質點繞一固定軸旋轉的轉動慣量為質量為的質點繞一固定軸旋轉的轉動慣量為m2,Jmr其中是質點到固定軸的距離，所以其中是質點到固定軸的距離，所以r 222,xJyttx

15、ty tdt 222yJxttx ty tdt. ,)()(2dsttydJx.)()(2dsttxdJy軸的轉動慣量分別是軸及關于yxds因而，整個弧對因而，整個弧對x 軸與軸與y軸的轉動慣量分別是軸的轉動慣量分別是5.平面圖形的面積平面圖形的面積平面直角坐標下圖形的面積平面直角坐標下圖形的面積(1)由曲線)0()(xfy與直線)(,babxax及 x 軸所圍曲xbaoy)(xfy xxxdxxfAbad)(邊梯形面積為 A .,)(dxxfdA 其中被積表達式f(x)dx就是直角坐標下的面積元素,它表示高為f(x)、底為dx的一個矩形面積. (2)由曲線由曲線 ,直線直線y=c,y=d(c

16、d)及及y軸軸所圍成的曲邊梯形的面積軸軸所圍成的曲邊梯形的面積)0)()(ygygx.d)(yygAdcbadxxgxfA)()(. 0)()(,) 1 (xgxfba上在若).()(,)2(xgxfba上在dcdyyyA)()(. 0)()(,) 1 (yydc上在若).()(,)2(ygydc上在(3)求下列曲線所圍成的面積求下列曲線所圍成的面積Axy0ab)(xfy )(xgy )(xfy )(xgy abxy0badxxgxfA)()(例例1. 計算兩條拋物線計算兩條拋物線22,xyxy在第一象限所圍所圍圖形的面積 . xxy 2oy2xy xxxd解解: 由由xy 22xy 得交點)

17、 1, 1 ( , )0,0() 1 , 1 (1xxxAdd22332x01331x3110Axxy22oy4 xy例例2. 計算拋物線計算拋物線xy22與直線的面積 . 解解: 由由xy224 xy得交點)4,8( , )2,2()4,8(yyyAd)4(d221184 xy所圍圖形)2,2(221yy442361y為簡便計算, 選取 y 作積分變量,則有yyyd42A 平面極坐標系：oppoA，點),(p標，記作（在極坐標系中）的坐稱為點、有序數p，),(p.極角極徑，極坐標與直角坐標的關系：oAp（極點）（極點）（極軸）（極軸）xy.sin,cosyx,22yx .tanxy或直角坐標

18、系圓的方程：,222ayx極坐標系圓的方程：,a.4表示通過極點的射線注；222)(ayax.cos2a 設由曲線設由曲線)( r及射線及射線 、 圍成一圍成一曲邊扇形曲邊扇形，求其面積這里，求其面積這里，)( 在在, 上連續，且上連續，且0)( xo d d 曲邊扇形面積元素曲邊扇形面積元素 ddA2)(21 曲邊扇形的面積公式曲邊扇形的面積公式.)(212 dA 平面極坐標下圖形的面積平面極坐標下圖形的面積)( rttadcos82042例例6. 計算心形線計算心形線所圍圖形的面積 . 解解:)0()cos1 (aarxa2o dd)cos1 (2122a02A02ad2cos44(利用對

19、稱性)2t令28a43212223a 變力沿直線所作的功變力沿直線所作的功設物體在連續變力 F(x) 作用下沿 x 軸從 xa 移動到,bx 力的方向與運動方向平行, 求變力所做的功 .xabxxxd，上任取子區間在d,xxxba在其上所作的功元素為xxFWd)(d因此變力F(x) 在區間 ,ba上所作的功為baxxFWd)(S補例補例1體, 求移動過程中氣體壓力所ox解解:由于氣體的膨脹, 把容器中的一個面積為S 的活塞從點 a 處移動到點 b 處 (如圖), 作的功 .ab建立坐標系如圖.xxdx 由波義耳馬略特定律知壓強 p 與體積 V 成反比 , 即,SxkVkp 功元素為WdxFdxxkd故作用在活塞上的SpFxk所求功為baxk lnabkln力為在底面積為 S 的圓柱形容器中盛有一定量的氣 補例補例2為3m,試問要把桶中的水全部吸出需作多少功 ? 解解: 建立坐標系