1、中國高考數學母題一千題(第0001號)高考與阿波羅尼斯圓之吻阿波羅尼斯圓生成高考的視角 阿波羅尼斯圓最早現身于我國高考是1994年,此后,高考多次與阿波羅尼斯圓零距離接觸,使得阿波羅尼斯圓成為此類高考試題的母題.在此我們特別關注的是阿氏圓生成高考試題的不同視角.母題結構:如圖,平面內到兩定點A、B的距離之比為正常數(1)的點P的軌跡是圓,該圓稱為阿波羅尼斯圓,設直線AB與阿波羅尼斯圓交于M、N兩點,阿波羅尼斯圓有如下性質:若A(a,0),B(b,0),則阿波羅尼斯圓:(x-)2+y2=2;若AB=a,則阿波羅尼斯圓的半徑r=;PM平分APB,PN平分APB的外角,且AM:MB=AN:NB.母題

2、解析:設P(x,y),由|PA|=|PB|得:|PA|2=2|PB|2(x-a)2+y2=2(x-b)2+y2(x-)2+y2=2;由知,當|AB|=|a-b|時,阿氏圓的半徑r=|當|AB|=a時,阿氏圓的半徑r=;由=PM平分APB;同理可證:PN平分APB的外角,且AM:MB=AN:NB. 確定阿氏圓的基本量有兩定點A、B和距離比,因此,設計以阿氏圓為背景問題的視角一般有三個:已知兩定點A、B和距離比,求阿氏圓的方程,以及阿氏圓方程的應用;已知阿氏圓的方程,由兩定點A、B和距離比的其中之一,求另一;利用阿氏圓的性質解決相關問題. 1.求阿氏圓及其應用 子題類型:(2008年四川高考試題)

3、已知拋物線C:y2=8x的焦點為F,準線與x軸的交點為K,點A在C上,且|AK|=|AF|,則AFK的面積為( )(A)4 (B)8 (C)16 (D)32分析:由|AK|=|AF|,聯想到求點A的阿氏圓,然后,與y2=8x聯立,求|yA|,由此可求SAFK.解析:由拋物線C的焦點為F(2,0),準線為x=-2K(-2,0);由|AK|=|AF|點A在阿氏圓:(x-6)2+y2=32上,代入y2=8x得:x2-4x+4=0x=2|y|=4AFK的面積=|FK|y|=8.故選(B).點評:本題以條件|AK|=|AF|,來隱蔽阿氏圓,并把阿氏圓與拋物線結合設計試題,這是由阿氏圓生成試題的常用手法;

4、當問題中含有PA=PB(A,B為定點)這類條件時,一般都可借助阿氏圓來求解. 2.己知阿氏圓求相關量 子題類型:(2015年湖北高考試題)如圖,圓C與x軸相切于點T(1,0),與y軸正半軸交于兩點A,B(B在A的上方),且|AB|=2.()圓C的標準方程為 ;()過點A任作一條直線與圓O:x2+y2=1相交于M,N兩點,下列三個結論:=;-=2;+=2.其中正確結論的序號是 (寫出所有正確結論的序號).分析:對于第()問,由切割線定理可求|OA|,由此得點A,B的坐標,進而得圓心C的坐標,寫出圓C的標準方程;第()問是本題的題眼,由結論中的比例式逆向聯想阿氏圓,由阿氏圓求距離比,即解.解析:(

5、)由圓C與x軸相切于點T|OA|OB|=|OT|2|OA|(|OA|+2)=1|OA|=-1A(0,-1),B(0,+1)C(1,)圓C:(x-1)2+(y-)2=2;()設M(x,y),|MB|=|MA|x2+(y-1)2=2x2+(y-+1)2(2-1)x2+(2-1)y2+2(+1)-(-1)2y=(+1)2-(-1)22,與圓O:x2+y2=1比較得(+1)-(-1)2=0=+1=-1=-1=,-=(+1)-(-1)=2,+=(+1)+(-1)=2.故選.點評:由阿氏圓可以構造兩類逆向型問題:已知兩定點A、B和其對應的阿氏圓方程,求距離比;本題就屬此類;已知阿氏圓方程和其對應的距離比,

6、求兩定點A、B. 3.阿氏圓的性質及其應用 子題類型:(2008年江蘇高考試題)滿足條件AB=2,AC=BC的三角形ABC的面積的最大值 .分析:由AC=BC,聯想到求點C的阿氏圓,為此建立坐標系,用解析法求解.解析:因AB為定值,為求SABC的最大值,只需求頂點C到邊AB距離的最大值即可,又動點C滿足AC=BC,所以動點C的軌跡為阿波羅尼斯圓.圓的半徑r=2(a=|AB|=1,=),所以,SABC的最大值=|AB|r=2.點評:本題把阿波羅尼斯圓與三角形結合設計試題,是氏圓典型的應用問題;阿氏圓具有豐富的幾何性質,它給我們帶來了多變的命題視角,尤其是與三角形,或更廣泛的平面幾何問題結合. 4

7、.子題系列:1.(1994年全國高考試題)已知直角坐標平面上點Q(2,0)和圓C:x2+y2=1,動點M到圓C的切線長與|MQ|的比等于常數(O),求動點M的軌跡方程,說明它表示什么曲線.2.(2003年北京高考試題)設A(-c,0),B(c,0)(c0)為兩定點,動點P到A點的距離與到B點的距離的比為定值a(a0),求P點的軌跡方程及圖形.3.(2005年江蘇高考試題)圓O1與圓O2的半徑都等于1,O1O2=4.過動點P分別作圓O1、圓O2的切線PM、PN(M、N分別為切點),使得PM=PN.試建立平面直角坐標系,并求動點P的軌跡方程.4.(2006年四川高考試題)已知兩定點A(-2,0)、

8、B(1,0),如果動點P滿足|PA|=2|PB|,則點P的軌跡所包圍的圖形的面積等于( )(A) (B)4 (C)8 (D)95.(2002年全國高考試題)已知點P到兩個定點M(-1,0),N(1,O)距離的比為,點N到直線PM的距離為1.求直線PN的方程.6.(2014年湖北高考試題)已知圓O:x2+y2=1和點A(-2,0),若定點B(b,0)(b-2)和常數滿足:對圓O上任意一點M,都有|MB|=|MA|,則b= ;= .7.(2013年江蘇高考試題)如圖,在平面直角坐標系xOy中,點A(0,3),直線l:y=2x-4.設圓C的半徑為1,圓心在l上.()若圓心C也在直線y=x-1上,過點

9、A作圓C的切線,求切線的方程;()若圓C上存在點M,使MA=2MO,求圓心C的橫坐標a的取值范圍.8.(2011年浙江高考試題)P,Q是兩個定點,點M為平面內的動點,且=(0,且1),點M的軌跡圍成的平面區域的面積為S,設S=f()(0,且1),則以下判斷正確的是( )(A)f()在(0,1)上是增函數,在(1,+)上是減函數 (B)f()在(0,1)上是減函數,在(1,+)上是減函數(C)f()在(0,1)上是增函數,在(1,+)上是增函數 (D)f()在(0,1)上是減函數,在(1,+)上是增函數9.(2009年無錫第一次質檢試題)已知橢圓C:+=1(ab0)的左、右焦點分別為F1、F2,

10、其半焦距為c,若點P是圓M:(x-)2+y2=c2,則= .10.(2012年遼寧五校協作體高二數學競賽試題)已知圓C:x2+y2=9,點A(-5,0),直線l:x-2y=0.()求與圓C相切,且與直線l垂直的直線方程;()若在直線OA(O為坐標原點)上,存在點B(不同于點A)滿足:對于圓C上任意一點P,都有為一常數,試求滿足條件的點B的坐標.11.(2012年福建省高一數學競賽試題)已知圓C:(x-2)2+(y-2)2=m,點A(4,6),B(s,t).()若3s-4t=-12,且直線AB被圓C截得的弦長為4,求m的值;()若s,t為正整數,且圓C上任意一點到點A的距離與到點B的距離之比為定

11、值(1),求m的值.12.(2011屆南通市高三期末考試題)已知等腰三角形腰上的中線長為,則該三角形的面積的最大值是 .13.(原創題)在ABC中,內角A、B、C的對邊分別為a、b、c,AD為BC邊上的高,且AD=BC,則+的最大值為 .14.(2011年同濟大學等九所高校自主招生試題)在ABC中,AB=2AC,AD是A的平分線,且AD=kAC.()求k的取值范圍;()若ABC的面積為1,問k為何值時BC最短? 4.子題詳解:1.解:設切點為T,由|MT|=|MQ|MT|2=2|MQ|2|MO|2+1=2|MQ|2x2+y2+1=2(x-2)2+y2(2-1)x2+(2-1)y2-42x+42

12、-1=0;當=1時,x=-;當1時,(x-)2+y2=()2是圓心為(,0),半徑=的圓.2.解:設P(x,y),則由|PA|=a|PB|PA|2=a2|PB|2(x+c)2+y2=a2(x-c)2+y2(a2-1)x2+(a2-1)y2-2(a2+1)cx+(a2-1)c2=0;當a=1時,x=0是AB的中垂線;當a1時,(x-c)2+y2=()2,所以,動點P的軌跡是以(c,0)為圓心,|為半徑的圓.3.解:以直線O1O2為x軸,線段O1O2的垂直平分線為y軸,建立平面直角坐標系;則兩圓心分別為O1(-2,0),O2(2,0),設P(x,y),則|PM|2=|O1P|2-|O1M|2=(x

13、+2)2+y2-1,同理|PN|2=(x-2)2+y2-1;由PM=PN(x+2)2+y2-1=2(x-2)2+y2-1(x-6)2+y2=33.所以動點P的軌跡方程為(x-6)2+y2=33.4.解:由題知點P的軌跡是阿氏圓,故求圓的面積,圓的半徑r=2(a=|AB|=,=2),所以,圓的面積為4.故選(B).5.解:設P(x,y),由題可知點P的軌跡是阿波羅尼斯圓:(x-3)2+y2=8;由點N到直線PM的距離為1PMN=300直線PM:y=(x+1),代入(x-3)2+y2=8得:x2-4x+1=0x=2P(2+,+1),P(2+,-1),P(2-,-1),P(2-,-+1)PN:y=x

14、-1,或y=-x+1.6.解:由|MB|=|MA|知,圓O:x2+y2=1是阿波羅尼斯圓,因若A(b2,0),B(b,0),則阿波羅尼斯圓:x2+y2=(b)2,其中,b=-2,且-b=1=b2=-為題中的bb=-,=.7.解:()由C(3,2)圓C:(x-3)2+(y-2)2=1;設切線kx-y+3=0,由=1k=0,-切線:y=3,y=-x+3;()由圓心C在l上圓心C(a,2a-4);設M(x,y),由MA=2MOx2+(y+1)2=4點M在以D(0,-1)為圓心,半徑為2的圓D上,又點M在圓C上圓C與圓D相交|2-1|CD| 0為定值),由題可知點M的軌跡是阿波羅尼斯圓,故f()=圓的

15、面積,圓的半徑r=|f()=|2=4a2在(0,1)上是增函數,在(1,+)上是減函數.故選(A).9.解:令c=2=2;10.解:()直線方程:y=-2x3;()(法一)設B(t,0),P(x,y),=(x-t)2+y2=2(x+5)2+y2,對滿足x2+y2=9的任何實數對(x,y)恒成立2(52+t)x+342-t2-9=0,對x-3,3恒成立2(52+t)=0,342-t2-9=0=,1(舍去),t=-,-5(舍去)B(-,0);(法二)由A(-5,0)及阿波羅尼斯圓x2+y2=9b=-5,|b|=3=b2=-B(-,0).11.解:()m=8;()設P(x,y),由|PA|=|PB|(2-1)x2+(2-1)y2-2(2s-4)x-2(2t-6