1、線性規劃應用題1某企業生產甲、乙兩種產品，已知生產每噸甲產品要用A 原料 3噸、B 原料 2噸；生產每噸乙產品要用A原料 1噸、B原料 3噸。銷售每噸甲產品可獲得利潤5 萬元，每噸乙產品可獲得利潤3 萬元， 該企業在一個生產周期內消耗A 原料不超過 13 噸，B 原料不超過 18噸，求該企業可獲得最大利潤。解析：設甲、乙種兩種產品各需生產x 、 y 噸，可使利潤 z 最大，故本題即3 xy13已知約束條件2 x3 y18z5 x3 y 的最大x0，求目標函數y0x3151227 。值，可求出最優解為y，故 zmax42. 某公司租賃甲、乙兩種設備生產A,B 兩類產品 ,甲種設備每天能生產A類產

2、品5件和 B類產品 10 件 ,乙種設備每天能生產A 類產品 6 件和 B 類產品 20 件.已知設備甲每天的租賃費為 200 元 ,設備乙每天的租賃費為300 元 ,現該公司至少要生產 A 類產品 50件,B 類產品 140件,求所需租賃費的最少值 .【解析】 :設甲種設備需要生產x 天 , 乙種設備需要生產 y 天 , 該公司所需租賃費為z 元 ,則z 200x300y ，甲、乙兩種設備生產A,B 兩類產品的情況為下表所示:產品A 類產品B 類產品租賃費設備(件 )( 50)(件)( 140)(元 )甲設備510200乙設備6203005x6y50x610y則滿足的關系為 10x20 y1

3、40即:5, .2 yx0, y0x14x0, y0,當 z200x300 y 對應的直線過兩直線x6 y10作出不等式表示的平面區域5的交點x2 y 14(4,5) 時，目標函數z200x300 y 取得最低為2300 元 . .答案 :23003. 某人上午 7 時，乘摩托艇以勻速 v n mi le/h（ 4 v 20）從 A 港出發到距 50 n mi le 的 B港去，然后乘汽車以勻速w km/h （ 30w 100）自 B 港向距 300 km 的 C 市駛去 應該在同一天下午4 至 9 點到達 C 市 設乘汽車、摩托艇去所需要的時間分別是x h、 y h（ 1）作圖表示滿足上述條

4、件的x、y 范圍；（ 2）如果已知所需的經費 p=100+3×（ 5 x） +2×（ 8 y）（元），那么 v、w 分別是多少時走得最經濟 ?此時需花費多少元 ?分析：由 p=100+3 ×（ 5x） +2 ×（ 8 y）可知影響花費的是3x+2y 的取值范圍解：（ 1）依題意得 v= 50 ， w= 300 ， 4v 20， 30 w100yx 3 x 10， 5 y 25y2214由于乘汽車、摩托艇所需的時間和x+y 應在9 至 14 個小時之間，9即 9x+y 142.5x，y）的存在范圍是圖因此，滿足的點（O39 10 14 x中陰影部分（包括邊

5、界）（ 2） p=100+3 ·（ 5 x）+2·（ 8y）， 3x+2y=131 p設 131 p=k，那么當 k 最大時， p 最小 在通過圖中的陰影部分區域（包括邊界）且斜率為 3 的直線 3x+2y=k 中，使 k 值最大的直線必通過點（ 10，4），即當 x=10，y=4 時， p 最小2此時， v=12 5， w=30 ， p 的最小值為93 元點評：線性規劃問題首先要根據實際問題列出表達約束條件的不等式然后分析要求量的幾何意義4. 某公司計劃在今年內同時出售變頻空調機和智能洗衣機，由于這兩種產品的市場需求量非常大，有多少就能銷售多少，因此該公司要根據實際情況（

6、如資金、勞動力）確定產品的月供應量，以使得總利潤達到最大已知對這兩種產品有直接限制的因素是資金和勞動力，通過調查，得到關于這兩種產品的有關數據如下表：(表中單位 :百元 )單位產品所需資金資金空調機月資金供應量洗衣機成本3020300勞動力 : 工資510110單位利潤68試問：怎樣確定兩種貨物的月供應量，才能使總利潤達到最大，最大利潤是多少?解：設空調機、洗衣機的月供應量分別是x、 y 臺，總利潤是 P，則 P=6x+8y，由題意有30x+20y 300， 5x+10y110，x 0， y0， x、 y 均為整數由圖知直線 y= 3x+1P 過 M（ 4，9）時，縱截距最大 這48時 P 也

7、取最大值 Pmax =6× 4+8× 9=96（百元）故當月供應量為空調機4 臺，洗衣機9 臺時，可獲得最大利潤9600 元5.某礦山車隊有4 輛載重量為10 t 的甲型卡車和7 輛載重量為6 t 的乙型卡車，有9 名駕駛員 此車隊每天至少要運360 t 礦石至冶煉廠已知甲型卡車每輛每天可往返6 次，乙型卡車每輛每天可往返8 次 甲型卡車每輛每天的成本費為252 元，乙型卡車每輛每天的成本費為160 元 問每天派出甲型車與乙型車各多少輛，車隊所花成本費最低?分析：弄清題意，明確與運輸成本有關的變量的各型車的輛數，找出它們的約束條件，列出目標函數，用圖解法求其整數最優解解：設

8、每天派出甲型車x 輛、乙型車y 輛，車隊所花成本費為z 元，那么xy 9y106x6 8 y 360x4, xN7y7, yN5x+4y=30z=252x+160y，作出不等式組所表示的平面區域，即可行域，如圖x+y =9作出直線 l 0： 252x+160y=0，把直線 l 向右上方平移，使其經過可行域上的整點， 且使在 y 軸上的截距最小觀察圖形， 可見當直線 252x+160y=to4x經過點（ 2， 5）時，滿足上述要求此時， z=252 x+160 y 取得最小值，即x=2， y=5 時， zmin=252× 2+160 ×5=1304答：每天派出甲型車 2 輛，

9、乙型車5 輛，車隊所用成本費最低解題回顧 : 用圖解法解線性規劃題時，求整數最優解是個難點，對作圖精度要求較高，平行直線系 f（ x， y）=t 的斜率要畫準，可行域內的整點要找準，最好使用“網點法”先作出可行域中的各整點6. 某?；锸抽L期以面粉和大米為主食，面食每100 g 含蛋白質6 個單位，含淀粉4 個單位，售價 0 5 元，米食每 100 g 含蛋白質3 個單位， 含淀粉 7 個單位， 售價 0 4 元，學校要求給學生配制盒飯，每盒盒飯至少有8 個單位的蛋白質和 10 個單位的淀粉，問應如何配制盒飯，才既科學又費用最少?解：設每盒盒飯需要面食x（百克），米食 y（百克），所需費用為 S

10、=05x+0 4y，且 x、 y 滿足6x+3y 8， 4x+7 y 10， x 0，y 0，由圖可知，直線y= 5x+5S過 A（13， 14 ）時，縱截距5S 最小，即 S 最小4215152故每盒盒飯為面食13 百克，米食 14 百克時既科學又費用最少15157. 配制 A、B 兩種藥劑， 需要甲、 乙兩種原料， 已知配一劑 A 種藥需甲料 3 mg，乙料 5 mg；配一劑 B 種藥需甲料 5 mg ，乙料 4 mg 今有甲料 20 mg ，乙料 25 mg ，若 A、B 兩種藥至少各配一劑，問共有多少種配制方法 ?解：設 A、 B 兩種藥分別配 x、y 劑（ x、 yN ），則x 1，

11、y 1， 3x+5 y 20， 5x+4y 25上述不等式組的解集是以直線 x=1 ，y=1， 3x+5y=20 及 5x+4y=25 為邊界所圍成的區域，這個區域內的整點為（ 1，1）、（1，2）、（ 1，3）、（ 2，1）、（ 2，2）、（ 3，1）、（ 3，2）、（4， 1）所以，在至少各配一劑的情況下，共有8 種不同的配制方法8. 要將兩種大小不同的鋼板截成 A 、B、C 三種規格，每張鋼板可同時截得三種規格的小鋼板的塊數如下表：塊數規格ABC種類第一種鋼板121第二種鋼板113每張鋼板的面積為： 第一種 1m2，第二種 2 m2，今需要 A 、B、C 三種規格的成品各12、15、 27 塊，問各截這兩種鋼板多少張，可得所需的三種規格成品，且使所用鋼板面積最小？解：設需截第一種鋼板x 張，第二種鋼板y 張，所用鋼板面積為z m2，則有：xy122 xy15x 2y ，x3 y， z27x0,