1、y=Asin(x+)案例分析參與本講的嘉賓姓名單位職務、職稱王尚志首都師范大學教授張飴慈首都師范大學教授張思明北大附中特級教師羅強蘇州市第五中學特級教師谷丹北京四中數學教研室主任呂寶珠北京四中教師侯彬北京四中教師張思明： 各位老師大家好， 歡迎老師們繼續參加我們三角函數部分的課案和討論。上節課我們專門就三角函數的定義、性質做了討論。這節課我們將就三角函數里的正弦函數的一個最標準的模型 y=Asin（wx+）這個函數進行研討。我們先來介紹一下兩位研討的嘉賓。 我身邊這位是江蘇省著名的特級教師蘇州五中的羅強老師。 那邊那位是大家都熟悉的我們整個研修活動中的領頭人首都師范大學博士生導師王尚志教授。歡

2、迎兩位到我們現場來。首先先看一下這位主人公羅強老師為我們提供的一個 y=Asin（wx+）的說課案例 我們一起來看這個錄像。羅強：各位老師大家好 我是蘇州市第五中學的數學教師羅強。我向大家說課的課題是函數 y=Asin（wx+）的圖象。先和大家說明一下這一節課的知識結構與地位。這節課位于三角函數這一章。三角函數是中學數學的重要內容之一，它既是解決生產實際問題的工具，又是學習高等數學及其他學科的基礎。在三角函數這一章中函數 y=Asin（wx+）的圖象處于三角函數的圖象與性質之后和三角函數的應用之前。函數 y=Asin（wx+）是刻畫物理學中簡諧振動和交流電的電壓電流變化的數學模型，它的應用非常

3、廣泛。同時三角函數圖象變換是函數圖象伸縮平移變換的特例。由正弦曲線得到函數 y=Asin（wx+）的圖象為學生提供了一種函數圖象變換的重要思維模型，是今后研究初等數學一般函數圖象變換的基礎。課程標準與教學大綱在這部分內容上處理上有一點差異，差異主要體現在兩個方面：第一個是課時的差異，教學大綱三角函數總共安排了 46 課時而新課程標準中三角函數總共安排了 32 課時，但相比而言在新課標教材中，三角函數的課時比大綱版教材要緊。 這就要求教師必須研究如何用較少的課時取得較好的教學效益； 第二個差異體現在研究方法上教學大綱強調是在五點法畫函數y=Asin（wx+）的簡圖的基礎上，理解 AW 的物理意義

4、。而課程標準則強調要借助計算器或計算機畫出 y=Asin（wx+）的圖象，進而觀察參數 AW 對函數圖象變化的影響 這一差異造成了新舊教材在函數 y=Asin（wx+）圖象的這一節內容的處理上出現了較大的變化。 相應地要求教師在教學方式上做出必要的調整。接下來進行教材分析函數 y=Asin（wx+）的圖象是蘇教版普通高中課程標準實驗教科書必修四 1.33 的教學內容。教參規定兩個課時。在蘇教版教材中，探討函數 y=Asin（wx+）的圖象和正弦曲線的關系是本節總的研究課題，教材分兩個階段來進行研究， 遵循了由簡單到復雜的原則。 第一階段先分別研究 AW對函數 y=Asin （wx+） 圖象的影

5、響， 繼而再研究較復雜的函數 y=Asin （wx+）與 y=sinwx 的圖象的關系。 在蘇教版教材當中它的研究按照比較統一的教學流程進行，也就是由作圖到觀察，再到思考，再到歸納這樣一個程序。蘇教版教材采用 Excel 這樣一個軟件平臺做出 y=sin（x+1）與 y=sinX 的圖象。通過這樣的作圖方式來觀察這兩個圖象之間的關系，進而思考變換結果及其原因，最后再來歸納字母對圖象影響的一般規律。 第二階段蘇教版教材通過研究一個具體的函數y=3sin（2x- /3）得出函數 y=Asin（wx+）與 y=sinX 之間函數圖象變換的關系。教材一共提供了三種研究思路。第一個是五點法，第二個是用圖

6、象變換的方式，第二個圖象變換的方式調整了一下，w 跟的變換次序 一般情況下兩個階段恰好可以分成兩個課時進行教學。三是學情分析。初中階段學生在學習二次函數的圖象時，曾研究過參數 a b c 對二次函數圖象變化的影響。在必修 1 函數概念與基本初等函數一章中間，學生在學習時曾涉及到一些指數、對數函數圖象的簡單變換。在本節內容之前，學生則通過學習五點法作正弦曲線的圖象函數 y=sinx 的性質和函數 y=Asin（wx+）的周期等知識已經具備了一定的作圖、讀圖能力，能夠根據圖象抽象概括出一些簡單的性質。 正是由于學生已經具備了上述知識和方法的準備，因此在分別討論參數 A w 對函數 y=Asin（w

7、x+）圖象影響時，學生的學習基本上是順利的。但是當三個參數 Aw 結合在一起共同對函數 y=Asin（wx+）的圖象產生影響時，學生往往顯得比較迷盲。尤其是當參數 w 綜合在一起， 并且按照不同的先后次序進行函數圖象變換時學生的認識比較容易產生混亂。四是目標定位。根據課程標準和教材對這節內容的安排，我把本節課的目標定位為一能借助計算器或計算機畫出函數 y=Asin（wx+）的圖象，觀察研究參數 A w 對函數圖象變化的影響。二會用五點法畫出函數 y=Asin（wx+）的簡圖。三能由正弦曲線經過平移 伸縮變換得到 y=Asin（wx+）的圖象，并在這個過程中認識到函數 y= sinx 與 y=A

8、sin（wx+）的聯系。四是在學生探究圖象變換規律的過程中，滲透由簡單到復雜、特殊到一般的科學研究的方法，滲透對立統一的辯證思想。培養學生探索問題的意識和探究能力。五重點難點。根據前面的分析本節課的教學重點為探究參數 A w 對函數y=Asin（wx+）的圖象變化的影響。二會用五點法畫出函數 y=Asin（wx+）的簡圖三能由正弦曲線經過平移、伸縮變換得到 y=Asin（wx+）的圖象。本節課的教學難點有以下兩個。一是 y=sinwx 變換到 y=Asin（wx+）時，平移方向與平移量如何確定。尤其是如何理解變與變 w 順序的不同所引起的平移量的差異。第二個是 y=sin（x+）變換到 y=s

9、in（wx+）時伸與縮是如何確定的以及不動點是如何確定的。下面我給大家介紹一下我的教學設計。第一部分是問題情境。問題情境，我采用了教材的引入內容，然后提出問題一 ：函數 y=Asin（wx+）它的圖象與 y=sinx 的圖象有什么關系。這一段教學內容基本上按照蘇教版教材進行教學，這樣的處理既給出了相關的基本概念。又開門見山提出了一個統領全節的基本問題。第二部分是學生活動。首先請學生用五點法在教師給發放的統一的探究操作紙上作出函數 y= 2sin（2x-/3）這樣一個具體函數的圖象，在這個過程中間，教師和學生重新溫習五點法這種基本的作圖，并且讓學生再次體驗用五點法如何做出一個復雜的三角函數的圖象

10、。 我覺得即使我們可以用計算機方便地做出各種復雜的三角函數圖象， 但是五點法仍然是我們作三角函數圖象最基本的方法，這種作圖方法不依賴于設備。一旦熟練掌握，學生隨時可以快捷地完成作圖，有利于學生后續的學習。在用五點法作圖的過程中學生還可以比較直觀準確地理解函數 y=Asin（wx+）圖象的特征與性質，同時五點法做出的函數 y=2sin （2x-/3） 的圖象可以作為后續教學中檢測圖象變換結果是否準確的一個標準。活動二，用圖象變換的方法由 y=sinx 的圖象做出函數 y=2sin（2x-/3）的圖象。教師可以和學生一起擬定一個探究計劃，即先研究的變化。再研究 A的變化 再研究 w 的變化，最后研

11、究Aw 共同變化。教師請學生繼續在統一發放的探究表上填寫它的圖象變化過程。上課前教師將印好的 y=Asin（wx+）圖象變化的探究表提供給學生，這樣可以把學生從簡單重復的畫圖工作中解放出來， 使得學生把精力集中到研究變換前后兩個圖象的關系上來。這個內容教學時教師暫時不要先使用課件，要求學生按照一個統一的研究流。 也就是作圖、觀察、思考、歸納，這一過程進行自主探究，以保證學生能夠通過作圖這樣一種操作活動充分體驗和感悟圖象變換的本質。在學生探究完之后，教師提出問題 2能否由剛才的探究概括關于圖象變換的一般規律， 教師和學生一起概括四種圖象變換的規律，分別是相位變換也就是平移變換，也就是變，周期變換

12、變 w ，振幅變換變 A 同時有兩種變換綜合的相位變換學生在五點法作圖的基礎上，通過觀察兩個函數圖象對應的五個特殊點的變化規律， 就可以比較輕松地得到剛才這樣三種基本圖象的變換規律。由于整個探究過程是按照一個固定的流程，也就是作圖、觀察、思考、歸納進行的，因此學生在觀察兩個函數圖象的情況下，原來容易混淆的相位變換 2，一般也能夠比較輕松地得以突破。 但是教師應該比較清醒地認識到學生的這種認知是建立在剛才這樣一種實踐操作，以及直觀的基礎之上，并不牢固。只有當學生真正認識到變換這種表象背后的根源時，學生的認識才能完成飛躍。第四個環節是深化認識環節，教師提出問題 3 圖象變換作圖的難點在什么地方？一

13、般來說難點有兩個：一個就是 y=sinwx 到 y=sin（wx+），在這個過程中學生的困難主要在于究竟是左移還是右移，以及平移量的確定。而在 y=sin（x+）到 y=sin（wx+）中， 學生的困難主要是究竟是伸還是縮以及不動點如何確定。教師繼續提出怎樣才能夠避免差錯，那么要求學生一個是提高認識，第二個找到檢測方法，接下來教師可以打開自己制作的課件在這個課件中，請學生帶著問題來思考，教師展示給學生，按照兩種方式兩種程序展示給學生。第一個流程是由變 w 到變變 A，先顯示這個軌跡，就是 y=sin(x-/ 3)，同時顯示這樣一個變化的箭頭。讓學生體會這個圖象變換是如何進行的，再來變 w，得到

14、 y=sin(2x-/ 3)的圖象，就是這個紅的曲線同樣顯示箭頭讓學生體會。這個圖象上的點是如何變化的，最后是變 A 先畫出剛才的 y=sin(2x-/3)的圖象。再顯示新的 y= sin(2x-/3)的圖象， 顯示箭頭讓學生體會圖象上的點是如何變化的。也就是概括這個圖像變換的一般規律，再用第二種流程，先變 w 再變，再變A 先畫出 y=sin2x 的圖象，顯示箭頭讓學生體會這個圖象上的點是如何變化的。然后先畫出 y= sin2x 的圖象，再畫出 y=sin（2x-/3）的圖象，顯示箭頭讓學生體會這個圖象是如何變化的。第三個環節也就是剛才這個環節，由于學生已經完成了五點法作圖，探究的初步訓練，

15、因此將課件延遲到這個時候使用。通過對比課件演示兩種不同順序的變化，既可以鞏固前面的認識，又可以幫助學生知其然，知其所以然。然后教師提出問題 4 橫向變換，與縱向變換的規律是否有所不同。請學生繼續研究教師提供的這張表格， 這張表格其中變換前和變換后的函數已經一般化了，也就是要求學生在前面探究的基礎上，能夠抽象概括出一般的函數 y=f(x)的圖象變換的一般規律。通過學生的探究教師和學生一起可以概括出變這個圖象變換的一般規律。也就是 y=f（x）通過 x變到 x+就可以等于 y=f(x+)。也就是使當 x 變成到 x+時，函數圖象上所有的點將向左或者是向右平移的絕對值個單位，那么這樣一個變化的本質是

16、什么， 說明變是一種橫向變換是作用在 x 上的變換，而突破平移量的難點的關鍵是把 wx+變形為 w（x+/w），這樣對應的 x 的變化是 x 變到 x+/w 教師也可以通過五點法。作圖中第一點是如何變化的來進行檢驗平移量的。為了讓學生深入地認識橫向變換，這樣一種一般規律 ，我還制作了這樣一個課件。在這個課件中 我把這個變集中，到了一起 做出了在兩種 w 的情況下，一個是 w 等于 1 一個是 w 不等于 1 的情況下函數圖象平移變換量的差異。讓學生體會這個平移量的變化不是僅僅由值來決定的 而跟 w 有關，那么也就可以讓學生注意到 x 變化的規律。在變研究完之后 教師和學生一起研究變 w ，這是

17、兩種變 w的情況，讓學生體會在變 w 的這個過程中對伸縮量的變化沒有影響。剛才研究的是橫向變換通過一般化的探索認識橫向變換的一般規律， 它的本質是作用在 x 上的一個變化。如果把這個變的過程理解成作用在 x 上的變化，那么這個變化的規律和本質學生就能夠理解。 接下來通過一般化的研究來認識縱向變換，這一段教學內容主要是想揭示橫向變換與縱向變換的關系，學生在處理縱向變換問題時一般錯誤較少。而在處理橫向變換問題時錯誤較多。究其原因在于教師在處理前面縱向，變化問題時往往通過函數值的變化來解釋。而不是通過縱向變換的本質是作用在 y 上的變化來解釋， 因此如果學生將縱向變換的認知遷移到橫向變換中，就容易混

18、淆兩種不同解釋方式的差異，造成差錯。因此教師在這一段內容的教學時，一定要讓學生理解圖象的縱向變換，其實等價于一種作用在 y 上的變化。當學生能夠把橫向變化和縱向變化統一的認識到都是作用在 x或者 y 上的變化，那么縱向變換與橫向變換的規律是相同的。接下來老師和學生一起完成這張表格，接下來進入數學應用這個階段。教師提供了三道例題，教師同時提供一個半開放的軟件平臺。在這個軟件平臺中操作左邊的按紐，就可以分別調整 A w 和，這樣就可以用這個方式來檢測。剛才學生例題解答的答案是否正確，同時這個半開放的平臺通過左右兩半分別控制，可以讓學生通過兩種不同順序的變化來得到同一個函數圖象。通過上下兩個圖象的對

19、比觀察，這個圖象變換的差異以及最后檢測這個結果是否一致。最后和學生一起進行小結反思。請同學回顧一下本節課學到了什么，請學生回顧一下本節課最大的收獲。剛才我跟大家匯報的教學設計。一般情況下需要兩課時。我的說課就到這里，謝謝大家！張思明：這個課里我們看到羅強老師對這個內容做了非常細致的分析和說明。在這個過程里我們特別想問一下兩位老師，這個函數為什么很重要呢？它又很難，又是重點又是難點， 它有三個核心的參數， 好象是一個正弦函數族， 參數 Aw 。我們特別想問問兩位老師怎么看待這三個參數？這三個參數的地位作用或者是重要性是一致的嗎？羅強：按照課程標準的要求，這一節教學的目標是會畫函數 y=Asin（

20、wx+）的簡圖，理解 Aw 對函數變化的影響。按照課標的角度來理解我認為 A、w、在教學當中同等重要。但是在學生學的過程中，A 對函數圖象變化的影響一般困難不大，w 對函數圖象變化的影響，如果學生對函數周期性的學習比較扎實，問題也不大，主要困難在于對函數變化圖象的影響。如果對孤立的 y=sin（x+）學生還好一些，有初中的知識可以遷移過來，拋物線的左右平移。但是一旦把 w 組合上去 sin（wx+）中，如果再發生變化，學生就很容易發生錯誤，所以從教學目標角度來講，A、 w、 是同等重要的。但是從學生學的角度來講的變化， 對函數圖象變化的影響是一個最難掌握的東西。王尚志：我想我是不是換一個角度來

21、看，我們先從數學上來看，這是一個重要的數學模型。它是刻劃周期函數的一個重要模型。所以我建議我們老師首先在這三個參數中，我建議既然它是刻劃周期變化的一個重要模型，我們首先要關注它的周期性。我們見到與 sinx 有關的函數一定是周期函數，這個不僅在中學將來在大學依然是非常重要的。所以我想這三個參數是否可以在關注程度上有所側重，或者說在關注順序上有所側重。第一件事周期是幾，一旦知道周期的變化了，剩下我只要在一個周期搞清楚它，所有事情都搞清楚了。所以要學會判斷一個周期函數的周期，一旦判清楚周期了，我們很自然的就要想到起點是誰，這個周期運動在零點是誰，這兩件事基本決定了周期函數。至于 A 倍主要是極值發

22、生了變化，最值發生了變化，希望老師至少在學生腦子里形成這樣一種印象，碰到這樣的函數首先是周期的，周期是誰，起點是誰，振幅是誰，是不是會好一點，這是我的一個建議供應老師參考。張思明：我們這個探討先做一個暫停，請北京市一個教研組的老師來參與我們的討論。下面一起來看看這些老師會對同一個課題提出他們什么樣的想法。張思明：老師們，剛才我們看到了羅強老師對于三角函數基本類型 y=Asin（wx+）的一個分析和王老師的點評。為了使大家對這個內容有一個更清楚的了解， 今天特別請到了北京著名的四中的數學組的幾位老師給我們介紹一下他們對這個內容的一些思考。我來介紹一下這幾位老師。我身邊這位是呂寶珠老師，后面這位是

23、侯彬老師，那邊那位是四中的教研室主任谷丹老師。歡迎大家來到現場。首先請幾位老師幫我們分析一下你們教研組在思考這個內容時的一些考慮。呂寶珠：我們在教學實踐當中來教授 y=Asin（wx+）這一節內容的時候，首先從課時的安排上把這個內容分成了三課時。第一課時用換元的思想，根據換元的思想用五點法做出函數在一個周期內的草圖。第二個課時我們分別對這三個參數 A、w、單一地認識每一個參數的作用。第三個課時我們綜合地整合這三個參數，看一下這三個參數對于整個函數的影響是什么。我們基本上就是這樣安排的。谷丹：對，有的時候我們會稍微講快一點，在第二課時的時候就把 w 和復合變換的時候它會怎么樣影響到變換過程和對圖

24、象整體影響會往前趕一點， 看學生接受的情況。張思明：四中的學生比較好，接受起來是不是基本上沒有問題，或者你們總是能夠提前壓出點內容？谷丹：那倒不是。對四中學生我們整體考慮難點的話，我們會把比如說平移變換分散在前半學期， 結合二次函數或者其他函數的變換。 到這以后重點就變成兩個；一個是要講 w 對整個變換的影響，另一個是平移變換和伸縮變換的復合作用。在這之前特別重要的還不是變換怎么講，是五點法作圖怎么講。張思明：為什么要強調五點法作圖？侯彬：五點法作圖在這考慮的是兩個問題 ：一個是突出換元的思想，把 w+ 看成一個整體，它的周期、單調性、對稱軸、對稱中心，這些轉換性質都可以研究的了。用換元的想法

25、，比如作用之類的都可以研究出來，這樣也為后面再去講各種變換復合到一塊的時候做一個鋪墊。主要是這樣一個想法。谷丹：五點法作圖對學生來說以前不用，新課標時，課時相對來說比較松，所以學生會認為五點法這個問題比較好解決。張思明：在不用新課標的時候，過去講 y=Asin（wx+）要用多少課時？谷丹：大概能有四到五課時，可以比較慢的考慮五點法作圖，怎么樣把這個圖做好。在復合變換的時候再做一兩節課，再做一些綜合訓練，現在三節課就要解決問題。我們認為學生的難點在于新的變換里 w 的影響，特別是 w 和綜合影響比較難理解。但是在五點法作圖換元思想來解決，比如平衡位置，最值位置不是太難理解，所以當換元思想講清楚了

26、以后，為后面講平移變換有一個特別直觀的背景。而且學生可以結合這兩個角度，看圖象就更容易理解難點。張思明： 你們的設計在實施過程中還有哪些技術措施保證這樣的設計能夠取得實效，換句話說由五到三是怎么達成的？呂寶珠：我們在處理的時候具體到 w 的作用，比如說 sinx 怎么變成 sin2x，實際上圖象變換是圖象上每一個點的變換。所以我們就可以從點的角度來考慮，看它坐標的變化。比如原來 y=sinx 這個函數，如果有一點是（x，y），到 sin2x 上，實際上就是（x/2，y），y= sinx 上；如果有一個點（/2，1）到 y=sin2x 上我們取（/4，1）就可以。 所以從這上面讓學生認識到點坐標

27、的變化，當然也就知道圖象的變化。張思明：我理解是不是也是分層的，先單弄 w 判斷清楚再單弄，單獨 x+的困難基本沒有了。谷丹： 單獨加沒有太多困難， 因為從平移的角度來說學生一般會理解的比較好。張思明：現在核心就是當 w 和這一塊出現的時候，怎么來突破？谷丹：所謂我們的層次性，第一個肯定要說 w，而且 w 要和 A 起作用的時候做比較。這點我們還是沿用前面五點法作圖的想法，就是當 y 值都相等的時候，有點像換元的想法。 比如說 y=sin2x 和 y=sinx， y 值都相等的時候 x 有什么差別呢，有什么聯系呢？就比較容易看出坐標在每一個點縱坐標不變的情況下橫坐標縮為原來的 1/2，這就比較

28、容易。單獨來看，從我們的教學情況來看，也不是特別困難，它比較容易看清。只要你說清楚怎么看的，兩個坐標一個是 x，一個是 y，固定誰，變化誰，為什么是要固定 y 變化 x 為什么固定 x 變化 y，他還是比較容易接受的。 特別是有的時候我們有一些老師計算機輔助教學拿一個圖象來比劃一下他會很容易接受。再下來第二個難點又有的變化，又有 w 的變化，通常我們都會有一些孩子會亂。先平移后伸縮，或者是先伸縮后平移，怎么辦？一記就記糊涂了。我們通常不需要他死記先平移了 w 就不用管，先伸縮就得管著平移變量，更多的是說只要把單獨的結論記清楚。比如加了以后是平移，加了 w以后是伸縮， 在作圖的時候一定要把中間過

29、程寫出來。 比如說 y=sinx 要變成 y=sin（2x+/6），不管變什么，如果先要準備把 x 轉化成 2x，就要求他寫出 y=sinx，這邊是 y=sin2x ，那 x 位置怎么變呢？當把變換標清楚的時候，你會發現從函數表達式來說會有什么變化。這樣一個函數表達式由于這樣一個深刻變換，它在圖形變化上又有什么？把圖也畫出來，進一步把它由 y=sin2x 轉換成 y= sin（2x+/6）的時候，是 y= sin2x 這個函數在 x 位置怎么變化才能得到 y=sin（2x+/6）。讓他把變化過程也寫出來而不是再寫前面一個變化。寫出來以后，他就會知道從第二個 y=sin2x 到 y=sin(2x

30、+/6)x 位置怎么變化，是向右平移多少單位，或者是向左平移多少單位。對于學生來說和原來平移關系就非常緊密了。同時我們再把 y=sin2x 這個圖象做平移，而不是在一個圖象上去做， 像這樣一種把兩個甚至兩個以上復合變換都是回歸到一個一個之間都是簡單變換，學生總的來說可能比較容易突破一些。張思明：我理解好象走直角，單說一件事。谷丹：對，每次都單說一件事。張思明：每個起點和終點都先說現在做的什么變換，是由什么變到什么都要說清楚，不要合在一塊說。而且有一個好處，你們總是變換要寫清楚，圖也要寫清楚是由什么變成什么。谷丹： 我們一直覺得學生單拿出來不會哪個變化很難說，但是放在一塊有的學生就會亂。亂的原因

31、就是他偷懶，他總是不把中間過程寫出來。他老看到第一個和最后一個，所以突出把中間過程變換寫出來，也就是把一個復雜問題分解成一個一個簡單的問題來處理。應該說這樣的做法可以推廣到別的變換上，比如對稱變換、 翻折變換，這樣的教學可能也使得學生有一個可遷移可推廣的掌握復合變化的方法，到這也就明白了你們最后要解決一些應用這些變換的綜合問題。張思明： 我現在想問的是你們指的綜合問題是哪些？在前兩節課似乎這個問題解決了， 怎么就比較平順的解決呢？你們技術中的綜合問題是不是也包括了y=Asin（wx+）求極值、單調區間，谷老師提到的劃歸，還有分布這兩個思想怎么表現出來？侯彬： 在這里綜合一點的題， 比如說我們會

32、經常遇到的給出一個 y=Asin （wx+）的圖象，從這里去讀圖的問題。這里更突出五點法作圖的想法，換元的想法，使用換元的想法去確定它的參數、w 都比較容易，這里回到圖象變換上去說就容易弄混、弄亂了。對于這一類的題更突出換元的想法，像求極值和最值換元的想法也很好，圖象變換主要是變換的順序，變換的法則，把中間的過程能夠寫出來也可以解決。但是換元的想法在這里就更好一些。谷丹：對。如果要求最值，肯定知道 wx+取什么值的時候，它可以取到最大和最小，再反解 x 就很簡單了。但如果用圖象變換的角度，先由 y=sinx 得到后面的結果就很復雜，且非常容易出錯。張思明：當你們把這些內容都教給學生以后，總是要

33、給學生梳理一下最核心、最關鍵， 總是要幫助學生梳理一個你們認為重要的結果，或者是掌握這部分知識核心的東西是什么？你們都用什么方式梳理什么是最重要的？比如侯彬說的就是五點描圖的圖是重要的不得了，或者是谷丹老師說的基本變換，每一步操作把圖和變換都具體寫出來非常重要。就是你們提一個什么樣的要求和想法，作為這一段內容概括出來的東西，讓學生和你們想法一樣地去掌握。你們認為最重點把握的魂應該是什么？谷丹：從總的情況來說，我們是落實在五點法作圖的合理性，就是換元法。換元法不僅僅告訴你通過換元可以讓你比較容易去討論 y=Asin（wx+），這樣的所有函數的性質；單調性、奇偶性、最值。另一方面,它也可以非常明確

34、的告訴你它的圖象性質、對稱點、對稱軸，我們也會強調我們在考慮 y=Asin（wx+）這樣的函數問題的時候，首選是什么？是以換元思想為基礎的五點法作圖，然后再和我們的圖象變換結合起來，互相印證來解決這個問題。比如以前有一些特別容易錯的問題，給一個 y=sin（2x-/4），然后隨便給你一個 x=/12，它是不是對稱軸 這個問題小孩總是容易說一看這 wx+的這個問題，總想著怎么轉換后對稱軸到哪里去了。現在更多的處理是先說 y=sin（2x-/4）對稱軸是誰，當然是使 wx+取到極值點的地方， 再反解 x 再看看反點出來的 x， 包不包括給我的要求就可以了。所以就回避了復合變換的難點。所以在 y=A

35、sin（wx+）這個函數表述式的時候，它的核心想法是以換元為基礎的，五點法作圖的思想，這是我們特別強調的東西，而不太強調過于復雜的從變換的角度來考慮問題。張思明：通過跟你們討論，我也感覺到整個四中的數學組對這個內容的設計是有層次的，一步一步的，要求也是非常具體的。老師們已經教了新課程一輪，老師們對三節課拿下這個內容， 你們判斷這個效果或者是要求能夠做的怎么樣？如果對于好學生，如果你們要再加強或者是訓練，跟以前比哪些題目可以進一步加強對學生的訓練， 哪些題目不必做？這個時間怎么更有效率？過去有很多很細致的訓練，非常多的題，你們覺得這樣的內容把握到什么程度就夠了？通過教新課程覺得跟以前教有什么不一

36、樣的感受？侯彬：我覺得反復的去說這個到底先平移，還是先伸縮，這樣的題如果能夠落實一步一步去寫中間過程的話，這樣的題就不需要重復太多了。張思明；過去這個訓練是個難點。谷丹：對，實際上都拆成最基本的來說就用不著背這個結論。侯彬：復合的過程，變換的過程，對應的圖都寫清楚，比如說 sin（2x-/4）由sin2x 怎么得到？是平移/4 個單位， 還是平移/8 個單位這中間的過程寫出來。在這時間可能就壓縮出來了。張思明：現在這部分給圖象寫函數表達式的要求還是有。谷丹：對，但是我們會都用統一的想法去處理，就是列方程組，待定系數。列方程組的時候你可能會考慮多對一的問題。 我怎么樣在一個有限的區間內選擇解而已

37、，所以這也不是一個太大的難點，也就是說我們在處理這個問題的時候，新課標就有這個特點，就是一個具體的知識內容現在壓縮了時間。但是具體內容所需要的數學思想方法可以前后照應給它鋪墊了， 難點是平移變換和伸縮變換復合在一塊難了，前面我是否就可以出現一些復合變換的東西，對稱變換和平移變換結合，我也是按照這個規則來做。我這種思想方法是不斷在重復，可能用不同的知識背景來重復，它的落實可能到這已經是第二次。甚至第三次在落實這樣的想法學生可能就好接受一點。張思明：降低了思想想法的思維強度。谷丹： 突出了一般性思想方法的作用。我就可以在不同的背景下不斷強化這樣思想方法的使用。到這以后和 w 的綜合作用只是一個特例

38、而已，這樣就比較容易落實一些， 不能認為知識都要靠這三節課完全落實， 包括后面再講到解析幾何，參數的作用這些會不斷的讓你去體會這些作用。比如 y=kx+b，k 就是一個伸縮變換， 只不過我們可能平常更多的是說斜率變化，所以這些地方希望老師不斷地回歸到我們所強調的最基本的思想上去。 當然也可能這三節課的落實上不如以前五節課這么著實，但是如果抓住那些最基本思想方法，它可以不斷的重復在思想的角度來說也不見得就不能落實，甚至沒準會落實更扎實一些。張思明： 谷老師說的這個挺好。 前面的鋪墊， 后面的照應， 把這個東西貫穿更長。并不是把三節課的內容前頭不管，后頭也不管，非要在這兒落實。有一個整體地把握的觀

39、念，這個也都非常好。老師們，通過這個討論看到了四中老師對這個函數做了一個分析。我想聽課的老師也會有自己的想法，我們也希望能和更多的老師就這個問題進行交流。再次感謝四中老師的參與！張思明：老師們，剛才看了一下四中對三角函數 y=Asin（wx+）這樣一個問題他們的教學設計的研討，給了我們一個他們對這個問題的處理方式。我特別想問一下張老師看過四中他們處理這個問題的方式，您有什么評論？張飴慈：我覺得四中的處理方式有兩點談的比較突出，也是他們抓住的特點。第一個是抓換元的思想，第二個是抓五點作圖的思想。所謂換元思想實際上就是說中間變量的思想，我們知道中間變量是數學中的一個通性通法，它是把一個復雜的映射變

40、成兩個簡單的映射。如何把復雜問題變成簡單問題來做，抓住這個換元思想，整體來看 wx+，它等于 0 時在什么位置，它等于/2 時在什么位置，而不是變換來變換去，先平移再壓縮，先壓縮再平移。我們的目的是要把這個函數它的性質、它的周期、它的初始位相、它的最值，它的單調區間，把這些東西弄清楚。另外就是強調五點法作圖，實際上就是強調函數圖象，一定是用函數圖象來研究這個問題，這兩點就是他們非常突出的問題。這幾個參數的意義是不一樣的，因為他們強調也是把重點放在了 w 和上。他們講的思想即使不是周期函數也可以用換元思想。張思明：他們認為換元思想是個通性通法。張飴慈：只要碰到這樣的函數就是換元思想。這是非常對的問題。但是在數學上除了研究一般的通性通法以外，碰到一個具體的問題，一定要想一個具體更特殊的方法。王尚志：結合這個問題來思考這個問題。張飴慈：數學里特殊和一般都是非常重要的，一定有一個特殊問題。在這里這是一個周期函數，所以周期就變成一個核心問題。對這一點還應該再強調一下。在這里周期是更重要的一件事情。因為我以前也看到一些題目，雖然我們強調通性通法非常重要，但是往往這道題有一些特殊的關系，結合特殊的關系就能夠把這個問題很簡單的解決了。要關注這個問題，所以在數學