1、學案69正態分布導學目標： 利用實際問題的直方圖，了解正態分布曲線的特點及曲線所表示的意義自主梳理1正態分布密度曲線及性質(1)正態曲線的定義函數，(x)_(其中實數和 (>0)為參數)的圖象為正態分布密度曲線(2)正態分布密度曲線的特點曲線位于x軸_，與x軸不相交；曲線是單峰的，它關于直線_對稱；曲線在_處達到峰值_；曲線與x軸之間的面積為_；當一定時，曲線隨著_的變化而沿x軸移動；當一定時，曲線的形狀由確定_，曲線越“高瘦”，表示總體的分布越集中；_，曲線越“矮胖”，表示總體的分布越分散2正態分布(1)正態分布的定義及表示如果對于任何實數a，b (a<b)，隨機變量X滿足P(a

2、<Xb)_，則稱隨機變量X服從正態分布，記作_(2)正態分布的三個常用數據P(<X)_；P(2<X2)_；P(3<X3)_.自我檢測1(2011·大連模擬)下列說法不正確的是()A若XN(0,9)，則其正態曲線的對稱軸為y軸B正態分布N(，2)的圖象位于x軸上方C所有的隨機現象都服從或近似服從正態分布D函數(x) (xR)的圖象是一條兩頭低、中間高、關于y軸對稱的曲線2已知隨機變量服從正態分布N(3，2)，則P(<3)等于()A. B. C. D.3(2011·湖北)已知隨機變量服從正態分布N(2，2)，且P(<4)0.8，則P(0<

3、;<2)等于()A0.6 B0.4 C0.3 D0.24某隨機變量服從正態分布，其正態分布密度函數為(x)，則的期望和標準差分別是()A0和8 B0和4C0和 D0和25.(2011·遼寧十校聯考)設兩個正態分布N(1，) (1>0)和N(2，) (2>0)的密度函數圖象如圖所示，則有()A1<2，1<2B1<2，1>2C1>2，1<2D1>2，1>2探究點一正態曲線的性質例1如圖所示，是一個正態曲線，試根據圖象寫出其正態分布密度曲線的解析式，并求出正態總體隨機變量的均值和方差變式遷移1若一個正態分布的正態分布密度函數

4、是一個偶函數，且該函數的最大值為.(1)求該正態分布的概率密度函數的解析式；(2)求正態總體在(4,4的概率探究點二服從正態分布的概率計算例2設XN(5,1)，求P(6<X7)變式遷移2設XN(1,22)，試求：(1)P(1<X3)；(2)P(3<X5)；(3)P(X5)探究點三正態分布的應用例3(2011·青島期末)在某次數學考試中，考生的成績服從一個正態分布，即N(90,100)(1)試求考試成績位于區間(70,110)上的概率是多少？(2)若這次考試共有2 000名考生，試估計考試成績在(80,100)間的考生大約有多少人？變式遷移3在某次大型考試中，某班同學

5、的成績服從正態分布N(80,52)，現已知該同學中成績在80分85分的有17人試計算該班成績在90分以上的同學有多少人？1正態分布密度曲線，簡稱正態曲線，其解析式為：，(x)，x(，)2正態曲線的特點：(1)曲線在x軸的上方，與x軸不相交(2)曲線是單峰的，它關于直線x對稱(3)曲線在x時達到峰值.(4)曲線與x軸之間的面積為1.(5)當一定時，曲線隨著的變化而沿x軸平移(6)當一定時，曲線的形狀由確定越大，曲線越“矮胖”，表示總體的分布越分散；越小，曲線越“高瘦”，表示總體的分布越集中33原則：從理論上講，服從正態分布的隨機變量的取值范圍是R，但實際上取區間(3，3)外的數值的可能性微乎其微

6、(只有0.26%)，在實際問題中常常認為它是不會發生的因此，往往認為它的取值是個有限區間，即區間(3，3)，這就是實用中的三倍標準差規則，也叫3原則在企業管理中，經常應用這個原則進行產品質量檢查和工藝生產過程控制(滿分：75分)一、選擇題(每小題5分，共25分)1如圖是正態分布N(，)，N(，)，N(，)相應的曲線，則有()A1>1>2>3>0B0<1<2<1<3C1>2>1>3>0D0<1<21<32(2011·佛山月考)設隨機變量服從正態分布N(2,9)，若P(>c1)P(<c1

7、)，則c等于()A1 B2 C3 D43某市組織一次高三調研考試，考試后統計的數學成績服從正態分布，其密度函數為(x)· (xR)，則下列命題中不正確的是()A該市這次考試的數學平均成績為80分B分數在120分以上的人數與分數在60分以下的人數相同C分數在110分以上的人數與分數在50分以下的人數相同D該市這次考試的數學成績標準差為104(2010·廣東)已知隨機變量X服從正態分布N(3,1)，且P(2X4)0.682 6，則P(X>4)等于()A0.158 8 B0.158 7 C0.158 6 D0.158 55已知一次考試共有60名同學參加，考生的成績XN(11

8、0，52)，據此估計，大約應有57人的分數在下列哪個區間內？()A(90,110 B(95,125C(100,120 D(105,115二、填空題(每小題4分，共12分)6.設三個正態分布N(1，) (1>0)，N(2，) (2>0)，N(3，) (3>0)的密度函數圖象如圖所示，則1、2、3按從小到大的順序排列是_；1、2、3按從小到大的順序排列是_7在某項測量中，測量結果服從正態分布N(1，2)(0)若在(0,1)內取值的概率為0.4，則在(0,2)內取值的概率為_8(2011·青島模擬)已知隨機變量服從正態分布N(2，2)，P(4)0.84，則P(0)_.三、

9、解答題(共38分)9(12分)設XN(10,1)(1)證明：P(1<X<2)P(18<X<19)；(2)設P(X2)a，求P(10<X<18)10(12分)已知某種零件的尺寸X(單位：mm)服從正態分布，其正態曲線在(0,80)上是增函數，在(80，)上是減函數，且(80).(1)求正態分布密度函數；(2)估計尺寸在72 mm88 mm間的零件大約占總數的百分之幾？11(14分)在某市組織的一次數學競賽中全體參賽學生的成績近似服從正態分布N(60,100)，已知成績在90分以上(含90分)的學生有13人(1)求此次參加競賽的學生總數共有多少人？(2)若計劃獎

10、勵競賽成績排在前228名的學生，問受獎學生的分數線是多少？學案69正態分布自主梳理1(1)，x(，)(2)上方xx1越小越大2(1)，(x)dxXN(，2)(2)0.682 60.954 40.997 4自我檢測1C2D由正態分布圖象知，3為該圖象的對稱軸，P(<3)P(>3).3CP(<4)0.8，P(>4)0.2，由題意知圖象的對稱軸為直線x2，P(<0)P(>4)0.2，P(0<<4)1P(<0)P(>4)0.6.P(0<<2)P(0<<4)0.3.4D由(x)對照得2，0，E()0，2.5A由正態分布N

11、(，2)性質知，x為正態分布密度函數圖象的對稱軸，故1<2；又越小，圖象越高瘦，故1<2.課堂活動區例1解題導引要確定一個正態分布的正態分布密度函數的解析式，關鍵是求解析式中的兩個參數，的值，其中決定曲線的對稱軸的位置，則與曲線的形狀和最大值有關解從給出的正態曲線可知，該正態曲線關于直線x20對稱，最大值為，所以20.由，解得.于是正態分布密度曲線的解析式是，(x)，x(，)均值和方差分別是20和2.變式遷移1解(1)由于該正態分布的正態分布密度函數是一個偶函數，所以其圖象關于y軸對稱，即0.由，得4，故該正態分布的正態分布密度函數的解析式是，(x)，x(，)(2)P(4<X

12、4)P(04<X04)P(<X)0.682 6.例2解題導引求服從正態分布的隨機變量在某個區間取值的概率，只需借助于正態曲線的性質，把所求問題轉化為已知概率的三個區間上解由已知5，1.P(4<X6)0.682 6，P(3<X7)0.954 4，P(3<X4)P(6<X7)0.954 40.682 60.271 8.如圖，由正態曲線的對稱性可得P(3<X4)P(6<X7)P(6<X7)0.135 9.變式遷移2解XN(1,22)，1，2.(1)P(1<X3)P(12<X12)P(<X)0.682 6.(2)P(3<X5

13、)P(3<X1)，P(3<X5)P(3<X5)P(1<X3)P(14<X14)P(12<X12)P(2<X2)P(<X)×(0.954 40.682 6)0.135 9.(3)P(X5)P(X3)，P(X5)1P(3<X5)1P(14<X14)1P(2<X2)(10.954 4)0.022 8.例3解題導引正態分布已經確定，則總體的期望和標準差就可以求出，這樣就可以根據正態分布在三個常見的區間上取值的概率進行求解解N(90,100)，90，10.(1)由于正態變量在區間(2，2)內取值的概率是0.954 4，而該正態分

14、布中，2902×1070，2902×10110，于是考試成績位于區間(70,110)內的概率就是0.954 4.(2)由90，10，得80，100.由于正態變量在區間(，)內取值的概率是0.682 6，所以考試成績位于區間(80,100)內的概率是0.682 6.一共有2 000名考生，所以考試成績在(80,100)間的考生大約有2 000×0.682 61 365(人)變式遷移3解成績服從正態分布N(80,52)，80，5，75，85.于是成績在(75,85內的同學占全班同學的68.26%.這樣成績在(80,85內的同學占全班同學的34.13%.設該班有x名同學

15、，則x×34.13%17，解得x50.又2801070，2801090，成績在(70,90內的同學占全班同學的95.44%.成績在90分以上的同學占全班同學的2.28%.即有50×2.28%1(人)即成績在90分以上的僅有1人課后練習區1D0，且21，1<1，3>1.2BN(2,9)，P(>c1)P(<3c)又P(>c1)P(<c1)，3cc1，c2.3B80，故A正確；10，故D正確；P(X>110)P(X>3)，P(X<50)P(X<3)，P(X>110)P(X<50)，故C正確. 4B由于X服從正

16、態分布N(3,1)，故正態分布曲線的對稱軸為X3.所以P(X>4)P(X<2)，故P(X>4)0.158 7.5C由于XN(110,52)，110，5.因此考試成績在區間(105,115，(100,120，(95,125上的概率分別應是0.682 6,0.954 4,0.997 4.由于一共有60人參加考試，成績位于上述三個區間的人數分別是：60×0.682 641(人)，60×0.954 457(人)，60×0.997 460(人)，故大約應有57人的分數在(100,120區間內62<1<31<3<270.8解析服從正態

17、分布(1，2)，在(0,1)與(1,2)內取值的概率相同均為0.4.在(0,2)內取值概率為0.40.40.8.80.16解析2，P(0)P(4)1P(4)10.840.16.9(1)證明因為XN(10,1)，所以，正態曲線，(x)關于直線x10對稱，而區間1,2和18,19關于直線x10對稱，所以，(x)dx，(x)dx，即P(1<X<2)P(18<X<19)(6分)(2)解P(10<X<18)P(2<X<10)P(X<10)P(X2)a.(12分)10解(1)由于正態曲線在(0,80)上是增函數，在(80，)上是減函數，所以正態曲線關于直線x80對稱，且在x80處取得最大值因此80，所以8.故正態分布密度函數解析式是，(x).(6分)(2)由80，8，得80872，80888，所以零件尺寸X位于區間(72,88)內的概率是0.682 6.因此尺寸在