1、第3章 輔導控制系統典型的輸入信號1. 階躍函數階躍函數的定義是式中A為常數。A等于1的階躍函數稱為單位階躍函數，如圖所示。它表示為xr(t)l(t)，或xr(t)=u(t)單位階躍函數的拉氏變換為Xr(s)=L1(t)=1/s在t0處的階躍信號，相當于一個不變的信號突然加到系統上；對于恒值系統，相當于給定值突然變化或者突然變化的擾動量；對于隨動系統，相當于加一突變的給定位置信號。2. 斜坡函數這種函數的定義是式中A為常數。該函數的拉氏變換是Xr(s)=LAt=A/s2這種函數相當于隨動系統中加入一按恒速變化的位置信號，該恒速度為A。當Al時，稱為單位斜坡函數，如圖所示。3. 拋物線函數如圖

2、所示，這種函數的定義是式中A為常數。這種函數相當于隨動系統中加入一按照恒加速變化的位置信號，該恒加速度為A。拋物線函數的拉氏變換是Xr(s)=LAt2=2A/s3當A1/2時，稱為單位拋物線函數，即Xr(s)=1/s3。4. 脈沖函數這種函數的定義是式中A為常數，為趨于零的正數。脈沖函數的拉氏變換是當A1，0時，稱為單位脈沖函數(t)，如圖 所示。單位脈沖函數的面積等于l，即在tt0處的單位脈沖函數用(t-t0)來表示，它滿足如下條件幅值為無窮大、持續時間為零的脈沖純屬數學上的假設，但在系統分析中卻很有用處。單位脈沖函數(t)可認為是在間斷點上單位階躍函數對時間的導數，即反之，單位脈沖函數(t

3、)的積分就是單位階躍函數。控制系統的時域性能指標對控制系統的一般要求歸納為穩、準、快。工程上為了定量評價系統性能好壞，必須給出控制系統的性能指標的準確定義和定量計算方法。1 動態性能指標動態性能指標通常有如下幾項：延遲時間 階躍響應第一次達到終值的50所需的時間。上升時間 階躍響應從終值的10上升到終值的90所需的時間；對有振蕩的系統，也可定義為從0到第一次達到終值所需的時間。峰值時間 階躍響應越過穩態值達到第一個峰值所需的時間。調節時間 階躍響到達并保持在終值誤差帶內所需的最短時間；有時也用終值的誤差帶來定義調節時間。超調量 峰值超出終值的百分比，即 在上述動態性能指標中，工程上最常用的是調

4、節時間（描述“快”），超調量（描述“勻”）以及峰值時間。 2 穩態性能指標穩態誤差是時間趨于無窮時系統實際輸出與理想輸出之間的誤差，是系統控制精度或抗干擾能力的一種度量。穩態誤差有不同定義，通常在典型輸入下進行測定或計算。一階系統的階躍響應一. 一階系統的數學模型由一階微分方程描述的系統，稱為一階系統。一些控制元部件及簡單系統如RC網絡、發電機、空氣加熱器、液面控制系統等都是一階系統。因為單位階躍函數的拉氏變換為R(s)=1/s，故輸出的拉氏變換式為取C(s)的拉氏反變換得 或寫成式中，css=1，代表穩態分量；代表暫態分量。當時間t趨于無窮，暫態分量衰減為零。顯然，一階系統的單位階躍響應曲線

5、是一條由零開始，按指數規律上升并最終趨于1的曲線，如圖所示。響應曲線具有非振蕩特征，故又稱為非周期響應。 一階系統的單位階躍響應二階系統的階躍響應典型二階系統方框圖，其閉環傳遞函數為： 式中 Kv-開環增益； n-無阻尼自然頻率或固有頻率，； -阻尼比，。 二階系統的閉環特征方程為s2+2ns+2n=0 其特征根為1. 臨界阻尼(=1) 其時域響應為 上式包含一個衰減指數項。c(t)為一無超調的單調上升曲線，如圖3-8b所示。 (a) (b) (c)1時二階系統的特征根的分布與單位階躍響應2. 過阻尼(1)具有兩個不同負實根的慣性環節單位階躍響應拉氏變換式。其時域響應必然包含二個衰減的指數項，

6、其動態過程呈現非周期性，沒有超調和振蕩。圖為其特征根分布圖。3. 欠阻尼（0<1） 圖3-9 0<1時二階系統特征根的分布 圖3-10 欠阻尼時二階系統的單位階躍響應 4. 無阻尼(0)其時域響應為 在這種情況下，系統的響應為等幅(不衰減)振蕩， 圖0時特征根的分布 圖0時二階系統的階躍響應5. 負阻尼（0）當0時，特征根將位于復平面的虛軸之右，其時域響應中的e的指數將是正的時間函數，因而為發散的，系統是不穩定的。顯然，0時的二階系統都是不穩定的，而在1時，系統動態響應的速度又太慢，所以對二階系統而言，欠阻尼情況是最有實際意義的。下面討論這種情況下的二階系統的動態性能指標。欠阻尼二

7、階系統的動態性能指標1. 上升時間tr上升時間tr是指瞬態響應第一次到達穩態值所需的時間。 由此式可見，阻尼比越小，上升時間tr則越小；越大則tr越大。固有頻率n越大，tr越小，反之則tr越大。2. 峰值時間tp及最大超調量Mp 最大超調量 最大超調百分數 3. 調整時間ts 圖3-13 二階系統單位階躍響應的一對包絡線 圖3-14 調節時間和阻尼比的近似關系根據以上分析，二階振蕩系統特征參數和n與瞬態性能指標(4. 振蕩次數在調整時問ts之內，輸出c(t)波動的次數稱為振蕩次數，顯然 式中 ，稱為阻尼振蕩的周期時間。這一系統的單位階躍響應瞬態特性指標為：最大超調百分數上升時間調整時間 (用近

8、似式求得為8T) (用近似式求得為6T) 有一位置隨動系統其中Kk4。求該系統的()固有頻率；(2)阻尼比；(3)超調量和調整時間；(4)如果要求實現工程最佳參數l，開環放大系數值應是多少？【解】系統的閉環傳遞函數為 與二階系統標準形式的傳遞函數對比得：(1) 固有頻率 (2) 阻尼比 由得 (3) 超調 (4) 調整時間 當要求時，由 得 可見該系統要滿足工程最佳參數的要求，須降低開環放大系數的值。但是，降低值將增大系統的誤差。勞斯穩定判據將系統的特征方程式寫成如下標準式 將各系數組成如下排列的勞斯表表中的有關系數為 系數的計算，一直進行到其余的b值全部等于零為止。這一計算過程，一直進行到

9、n行為止。為了簡化數值運算，可以用一個正整數去除或乘某一行的各項，這時并不改變穩定性的結論。(l) 第一列所有系數均不為零的情況 第一列所有系數均不為零時，勞斯判據指出，特征方程式的實部為正實數根的數目等于勞斯表中第一列的系數符號改變的次數。方程式的根全部在復平面的左半平面的充分必要條件是，方程式的各項系數全部為正值，并且勞斯表的第一列都具有正號。例如， 三階系統的特征方程式為列出勞斯表為則系統穩定的充分必要條件是，系統的特征方程為 試用勞斯判據判斷系統的穩定性。解 計算勞斯表中各元素的數值，并排列成下表由上表可以看出，第一列各數值的符號改變了兩次，由+2變成-1，又由-1改變成+9。因此該系

10、統有兩個正實部的根，系統是不穩定的。(2) 某行第一列的系數等于零而其余項中某些項不等于零的情況 在計算勞斯表中的各元素的數值時，如果某行的第一列的數值等于零，而其余的項中某些項不等于零，那么可以用一有限小的數值來代替為零的那一項，然后按照通常方法計算陣列中其余各項。如果零()上面的系數符號與零()下面的系數符號相反，則表明這里有一個符號變化。例如，對于下列特征方程式勞斯表為現在觀察第一列中的各項數值。當趨近于零時，的值是一很大的負值，因此可以認為第一列中的各項數值的符號改變了兩次。由此得出結論，該系統特征方程式有兩個根具有正實部，系統是不穩定的。如果零()上面的系數符號與零()下面的系數符號

11、不變，則表示系統有純虛根。例如，對下列特征方程式勞斯表為可以看出，第一列各項中的上面和下面的系數符號不變，故有一對虛根。將特征方程式分解，有 解得根為 ， (3) 某行所有各項系數均為零的情況 如果勞斯表中某一行的各項均為零，或只有等于零的一項， 這表示在 s 平面內存在一些大小相等但符號相反的特征根。 在這種情況下，可利用全零行的上一行各系數構造一個輔助方程，式中s均為偶次。將輔助方程對s求導，用所得的導數方程系數代替全零行，然后繼續計算下去。至于這些大小相等，符號相反的根，可以通過解輔助方程得到。系統特征方程式為試用勞斯判據判斷系統的穩定性。解 勞斯表中的各項為 由上表可以看出，行的各項全

12、部為零。為了求出-各項，將行的各項組成輔助方程為將輔助方程對s求導數得用上式中的各項系數作為行的各項系數，并計算以下各行的各項系數，得勞斯表為 從上表的第一列可以看出，各項符號沒有改變，因此可以確定在右半平面沒有特征方程式的根。另外，由于行的各項皆為零，這表示有共軛虛根。這些根可由輔助方程求出。本例中的輔助方程式是由之求得特征方程式的大小相等符號相反的虛根為， ， 穩態誤差及其計算誤差本身是時間t的函數，在時域中以表示。穩定系統誤差的終值稱為穩態誤差，即為誤差信號的穩態分量，則穩態誤差為 系統的誤差傳遞函數 故 將系統誤差的拉氏變換E(s)代入(3-38)，得穩態誤差的計算公式為 控制系統的型

13、別控制系統的一般開環傳遞函數可以寫成 式中為開環放大系數或稱為開環傳遞系數；、為時間常數；N表示開環傳遞函數中串聯的積分環節個數。這是一個很重要的結構參數。根據N的數值，可將系統分為幾種不同類型。N0的系統稱為0型系統；N1的系統稱為I型系統；N=2的系統稱為II型系統。當N2時，要使系統穩定是很困難的。因此，一般采用的是0型、I型和II型系統。典型輸入下系統的穩態誤差對于不同輸入函數，下面分析系統的穩態誤差。1. 單位階躍輸入下的穩態誤差單位階躍輸入()下的系統穩態誤差，由式(3-40)得 定義 稱為位置誤差系數，則 0型系統的穩態誤差為 I型或高于I型的系統的位置穩態誤差為 2. 單位斜坡輸入下的穩態誤差單位斜坡輸入()的系統穩態誤差定義 稱為速度誤差系數。則 對于0型系統所以 對于I型系統所以 對于II型或更高型系統所以，0型系統不能跟蹤斜坡輸入；單位反饋的型系統