泰勒公式及其應用典型例題_第1頁
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文檔簡介

1、.泰勒公式及其應用常用近似公式，將復雜函數用簡單的一次多項式函數近似地表示，這是一個進步。當然這種近似表示式還較粗糙（尤其當較大時），從下圖可看出。上述近似表達式至少可在下述兩個方面進行改進：1、提高近似程度，其可能的途徑是提高多項式的次數。2、任何一種近似，應告訴它的誤差，否則，使用者“心中不安”。將上述兩個想法作進一步地數學化：對復雜函數，想找多項式來近似表示它。自然地，我們希望盡可能多地反映出函數所具有的性態 如：在某點處的值與導數值；我們還關心的形式如何確定；近似所產生的誤差。【問題一】設在含的開區間內具有直到階的導數，能否找出一個關于的次多項式.近似?【問題二】若問題一的解存在，其誤

2、差的表達式是什么 ?一、【求解問題一】問題一的求解就是確定多項式的系數。上述工整且有規律的求系數過程，不難歸納出：.于是， 所求的多項式為：(2)二、【解決問題二】泰勒 (Tayler)中值定理若函數在含有的某個開區間內具有直到階導數，則當時，可以表示成這里是與之間的某個值。先用倒推分析法探索證明泰勒中值定理的思路：.這表明：只要對函數及在與之間反復使用次柯西中值定理就有可能完成該定理的證明工作。【證明】以與為端點的區間或記為，。函數在上具有直至階的導數，且函數在上有直至階的非零導數，且于是，對函數及在上反復使用次柯西中值定理， 有.三、幾個概念1、此式稱為函數按的冪次展開到階的泰勒公式；或者

3、稱之為函數在點處的階泰勒展開式。當時， 泰勒公式變為這正是拉格朗日中值定理的形式。因此，我們也稱泰勒公式中的余項。為拉格朗日余項 。2、對固定的，若有.此式可用作 誤差界的估計 。故表明： 誤差是當時較高階無窮小，這一余項表達式稱之為 皮亞諾余項 。3、若，則在與之間，它表示成形式，泰勒公式有較簡單的形式麥克勞林公式近似公式誤差估計式【例 1】求的麥克勞林公式。解：.，于是有近似公式其誤差的界為我們有函數的一些近似表達式。(1) 、(2) 、(3) 、在 matlab 中再分別作出這些圖象，觀察到它們確實在逐漸逼近 指數函數。【例 2】求的階麥克勞林公式。解：它們的值依次取四個數值。.其中：同樣，我們也可給出曲線 的近似曲線如下，并用 matlab 作出它們的圖象。【例 3】求的麥克勞林展開式的前四項，并給出皮亞諾余項。解：于是：.利用泰勒展開式求函數的極限，可以說是求極限方法中的 “終極武器”， 使用這一方法可求許多其它方法難以處理的極限。【例 4】利用泰勒展開式再求極限。解：，【注解】現在，我們可以徹

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