1、13.2推理的幾種基本方法預(yù)備知識 不等式基本性質(zhì)及不等式的解法 索數(shù)、奇數(shù)、偶數(shù)等概念 數(shù)列的有關(guān)知識 立體幾何中有關(guān)體的概念 函數(shù)的奇偶性與函數(shù)圖象的對稱性重 點 合情推理與演繹推理的一般方法 歸納推理與類比推理在數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)中的應(yīng)用喊繹推理的一般形式及其應(yīng)用 數(shù)學(xué)歸納法的原理與應(yīng)用難 點 歸納推理與類比推理在數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)中的應(yīng)用喊繹推理的一般形式及其應(yīng)用 數(shù)學(xué)歸納法的原理與應(yīng)用學(xué)習要求： 通過學(xué)習教材中列舉的例子體會歸納推理與類比推理在數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)中的應(yīng)用，并能對一些數(shù)學(xué)問題作出合情推理，提出一些合情的猜想 理解演繹推理的一般形式及其應(yīng)用方法，會運用演繹推理解決一些簡單的數(shù)學(xué)問題 理解數(shù)學(xué)歸納法的原

2、理，會運用數(shù)學(xué)歸納法證明一些簡單的關(guān)于自然數(shù)n的數(shù)學(xué)命了解數(shù)學(xué)歸納法的局限性1 .幾種主要的邏輯推理導(dǎo)出和判定命題真假，離不開推理過程.推理必須符合邏輯，即應(yīng)該是邏輯推理.對 不同的命題，盡管推理過程千變?nèi)f化，但并非無章可循，我們?nèi)匀豢梢詮闹锌偨Y(jié)出一些基 本規(guī)律和原則.簡單地說，推理可以分為 合情推理 與演繹推理 兩大類.合情推理是根據(jù)已有的事實和正確的結(jié)論（包括定義、公理、定理等）、實驗和實踐的結(jié)果以及個人的經(jīng)驗和直覺等，推測某些結(jié)果的推理過程看下面這個例子：6=343; 8=3與；10=5+5=3+7; 12=5+7;我們可以發(fā)現(xiàn)如下規(guī)律：各等式的左邊是大于4的偶數(shù)，右邊各加數(shù)為奇素數(shù).由

3、此可以合乎情理地推測，大于 4的偶數(shù)都可以表示為兩個奇素數(shù)之和.這就是著名的哥德巴赫猜想.它是從有限個特例通過不完全歸納提出的猜想.這就是合情推理的一種，叫做歸納推 理.眾所周知，到目前為止這個淺顯易懂的猜想尚未得以證明.換言之，盡管我們目前還 舉不出反例，但它仍然只是個猜想，未必正確.演繹推理是根據(jù)已有的事實和正確的結(jié)論（包括定義、公理、定理等），按照嚴格的邏輯法則得到新結(jié)論的推理過程 .合情推理與演繹推理之間聯(lián)系緊密、相輔相成.卜面對合情推理與演繹推理的一般形式及其特點加以分析.(1)歸納推理歸納推理(簡稱歸納)是從具體事實中概括出一般結(jié)論的一種推理模式.如果僅能對部分事實驗證結(jié)論，則叫做

4、 不完全歸納法；如果能窮盡全部事實驗證結(jié)論，則叫做 完全歸納 法.不要被 不完全歸納法”、完全歸納法”之類的名稱嚇倒，其實這種歸納法你經(jīng)常在應(yīng) 用.例如，給出數(shù)列前幾項13 5 7 an=2,4,6,8, , ), bn= , , ,，,2 4 8 16要求寫出數(shù)列的通項，你立即會寫出an=2n, bn=2黑(n=1,2,3,:)這就是歸納推理.當然在沒有對所有正自然數(shù)n驗證之前，只是不完全歸納；一旦根據(jù)其它條件得到了驗證，就成為完全歸納了.不完全歸納法是一種合情推理，得出的結(jié)論未必是正確的.17世紀著名數(shù)學(xué)家費馬曾k通過不元全歸納得出猜想an =2 +1(nN)是一個素數(shù)在n=0,1,2,3

5、,4時這個猜想都是正確的，但隨著n的增加，an增長太快了，而要確定一個很大的數(shù)是否為素數(shù)又非常困難， 所以這個猜想長期處于既不能證明其為真，但又不能舉出反例證明其為假的兩難境地.直至18世紀，另一位大數(shù)學(xué)家歐拉才證明了當n=5時它是錯的.同樣，哥德巴赫猜想也是通過不完全歸納法得出的結(jié)論，它的正誤尚無定論，因此僅僅叫做猜想.然而有些不完全 歸納法導(dǎo)出的結(jié)論，也被人們所認可.例如在初中，我們通過度量各種三角形的內(nèi)角大小， 得出 主角形內(nèi)角和為180 的結(jié)論，因為我們并未能(實際上也不可能)對全部三角形作驗 證，因此它也是一種由不完全歸納法得出的結(jié)論.完全歸納法必須窮盡被考察對象的一切特例后才能作出

6、結(jié)論，因而結(jié)論是確鑿可靠 的.但是要無一遺漏地考察所有特例往往是困難的，只有在某些特定的情況，才有作出完 全歸納的可能.課內(nèi)練習11 .作出直線y=&x+0.5,并從圖象上觀察這條直線是否經(jīng)過整點.(注：整點是指在直角坐標系中橫坐標、縱坐標均為整數(shù)的點)2 .請你猜想：直線 y =J2x+0.5是否永遠不會經(jīng)過整點.3 .你能寫出一個直線y=kx永遠不經(jīng)過整點”的充分條件嗎？4 .你能證明你對第2題的猜想嗎？5 .下表列出了一些多面體的頂點數(shù)、棱數(shù)和面數(shù)，請你先將表格填寫完整，然后猜想任意多面體的頂點數(shù)、棱數(shù)和面數(shù)之間有沒有關(guān)系.多囿體名稱頂點數(shù)棱數(shù)面數(shù)四向體464止方體8多面體名稱頂點數(shù)棱數(shù)

7、面數(shù)三棱柱6五棱臺151（x 0）,6 .判斷分段函數(shù)f （x） =0（x=0），的奇偶性.-1（x ：0）7 .回憶指數(shù)函數(shù)y=ax的單調(diào)性是怎樣得出的.是完全歸納還是不完全歸納？能再舉出一些歸納法推理的例子嗎？8 .請歸納一下“已知三角形的兩邊和其中一邊的對角，解此三角形”的所有情形.（2）類比推理類比你一定經(jīng)常應(yīng)用，例如，學(xué)習如逆水行舟不進則退 ”、光陰似箭，一去不復(fù)回之類的比方，就是以逆水行舟來類比學(xué)習，推出不進則退的結(jié)論；以箭來類比光陰，推理 出一去不復(fù)回的結(jié)論.這些結(jié)論激勵你珍惜時間，不斷求進.數(shù)學(xué)上也有一種叫做類比推理的方法.它是在兩類不同的事物之間進行對比，找出若干相同或相似點

8、之后，推測在其他方面也可能存在相同或相似之處的一種推理模式.例如，下表對正方形和正方體作了類比.止方形（邊長為a）正力體（棱長為a）四邊相等，鄰邊垂直八,面相同，鄰回垂直面積a2體積a3MHx： 4a表面積6a2對角線長j2a體對角線J3a周長一定的矩形中，止方形面積最大表面積 正的長方體中， 正方體體積取大有內(nèi)切圓（半徑為a）2后內(nèi)切球（半徑為）止方形內(nèi)切圓的內(nèi)接正方形面積為原 1止刀形面積的一2正方體內(nèi)切球的內(nèi)接正方體表向積為原 1正方體表向積的-3止方形的對稱軸有4條?請你在類比中推測正方體有幾條對稱軸（注意：繞軸旋轉(zhuǎn)180后應(yīng)該與原正方體重合）.類比推理也僅是一種合情推理，與歸納推理一

9、樣，主要用類比的方法，從已知規(guī)律探索和發(fā)現(xiàn)未知的規(guī)律，所得結(jié)論也往往是一種猜想，并不可信，還需檢驗和證明.上表中右列結(jié)論有的不難驗證，有的你可能要學(xué)過立體幾何（II）后，才能很好地證明.你猜想正方體有4黑3 = 12條對稱軸或3 2= 9條對稱軸都是合情的，但如果進一步從正方形的對 稱軸特點去類比推理可能更易得出正確的答案.在科學(xué)技術(shù)領(lǐng)域，廣泛應(yīng)用類比推理的方法，從已知去發(fā)現(xiàn)未知.比如利用某些與人 類有共同之處的動物作藥品初期試驗，用風洞試驗飛機的各種性能等等.課內(nèi)練習21 .如圖13-2,類比直角三角形 ABC和直角頂點四面體 A-BCD （AB,AC,AD兩兩垂直），設(shè) 四面體的頂點A,B

10、,C,D所對的面的面積依次為 O,P,Q,R,由勾股定理類比推測 O、P、Q、 R之間的關(guān)系，并證明你的結(jié)論. 圖 13-22 .根據(jù)牛頓的萬有引力定律，質(zhì)量分別為m1,m2,距離為r的兩個物體之間的引力大小為F =G?魯，其中G為引力常數(shù).有人將它與兩個城市間的電話通話數(shù)量作類比推理， r猜想電話的通話量相當于萬有引力F,兩個城市的人口相當于 m1、m2,兩個城市間的距離相當于r,這些量之間也可能有類似的公式.研究者對各個城市間的通話數(shù)量作了大量的統(tǒng)計分析，發(fā)現(xiàn)的確存在類似的數(shù)量關(guān)系.請你也由萬有引力定律作一些類比推理，推測 一些可能的關(guān)系.3 .歐姆定律是指電路中的電流I與電壓U成正比，并

11、由歐姆定義了比值 R = U為電路的電阻值，單位即為歐姆.請你由此猜測：假設(shè)兩個不同溫度的物體之間，距離和其它因素固定不變，它們之間的熱量傳遞速度與溫差之間可能存在什么關(guān)系？請查閱熱學(xué)方面的書籍或上網(wǎng)搜索關(guān)鍵詞 熱傳導(dǎo)定律”，證實你的猜想.（3）演繹推理歸納、類比兩種合情推理，一般具有發(fā)現(xiàn)性和創(chuàng)新性，但帶有臆測、猜想傾向.演繹推理則是由一般性的命題嚴格地推出特殊性命題的一種推理模式，它主要用于證明給定的演繹推理的名稱盡管初次出現(xiàn)，但它早已為我們所應(yīng)用.例如，證明對頂角相等，就 是由“平角等于180 d這個命題，經(jīng)過演繹推理得到的:平角等于180 .如圖13當所示，因為/ AOB為平角，所以/

12、AOB=180 ,又因為/ 1 +/ 2=ZAOB,所以/ 1 +Z 2=180 土同理，/ 1 +/ 4=180 所以/ 2=74.同理，/ 1 = 7 3.演繹推理過程一般分為大前提、小前提、推出結(jié)論三段，一般叫做三段論式 .三段論 可以表示為一個一般原理（大前提）：M P（M是P）;一個特殊情況（小前提）：S“（$是“）；結(jié)論：SP （S是 P）.大前提與小前提是一般原理和特殊情況的內(nèi)在聯(lián)系體.如上例所示，平角（M）是180YP）”是一個一般性原理；2AOB（S）是平角（M）”是本題的特殊情況，從而產(chǎn)生結(jié)論“/ AOB（S）是1801S是P）”.接下來的各步推理其實也都含有這三段，但因為

13、平時在顯見的情況下， 常常略去了大前提演繹推理是數(shù)學(xué)中的最重要推理形式，平時很多數(shù)學(xué)題（包括計算題）都是用這種推理形式來解算或論證的.例 1 已知 f （x+3）=2x2-1,求 f（0）,f（x）.解 對任意實數(shù)x, f（x+3）=2x2-1（大前提）, 取x =-3（小前提）,則f（-3+3）=f（0）=17.（結(jié)論）對任意實數(shù)x, f（x+3）=2x2-1（大前提），令x+3=t,即取x=t-3（小前提）,則f（t）=2（t-3）2-1=2t2-12t+17.（結(jié)論）對任意實數(shù)t, f（t）=2t2-12t+17（大前提），取t=x（小前提）,則f(x)=2x2-12x+17.(結(jié)論)當

14、然，你在解題時不必每一步都寫出大前提、小前提、結(jié)論，完全可以按照我們已經(jīng) 習慣了的書寫格式來表達推理過程，象本例中的大前提也不必表述得如此完整，共用的大 前提一般只要寫一次即可，一些顯見的推斷過程可以省略.但如果你在解算、論證時遇到 了阻力，不妨按此方式整理一下思路，也許能幫你解脫困境.這是因為演繹推理還能把特 殊情況明晰化，使之能與某些一般性命題相聯(lián)系.例2求證：函數(shù)f(x)=x4+2x2-1的圖象關(guān)于y軸對稱.證明f(x)的定義域為R.當xWR時，f(-x)=(-x)4+2(-x)2+1= x4+2x2-1=f(x), 所以f(x)為偶函數(shù).又因為偶函數(shù)圖象關(guān)于y軸對稱，所以函數(shù)f(x)的

15、圖象關(guān)于y軸對稱.在上面的證明過程中，先證得f(x)為偶函數(shù)的結(jié)論，使“ f(x)的圖象關(guān)于y軸對稱”這個特殊問題與“偶函數(shù)圖象關(guān)于y軸對稱”這個一般性命題建立了聯(lián)系.演繹推理的另一個功能，是可以揭示出并不顯見的性質(zhì)或規(guī)律，在一定程度上也可以認為是新知識的發(fā)現(xiàn).例如，將一元二次函數(shù)/ b、2 4ac -b2y =a(x+)十一 ,2a 4a這時便很容易看出二次函數(shù)蘊含的性質(zhì)：當彳直(a0)或最大 2aD課內(nèi)練習31 .說出下列演繹推理過程中省略的部分，并分析推理的三段論結(jié)構(gòu).(1)求證：三角形 ABC內(nèi)角和等于180 .證明：如圖13Y,延長BC到點D,過點C作射線CE/AB.則Z A= Z

16、ACE, / B=Z ECD.所以 / A / B / ACB = / ACB / ACE / ECD =180(2)設(shè)f(x)為周期函數(shù)，周期 T=4,且f (1900) = 1,求f (2008).解：f (2008) = f (1900+27x4) = f (1900) = 1 .2 .請你再舉一些用三段論結(jié)構(gòu)進行演繹推理的例子.3 .數(shù)學(xué)歸納法簡介公差為d,首項為ai的等差數(shù)列的各項依次為 ai, a2 = ai + d, a3 = ai + 2d , a4 = ai +3d,，an = ai + (n-i)d,其中，an = ai + (n-i) d 叫做通項公式.通項公式是怎么得到

17、的？它正確嗎？你肯定會毫不猶豫地回答：從ai,a2,a3等的公式依次類推嘛，當然正確！ ”確實， 依次類推”是一個合情推理，但僅是不完全歸納，不完全歸納導(dǎo)出的結(jié)果未必正確，因此通項公式只能算是猜想.想證明它，應(yīng)該要完全歸納才行，那就是說，你得窮盡被考察對象的一切特例，即遍歷全部正自然數(shù) n=i, 2, 3, 4,，不必氣惱，數(shù)學(xué)就驗證通項公式是正確的.而這是一輩子可不可能完成的.是如此 無情”.也正是這種無情”，如此顯見的事實竟然沒有證明的辦法？當然不是.證明的方法，就是下面要介紹數(shù)學(xué)迫使你去追求嚴一小旺密，提高你的邏輯歸-內(nèi)法推理能力.數(shù)學(xué)歸納法是一種完全歸納法，由以下三步構(gòu)成：(i)驗證命

18、題p當n=i時為真；(2)設(shè)當n=k時p為真；(3)證明當n=k+i時p為真，則p對一切正自然數(shù) n三N+為真.事實上，因為n = i時p為真 = (k = i) n = k + i = 2時p為真 = (k = 2) n = k +i = 3時p為真 =(k = 3 ) n = k + i = 4時p為真 二所以對一切正自然數(shù) n = N + , p為 真.因為p 一般通過不完全歸納導(dǎo)出，這三步中的第一步是容易的；第二步 當n=k時p為真”是一個假設(shè)，通常叫做歸納假設(shè)；關(guān)鍵和難點是第三步，即從歸納假設(shè)出發(fā)，證明當n=k+i時p為真.從數(shù)學(xué)歸納法的特點可見，這種方法適用于與自然數(shù)n有關(guān)的命題的

19、完全歸納.現(xiàn)在我們用數(shù)學(xué)歸納法證明等差數(shù)列的通項公式an = ai + (n - i)d.證明n=i時，ai=ai+(i-i) d=ai,公式是正確的.設(shè)當n=k時公式正確，即ak=ai+(kT)d,則當n=k+i時，ak+i=ak+d,由歸納假設(shè)，ak+i=ai+(k-i)d+d=ai+kd =ai+(k+i) -id,所以當n=k+i時公式也是正確的.所以對nwN+公式正確.再看一個例子：證明對一切正自然數(shù)nWN+,12+22+32+ + n2= - n(n+1)(2n+1).6證明 當n =1時，12=1父1父(1 + 1)父(2父1+1),即1 = 1,所以等 6式成立.設(shè)當n = k

20、時成立公式12 + 22+32 + k2=【k(k+1)(2k+1),則 6當n=k+1時1 2 + 2 2 + 3 2 + + k 2 + (k + 1)2=12+22+32 + + k2+(k+1 )2 ,應(yīng)用歸納假設(shè)，12+22+32+-+k2+(k+1)2=- k(k+1)(2k+1)+(k+1)2 6=1 (k+1 )k(2k+1) + 6(k + 1) = - (k+1)2k2 + 7k+6 661=-(k+1)(k+2)(2k+3),6即1 2 + 2 2 + 3 2 + + k 2 + ( k + 1 ) 21=(k + 1 ) (k+1)+12(k+1) + 1, 6所以當n

21、=k+1時公式成立.所以對n WN+公式成立.課內(nèi)練習41 .不使用等差數(shù)列前n項求和公式，直接證明1+2+3+n=皿D .22 .用數(shù)學(xué)歸納法證明首項為a 1 ,公比為q的等比數(shù)列的前n項和Sn =a1(1 -qn)1 -q3 .（禿子悖論）以n表示人頭上的頭發(fā)根數(shù).一位禿子若增加一根頭發(fā)，還是禿子.由此可見，任何人當n=1時，肯定是禿子；設(shè)當n=k時是禿子，則當n=k+1時仍然是禿子.按 照數(shù)學(xué)歸納法，任何人不論腦袋上長了多少頭發(fā)，還是禿子，因此，所有的人都是禿子.請你批駁一下這個荒唐的結(jié)論.如果你找不到強硬的批駁理由，請你到互聯(lián)網(wǎng)上 搜索此悖論的相關(guān)知識，你不但能找到批駁的理由，而且還能

22、知道，正是這個悖論， 促使了一個全新的數(shù)學(xué)分支 一一模糊數(shù)學(xué)的誕生.4 .多米諾骨牌第1張倒下；設(shè)第k張倒下，則第k+1張也被推倒.依據(jù)數(shù)學(xué)歸納法，整個多米諾骨牌將全部倒下.一位喜歡詭辯的同學(xué)提出反對： 我把當中某張骨牌用膠水粘 在底板上，那么這張牌以后的所有骨牌都不會倒下 這樣的矛盾，問題究竟出在哪兒 了？1 .費馬大定理提到費馬，不能不說一下費馬大定理.費馬對數(shù)有著異常敏銳的直覺，因此他成了一個數(shù)學(xué)猜想大王，一個運用不完全歸納法發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)新大陸的探險家，被數(shù)學(xué)史家公認為是“一只會下金蛋的雞”.他曾預(yù)言“當 n2時，不存在正整數(shù) x,y,z,n,使xn+yn=zn” .這就是困擾數(shù)學(xué)界358年的費馬大定理.圍繞對這個問題研究，產(chǎn)生了許多新的數(shù)學(xué)分支和結(jié)論，這個猜想最終于 1994年獲證，真正成為了一個定理.2 .四色問題“四色問題”是依據(jù)不完全歸納法提出的一個著名猜想.所謂“四色問題”是這樣的：對任意一幅無論多么復(fù)雜的地圖，只要用四種顏色，就足以使相鄰地區(qū)的顏色不同.提出至今，除了利用高速計算機窮舉所有可能的情形作完全歸納法證明外，