1、5.1 大數定律契比雪夫不等式契比雪夫不等式契比雪夫大數定律契比雪夫大數定律貝努里大數定律貝努里大數定律辛欽大數定律辛欽大數定律概率論與數理統計是研究隨機現象統計規律性概率論與數理統計是研究隨機現象統計規律性的學科的學科. 隨機現象的規律性只有在相同的條件下進隨機現象的規律性只有在相同的條件下進行大量重復試驗時才會呈現出來行大量重復試驗時才會呈現出來. 也就是說，要從也就是說，要從隨機現象中去尋求必然的法則，應該研究大量隨機隨機現象中去尋求必然的法則，應該研究大量隨機現象現象. 研究大量的隨機現象，常常采用極限形式，由研究大量的隨機現象，常常采用極限形式，由此導致對極限定理進行研究此導致對極限

2、定理進行研究. 極限定理的內容很廣極限定理的內容很廣泛，其中最重要的有兩種泛，其中最重要的有兩種:與與大數定律大數定律中心極限定理中心極限定理下面我們先介紹大數定律下面我們先介紹大數定律 大量的隨機現象中平均結果的穩定性大量的隨機現象中平均結果的穩定性 大數定律的客觀背景大數定律的客觀背景大量拋擲硬幣大量拋擲硬幣 正面出現頻率正面出現頻率字母使用頻率字母使用頻率生產過程中的生產過程中的 廢品率廢品率幾個常見的大數定律幾個常見的大數定律定理定理1（切比雪夫大數定律）（切比雪夫大數定律）1111lim |1nniiniiPXEXnn 設設 X1, X2, 是相互獨立的隨機變量是相互獨立的隨機變量序

3、列，它們都有有限的方差，并且方差序列，它們都有有限的方差，并且方差有共同的上界，即有共同的上界，即 DXi K，i=1, 2, ，切比雪夫切比雪夫則對任意的則對任意的0，切比雪夫大數定律表明，獨立隨機變量序列切比雪夫大數定律表明，獨立隨機變量序列Xn，如果方差有共同的上界，則如果方差有共同的上界，則niiXn11與其數學期望與其數學期望niiXEn1)(1 偏差很小的偏差很小的概率接近于概率接近于1. niiXn11隨機的了，取值接近于其數學期望的概率接近于隨機的了，取值接近于其數學期望的概率接近于1.即當即當n充分大時，充分大時，差不多不再是差不多不再是切比雪夫大數定律給出了平均值穩定性的科

4、學描述切比雪夫大數定律給出了平均值穩定性的科學描述證明切比雪夫大數定律主要的數學工具是證明切比雪夫大數定律主要的數學工具是切切比雪夫不等式比雪夫不等式. 設隨機變量設隨機變量X有期望有期望EX和方差和方差DX ，則對于則對于任給任給 0, 2|1DXPXEX 2|DXPXEX 或或者者：作為切比雪夫大數定律的特殊情況，有下面的作為切比雪夫大數定律的特殊情況，有下面的定理定理.定理定理2（獨立同分布獨立同分布下的大數定律）下的大數定律）1|1|lim1 niinXnP 設設X1, X2, 是獨立同分布的隨機變量序列，且是獨立同分布的隨機變量序列，且 EXi= ， DXi= ， i=1,2, 則對

5、任給則對任給 0,2 下面給出的貝努里大數定律，是定下面給出的貝努里大數定律，是定理理2的一種特例的一種特例.貝努里貝努里設設Xn是是n重貝努里試驗中事件重貝努里試驗中事件A發生發生的次數，的次數，p是事件是事件A發生的概率，發生的概率，10iiAY ， 如如第第 次次試試驗驗 發發生生，否否則則引入引入i=1,2,n則則 1nniiXY 11nniiXYnn 是事件是事件A發生的頻率發生的頻率 于是有下面的定理：于是有下面的定理：設設Xn是是n重貝努里試驗中事件重貝努里試驗中事件A發生的次數，發生的次數，p是事件是事件A發生的概率，則對任給的發生的概率，則對任給的 0，定理定理3（貝努里大數

6、定律貝努里大數定律）lim|1nnXPpn 或或lim|0nnXPpn 貝努里大數定律表明，當重復試驗次數貝努里大數定律表明，當重復試驗次數n充分充分大時，事件大時，事件A發生的頻率發生的頻率Sn/n與事件與事件A的概率的概率p有較有較大偏差的概率很小大偏差的概率很小.貝努里大數定律提供了通過試驗來確定事件概貝努里大數定律提供了通過試驗來確定事件概率的方法率的方法.lim|0nnXPpn 任給任給0，下面給出的獨立同分布下的大數定律，下面給出的獨立同分布下的大數定律，不要求隨機變量的方差存在。不要求隨機變量的方差存在。設隨機變量序列設隨機變量序列X1, X2, 獨立同分獨立同分布，具有有限的數

7、學期布，具有有限的數學期EXi=, i=1,2,， 則對任給則對任給 0 ，定理定理4（辛欽大數定律辛欽大數定律）1|1|lim1 niinXnP辛欽辛欽例如要估計某地區的平均畝產量，要收割某些例如要估計某地區的平均畝產量，要收割某些有代表性的地塊，例如有代表性的地塊，例如n 塊塊. 計算其平均畝產量，計算其平均畝產量，則當則當n 較大時，可用它作為整個地區平均畝產量的較大時，可用它作為整個地區平均畝產量的一個估計一個估計.這一講我們介紹了大數定律這一講我們介紹了大數定律大數定律以嚴格的數學形式表達了隨機現象大數定律以嚴格的數學形式表達了隨機現象最根本的性質之一：最根本的性質之一：它是隨機現象

8、統計規律的具體表現它是隨機現象統計規律的具體表現.大數定律在理論和實際中都有廣泛的應用大數定律在理論和實際中都有廣泛的應用.平均結果平均結果(頻率頻率)的穩定性的穩定性5.2 中心極限定理列維一林德伯格極限定理列維一林德伯格極限定理棣莫佛拉普拉斯極限定理棣莫佛拉普拉斯極限定理應用舉例應用舉例 中心極限定理的中心極限定理的客觀背景客觀背景在實際問題中，常常需要考慮許多隨機因素所在實際問題中，常常需要考慮許多隨機因素所產生總影響產生總影響.例如：炮彈射擊的落點與目標的偏差，就受著許多例如：炮彈射擊的落點與目標的偏差，就受著許多隨機因素的影響隨機因素的影響.空氣阻力所產生的誤差，空氣阻力所產生的誤差

9、，對我們來說重要的是這些對我們來說重要的是這些隨機因素的總影響隨機因素的總影響.如瞄準時的誤差，如瞄準時的誤差，炮彈或炮身結構所引起的誤差等等炮彈或炮身結構所引起的誤差等等.觀察表明，如果一個量是由大量相互獨立的隨觀察表明，如果一個量是由大量相互獨立的隨機因素的影響所造成，而每一個別因素在總影響中機因素的影響所造成，而每一個別因素在總影響中所起的作用不大所起的作用不大. 則這種量一般都服從或近似服從則這種量一般都服從或近似服從正態分布正態分布.自從高斯指出測量誤差服從正態分自從高斯指出測量誤差服從正態分布之后，人們發現，正態分布在自然界布之后，人們發現，正態分布在自然界中極為常見中極為常見.現

10、在我們就來研究獨立隨機變量之和所特有的現在我們就來研究獨立隨機變量之和所特有的規律性問題規律性問題.當當n無限增大時，這個和的極限分布是什么？無限增大時，這個和的極限分布是什么？在什么條件下極限分布會是正態的呢？在什么條件下極限分布會是正態的呢？由于無窮個隨機變量之和可能趨于由于無窮個隨機變量之和可能趨于，故我們，故我們不研究不研究n個隨機變量之和本身而考慮它的標準化的個隨機變量之和本身而考慮它的標準化的隨機變量隨機變量111()()nnkkkknnkkXEXZDX 的分布函數的極限的分布函數的極限.111()()nnkkkknnkkXEXZDX 的分布函數的極限的分布函數的極限.可以證明，滿

11、足一定的條件，上述極限分布是可以證明，滿足一定的條件，上述極限分布是標準正態分布標準正態分布. 考慮考慮中心極限定理中心極限定理這就是下面要介紹的這就是下面要介紹的在概率論中，習慣于把和的分布收斂于正態分在概率論中，習慣于把和的分布收斂于正態分布這一類定理都叫做布這一類定理都叫做中心極限定理中心極限定理.我們只討論幾種簡單情形我們只討論幾種簡單情形.lim inxnPxn 定理定理1:（獨立同分布下的中心極限定理獨立同分布下的中心極限定理）x-2t -dte212 它表明，當它表明，當n充分大時，充分大時，n個具有期望和方差的個具有期望和方差的獨立同分布的獨立同分布的隨機變量隨機變量之和近似服

12、從正態分布之和近似服從正態分布.設設X1,X2, 是獨立同分布的隨機變量序列，且是獨立同分布的隨機變量序列，且EXi= , DXi= ，i=1,2,，則則2 下面給出的獨立同分布隨機變量序列的中心極限定下面給出的獨立同分布隨機變量序列的中心極限定理，也稱列維一林德伯格（理，也稱列維一林德伯格（LevyLindberg）定理定理.定理定理2:(棣莫佛拉普拉斯定理）棣莫佛拉普拉斯定理）lim(1)nnYnpPxnpp 設隨機變量設隨機變量 ，則對任意，則對任意x，有有( , )nYB n p2212txedt 定理表明，當定理表明，當n很大，很大，0p1是一個定值時是一個定值時(或或者說，者說，n

13、p(1-p)也不太小時）也不太小時）,二項二項分布分布r.v. 的的分分布近似正態分布布近似正態分布 N(np,np(1-p)。nY下面我們舉例說明中心極限定理的應用下面我們舉例說明中心極限定理的應用 設一批產品的強度服從期望為設一批產品的強度服從期望為14,方差方差為為4的分的分布布.每箱中裝有這種產品每箱中裝有這種產品100件件. 求求:(1)每箱產品的平均強度超過每箱產品的平均強度超過14.5的概率是多少的概率是多少. (2)每箱產品的平均強度超過期望每箱產品的平均強度超過期望14的概率是多少的概率是多少. n=100，設設Xi是第是第i件產品的強度件產品的強度. EXi=14，DXi=

14、4，i=1,2, ,100. 每箱產品的平均強度為每箱產品的平均強度為解解:例例1：11niiXXn 記記做做。根據根據Levy-Lindberg定理定理141420.2100XXXn 即即即即近似近似 N(0,1),于是于是1414.514(1).14.50.20.214142.512.50.20.21(2.5)10.99300.0062XP XPXXPP 141414(2).140.20.214101(0)10.50.50.2XPXPXP 計算機在進行數字計算時遵從四舍五入原則計算機在進行數字計算時遵從四舍五入原則. 為使我們此題簡單考慮為使我們此題簡單考慮,我們假定對小數點后面我們假定對

15、小數點后面的第一位進行四舍五入運算的第一位進行四舍五入運算,則誤差則誤差X這個隨機變這個隨機變量可以認為服從量可以認為服從 -0.5,0.5上的均勻分布上的均勻分布. 現若在一項計算中一共進行了現若在一項計算中一共進行了100次數字計算次數字計算.例例2：203,2030.0866求求:平均誤差落在區間平均誤差落在區間 上的概率上的概率 解解: n=100,設設Xi是第是第i次運算的誤差。次運算的誤差。誤差服從誤差服從-0.5,0.5上的均勻分布上的均勻分布 EXi=(-0.5+0.5)/2=0 DXi=0.5-(-0.5)2/12=1/12 , i=1,2, ,100. 平均誤差為平均誤差為

16、11niiXXn 記記做做。根據中心極限定理根據中心極限定理20 3 112100XXXn 即即即即近似近似 N(0,1),于是于是3320203320 320 320 32020(3)( 3)0.9973PXPX 20 3 XXn 即即 某單位有某單位有200部電話分機部電話分機,每部電話約有每部電話約有5%的時的時間要使用外線通話間要使用外線通話.設每部電話是否使用外線通話是設每部電話是否使用外線通話是相互獨立的相互獨立的. 求求:該單位總機至少需要安裝多少條外線才能以該單位總機至少需要安裝多少條外線才能以90%以上的概率保證每部電話需要使用外線時可以以上的概率保證每部電話需要使用外線時可

17、以打通打通?解解:例例3： X B(200, 0.05). 設該單位總機安裝設該單位總機安裝 k 條外線條外線,則則:X令令“同同時時使使用用外外線線的的分分機機數數”P每部電話需要使用外線時可以打通每部電話需要使用外線時可以打通 =PX k0X0X(1)(1)(1)10X10109.59.59.51010()()9.59.5Pkn pn pkn pPn ppn ppn ppkPk 求最小的求最小的 k ,使使 P每部電話需要使用外線時可以打通每部電話需要使用外線時可以打通90%求最小的求最小的 k ,使使PX k90% 求最小的求最小的 k ,使使1010()()0.99.59.5k 101

18、0()0()0.99.59.5101.28213.959.5kkk 求求解解查查附附表表二二 該單位總機至少需要安裝該單位總機至少需要安裝14條外線。條外線。 某市保險公司開辦一年人身保險業務某市保險公司開辦一年人身保險業務.被保險被保險人每年需交付保險費人每年需交付保險費160元元. 若一年內發生重大人身若一年內發生重大人身事故事故,其本人或家屬可獲其本人或家屬可獲2萬元賠金萬元賠金. 己知該市人員一己知該市人員一年內發生重大人身事故的概率為年內發生重大人身事故的概率為0.005.現有現有5000人參人參加此項保險加此項保險. 求求:保險公司一年內從此項業務所得到的總收益在保險公司一年內從此項業務所得到的總收益在20萬元到萬元到40萬元之間的概率萬元之間的概率.解解:例例4：YX 令令“發發生生重重大大事事故故的的被被保保險險人人數數”， “總總收收益益” X B(5000, 0.005). 而而Y0.016萬元保險費萬元保險費 參保人數參保人數-2萬元賠金萬元賠金 一年內發生重大人身事故的人數一年內發生重大人身事故的人數0.016 5000- 2 X20X3