1、. . . . 2013高教社杯全國大學生數學建模競賽承 諾 書我們仔細閱讀了全國大學生數學建模競賽章程和全國大學生數學建模競賽參賽規則（以下簡稱為“競賽章程和參賽規則”，可從全國大學生數學建模競賽下載）。我們完全明白，在競賽開始后參賽隊員不能以任何方式（包括、電子、網上咨詢等）與隊外的任何人（包括指導教師）研究、討論與賽題有關的問題。我們知道，抄襲別人的成果是違反競賽章程和參賽規則的，如果引用別人的成果或其他公開的資料（包括網上查到的資料），必須按照規定的參考文獻的表述方式在正文引用處和參考文獻中明確列出。我們重承諾，嚴格遵守競賽章程和參賽規則，以保證競賽的公正、公平性。如有違反競賽章程和參

2、賽規則的行為，我們將受到嚴肅處理。我們授權全國大學生數學建模競賽組委會，可將我們的論文以任何形式進行公開展示（包括進行網上公示，在書籍、期刊和其他媒體進行正式或非正式發表等）。我們參賽選擇的題號是（從A/B/C/D中選擇一項填寫）：我們的參賽報名號為（如果賽區設置報名號的話）：所屬學校（請填寫完整的全名）：參賽隊員 (打印并簽名) ：1. 2. 3.指導教師或指導教師組負責人 (打印并簽名)： 日期：年月日賽區評閱編號（由賽區組委會評閱前進行編號）：2013高教社杯全國大學生數學建模競賽編 號 專 用 頁賽區評閱編號（由賽區組委會評閱前進行編號）：賽區評閱記錄（可供賽區評閱時使用）：評閱人評分

3、備注全國統一編號（由賽區組委會送交全國前編號）：全國評閱編號（由全國組委會評閱前進行編號）：9 / 13 題 目 基于格林函數對實際通行量的非線性模型 關 鍵 詞 格林希爾治模型； 非線性模型； 實際交通量；摘 要隨著人民生活水平的提高，車輛數目逐年上升，交通需求也日益增長，在城市土地資源有限的情況下，交通堵塞的概率也就大了。 本文首先運用了圖表說明，主要針對視頻資料中發生交通事故時至道路恢復正常這一段時間事故所處橫斷面實際通行能力隨時間的變化過程，并對兩個視頻進行了比較分析。采用集散波的理論和方法，定量分析了交通事故與路段排隊長度、事故橫斷面實際通行能力、事故持續時間、事故上游車流量的關系，

4、并建立了多元回歸分析模型，進行了更為合理的計算說明。 其次，建立格林希爾治模型，在距離事故橫斷面140米處等條件下，對車輛排隊延伸的最遠距離作出較客觀的估算，對上游交通信號燈交叉路口進口道上的車輛排隊進行了分析，從而為交通質量評價與采取的控制管理對策提供依據。 一、問題重述由于工業化和城市化進程的迅速發展，當代城市人口數和車輛數目的不斷迅速增加，已形成難以遏制的趨勢，并將進一步大規模快速增加，與此同時，由于城市空間和道路資源的稀缺性等各種條件的限制，因交通事故、路邊停車、占道施工等因素，導致車道或道路橫斷面通行能力在單位時間降低，因而交通的便捷與舒適與人身安全仍難以達到較好的統一。由于城市道路

5、具有交通流密度大、連續性強等特點，一條車道被占用，也可能降低路段所有車道的通行能力，即使時間短，也可能引起車輛排隊，出現交通阻塞。如處理不當，甚至出現區域性癱瘓。車道被占用的情況種類繁多、復雜，正確估算車道被占用對城市道路通行能力的影響程度，將為交通管理部門正確引導車輛行駛、審批占道施工、設計道路渠化方案、設置路邊停車位和設置非港灣式公交車站等提供理論依據。本文以發生在某一段城市道路的交通事故為例，建立模型較為精確地分析交通事故發生時橫斷面的實際通行能力，事故持續時間，路段車流量與其事故路段車輛排隊長度之間的關系，并對事故發生至事故持續不撤離時，車輛排隊長度達到上游路口時的時間進行了預測，為城

6、市交通道路建設提供參考。二、模型的假設與符號的說明2.1模型的假設1. 假設數據統計準確無誤。2. 假設統計的車輛都為標準車輛數。3. 假設路段為理想的道路條件。2.2符號的分類說明2.2.1 符號說明 A 交通量（pcu/h） ； 持續時間（h）； 道路交通量； 在過后交通量下降后的量；持續時間；時間所對應的密度；對應的密度； 因交通事故堵塞了部分車道通行能力下降后的量； 在時對應的密度；所持續的時間； 在后隨后排除故障的時間； 故障排除后通行能力恢復值； 在時所對應的密度；時持續的時間； 故障完全排除后所對應的通行能力；時所對應的密度；時持續的時間；狀態到狀態的波速； 事故發生車輛擁堵距離

7、； 從事故發生至故障解除所用時間；2.2.2 符號說明 事故發生地點至上游路口距離； 車輛排滿路段所用的時間； 車輛排滿路段時的車流密度； 事故發生后的交通量； 事故發生后車的速度； 該路段的最大速度；三、問題的建模與求解3.1事故所處橫斷面實際通行能力的變化交通事故往往涉與到一車或多車一路的多方面因素，隨著中國城市化進程的不斷推進，交通供需矛盾不斷加劇。視頻資料中是單方向三車道的路段，當發車交通事故時，第二車道和第三車道完全被占用，只有第一車道能夠通車，此時事故路段就相當于一個混合單方向車道，。實際通行能力是指在實際的（或預計的）道路和交通條件下，單位時間通過道路某一點的最大交通量(在混合交

8、通道路上為標準車)，因此，我們將從視頻資料里面獲取的車輛數據化為標準車的數據結果如下表所示 ： 表一：事故一中實際交通量統計表車輛通行起止時間持續時間 h小型車(電動車、摩托車、三輪車）大型車(中型、重型載貨汽車、30座以上大客車）標準車（車型為小型車）交通量(大型車=兩個小型車，都轉化為小型車）pcu/h16:42:3216:42:450.002 036156516:42:4516:47:500.084 741296116216:47:5016:50:400.048 38752108716:50:4016:51:450.018 16220116516:51:4516:52:450.017 9

9、41799016:52:4517:00:050.120 78241261029 圖一：事故一中實際通行能力與時間的關系 從事故發生至撤離時間，該路段的實際通行能力隨時間變化過程如圖1所示，根據（視頻1）整理得到數據，并制出的持續時間與實際通行能力的折線圖。在交通事故發生之前，此車道的通行能力屬于良好狀態，即處于圖像的最高點。當車道某處發生了交通事故時，車道的通行能力明顯受到了影響，圖像表現下降，反映出此時交通逐漸出現擁堵狀態，如果車流密度相對大一些時，此車道會出現停滯。經過緩慢的交通疏散后，車道的通行能力會呈上升趨勢，但是幅度甚小。此時，車道的通行能力和車流密度呈負相關，當車流密度大時，通行能

10、力變小，圖像下降，當車流密度小時，通行能力變大，圖像表現回升。這樣的狀態會一直持續到交通事故解除，車道恢復正常的通行能力。3.2 橫斷面實際通行能力的影響通過對視頻數據的觀察統計分析，可以把事故二中事故發生與撤離可化簡為十個階段進行分析，通過對碰撞后的車輛數據分析可以得出事故二的實際交通量的統計表如下所示： 表二：事故二中實際交通量統計表車輛通行起止時間持續時間/h小型車(電動車、摩托車、三輪車）大型車(中型、重型載貨汽車、大客車）標準車（車型為小型車）交通量(大型車=兩個小型車）pcu/h17:34:17-17:41:450.120 12329181145417:41:45-17:49:00

11、0.140 12027174125517:49:00-17:50:150.01050:15-17:51:750.020 16424139817:51:75-17:54:500.040 481068135217:54:50-17:55:830.020 16526222917:55:83-17:58:550.040 461168123617:58:55-18:00:140.02000:14-18:02:160.030 34442124118:02:16-18:03:290.010 255351522再次對事故一與事故二的數據進行對比分析，可以觀察

12、出事故二的車流量總是大于事故一，而且從視頻中可以發現事故二發生時間為17:30以后，那么就可以判斷出此時為下班高峰期的交通量通行數據。對比兩圖的數據可以從中發現他們的實際通行量都是先一直呈現下降趨勢，最后在撤離時有些許回升，再通過matlab制圖分析兩次的實際通行能力，所得結果如下圖所示： 圖二：事故一、二中實際通行能力對比圖 通過數據與圖像的雙重分析，發現兩次所得出的結果都是一致的。那么就可以得出在交通堵塞這段時間實際通行能力的趨勢為開始一直呈現下降趨勢，最后在撤離時有些許回升，但是事故二的交通量總大于事故一。3.3 排隊長度模型建立3.3.1 車流密度 道路一旦發生交通事故，就可能導致道路

13、交通中斷或者完全中斷，此時就要合理正確地控制車輛的流入量，我們就得正確估算當發生交通事故等突發狀況時車輛排隊向上游的延伸的最遠距離，本問題將用運集散波的理論和方法，獲得較為正確的答案。 根據視頻資料計算出在一定的時間段對應的車流密度，可以得到的車流密度統計表如下所示： 表三：事故一中的車流密度時間間隔（s）車輛數（輛）車流密度（輛/米）117150.13 307150.13 611140.12 783210.18 845290.24 907270.23 時間間隔（s）車輛數（輛）車流密度（輛/米）32620.02 774160.13 1273170.14 1309250.21 1379330.

14、28 1560290.24 1622320.27 1800330.28 1873370.31 1995380.32 表四：事故二中的車流密度 3.3.2集散波原理隨著城市化進程的日益加劇，交通事故的發生頻率也越來越高，城市主干道的擁擠也給市民的出行帶來了不便，所以在交通量變化中可以采取集散波原理來解決排隊長度的問題，同時還要采用概率論知識和排隊論知識來解決排隊長度與實際交通量、擁塞時間、上游的車流量的關系。當堵車發生在不同的路段不同的時間段時，在不同的時間段所通過的交通量是完全不同的，同時還要考慮公路等級與所處地段，通過以上影響量的分析，可以得出要運用集散波原理，原理方程式 7如下所示： （1

15、） （2） （3） (4) (5)通過上述關系式的理解與分析可以發現以上五個集散波原理方程式里包含了時間段數據、車流密度、實際交通量數據的影響，但是還是缺少上游的交通量。上游交通量作為一個隨機數據，因此就要引進隨機數據分析法來分析。在交通流理論中上游交通量滿足隨機分布中的泊松分布，那么就可引入上游交叉路口與泊松分布的關系表達式如下所示： (6) (7)結合以上方程表達式就可以帶入到視頻采集來的數據中進行理論值的驗證與分析，計算出模型中影響排隊長度的部分量的數值，其次還可以計算出泊松分布式子中的正確分布量。3.4多元非線性回歸分析由于上述交通量來時是隨機的，而且運用了隨機過程的泊松分布過程量，所

16、以可以認為此方程并非線性方程，而是非線性方程。那么就要運用非線性規劃的Matlab解法來求解函數關系式，非線性規劃的方程式如下所示： （8） 從上述的八個方程式聯立可以解出排隊長度與其他三個變量之間的關系式，而且關系是所呈現的方式為非線性方程。3.5格林希爾治模型對排隊長度的計算喬治格林函數法對函數的值進行了規劃，并把函數值化為與時間、車流量、運行最大速度的函數關系式，并且還已知上游實際交通量為1600pcu/h與上游距離為140m,所得到的喬治格林函數法的關系是如下所示： (10)通過上述方程，帶入視頻中所得出的數據計算時間t,并帶入到原始方程中驗證，證明喬治格林函數計算方法與原函數有些許偏

17、差，但是數據t值與真實值之間相差較小，屬于真實可用值。4、 模型的影響與提出調整項目通過上述模型的建立、數據的綜合分析，城市道路一旦發生交通事故，就會堵塞部分車道甚至完全切斷交通，此時車輛停車或排隊向上游迅速延伸，甚至使上游若干路口全部擁堵。資料視頻顯示為下班高峰期左右，我們可以從圖中清楚看出道路實際通行量隨時間的變化趨勢，當交通事故發生時占用的車道不同時，對道路實際通行量也有一定的影響。從車輛排隊長度、事故橫斷面實際通行能力、事故持續時間、路段上游車流量之間的關系可以看出，他們之間或多或少的影響著城市道路的暢通狀況。運用格林希爾治模型分析了在一定的路段長度、車流量等條件下交通堵塞時所持續的時

18、間，但是由于資料視頻只是反映該路段兩次事故的道路狀況，所以收集的數據資料較少，不足以精確的說明問題，但可以從整體上能看出交通事故對道路實際通行能力的影響。五、模型的評價(1) 優點1) 首先對交通事故影響與通行能力間的相關性進行預處理,簡化了計算.2) 模型中收集并處理了大量的可信數據,通過各種數學方法與MATLAB、excel等數學軟件將數據資料轉化成理論,使模型求解符合實際,分析有據,更具有可靠性.3) 通過對數據多次分析,減少盲目性,使得出的結果便于分析、更加準確、更具有一般性.4) 本模型具有普遍應用性,適合絕大多數情況下車道被占用對城市道路通行能力影響的分析.5) 在對交通流量處理時

19、,考慮到種類的繁多,將車輛分類并對其進行換算,避免了運用數據時出現混亂.6) 論文中matlab圖形與excel數據表相結合更加形象真實的闡述了實際交通量與排隊長度.(2) 缺點1) 由于分析的事例具有局限性，故模型求解必帶有一定的主觀性。2) 在求解一些問題時由于數據量很大,只能采取一些簡化的措施,在一定程度上影響了結果的精度。3) 在處理數據和求解過程中不可避免的出現各種誤差，影響到模型求解的精確度。6、 參考文獻1美國交通運輸研究委員會.公共交通通行能力和質量服務手冊.： ，2010.012Mark M.Meerschaert淳,來福,黃海洋譯,Mathematl9ical Modeling(Third Edition)數學建模方法與分