1、數(shù)學專題十圓錐曲線及其應(yīng)用【考點精要】2 2考點一 橢圓、雙曲線、拋物線的離心率。女口：設(shè)雙曲線 篤-爲=1 (a>a b0,b > 0)的漸近線與拋物線y=x2 +1相切，則該雙曲線的離心率等于()A. 、3B. 2C. 5D. .62考點二圓錐曲線的第一或第二定義。女口：已知橢圓C:- y2=1的右焦點2I為F ,右準線為I，點A l，線段AF交C于點B，若=3FB,則|AF|=（）A. JB. 2C. 3D. 3考點三.圓錐曲線的漸近線的方程和離心率等概念之間的關(guān)系。直線與圓錐曲線的位置關(guān)系，考查學生對基本概念、基本方法和基本技能的掌握。如：設(shè)2 2雙曲線篤-每=1(a 0,

2、b 0)的虛軸長為2,焦距為2._3，則雙曲線的漸近線方a2 b2程為（）A. y = 2xB. y = 2x C. y - x D.2考點四.圓錐曲線的的定義、線段長、焦半徑。將圓錐曲線的相關(guān)知識與向 量等知識相結(jié)合，考查圓錐曲線的的定義、線段長、焦半徑等知識。考點五.圓錐曲線中有關(guān)角、線段、面積。以圓錐曲線為依托，借助點與線 的關(guān)系，考查圓錐曲線中有關(guān)角、線段、面積等知識，考查綜合運算能力。如： 設(shè)拋物線y2=2x的焦點為F，過點M( 3，0)的直線與拋物線相交于 A, B兩點,與拋物線的準線相交于 C, | BF =2,則厶BCF ACF的面積之比=()S也CFA.B.C. 4D.考點六

3、.圓錐曲線中有關(guān)的距離最短、距離之和最小。利用圓錐曲線與直線的特殊關(guān)系，研究有關(guān)的距離最短、距離之和最小等，考查學生分析問題、解決 冋題以及數(shù)形結(jié)合的能力。如：已知直線 |1: 4x -'3y，6=0和I2：x = T，拋物線y? =4X上一動點P到li和12的距離之和的最小值是（）A.2B.3C.115d.3716考點七待定系數(shù)法求曲線方程。能用待定系數(shù)法求曲線方程，處理直線與 圓錐曲線的相關(guān)問題以及有關(guān)對稱問題。 此類問題多屬于中檔或高檔題。女口：過 點（1，0）的直線I與中心在原點，焦點在x軸上且離心率為乎的橢圓C相交于 A、B兩點，直線y=1x過線段AB的中點，同時橢圓C上存在

4、一點與右焦點關(guān)于2直線I對稱，試求直線I與橢圓C的方程考點八.求圓錐曲線方程的方法。能運用多種方法（如：直接法、定義法、 幾何法、代入法、參數(shù)法、交規(guī)法等）求圓錐曲線的方程，求動點軌跡時應(yīng)注意 它的完備性和純粹性。巧點妙撥1. 直線與圓錐曲線有無公共點或有幾個公共點的問題，實際上是研究它們的方程組成的方程組是否有實數(shù)解或?qū)崝?shù)解的個數(shù)問題，此時要注意用好分類討 論和數(shù)形結(jié)合的思想方法2. 當直線與圓錐曲線相交時：涉及弦長問題，常用“韋達定理法”設(shè)而不求計算弦長（即應(yīng)用弦長公式）；涉及弦長的中點問題，常用“差分法”設(shè)而不求， 將弦所在直線的斜率、弦的中點坐標聯(lián)系起來，相互轉(zhuǎn)化.同時還應(yīng)充分挖掘題目

5、的隱含條件，尋找量與量間的關(guān)系靈活轉(zhuǎn)化，往往就能事半功倍3. 求圓錐曲線中的最值問題解決方法一般有兩種：一是幾何法，特別是用圓錐曲線的定義和平面幾何的有關(guān)結(jié)論來做非常巧妙；二是代數(shù)法，將圓錐曲線的最值問題轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)或三角函數(shù)的最值問題，然后利用均值不等式、函數(shù)的單調(diào)性或三角函數(shù)的有界性等求最值。【典題對應(yīng)】4例1.(2009 山東)設(shè)R,在平面直角坐標系中,已知向量a=(mx,y1),向量b =(x, y -1), a _ b,動點M (x, y)的軌跡為E.(1) 求軌跡E的方程,并說明該方程所表示曲線的形狀；1(2) 已知m = 1,證明：存在圓心在原點的圓，使得該圓的任意一條切線與軌

6、4跡E恒有兩個交點A,B,且OA_OB(O為坐標原點),并求出該圓的方程；1(3) 已知m二，設(shè)直線I與圓C:x22(1 4k )x 8ktx 4t -4=0,要使切線與軌跡E恒有兩個交點 A,B,則使 =64k2t2-16(1 4k2)(t2-1) = 16(4k2-t2 1) 0, yR2(1<R<2)相切于A,且I與軌跡E4只有一個公共點B,當R為何值時,|A啟|取得最大值？并求最大值.命題意圖：本題主要考查直線與圓的方程和位置關(guān)系，以及直線與橢圓的位 置關(guān)系,可以通過解方程組法研究有沒有交點問題，有幾個交點的問題。呻 呻 斗斗斗呻°。解析：(1)因為 a _ b,

7、 a = (mx, y 1), b = (x, y -1),所以 a b =mx y -1=0,即mx2，y2 =1.當m=0時，方程表示兩直線，方程為yh，1;當m=1時,方程表示的是圓；當m 0且m=1時，方程表示的是橢圓；當 m ： 0時，方程表示的是雙曲 線.(2)當心時軌跡E的方程為1"設(shè)圓心在原點的圓的一條切線為y 二 kx t解方程y = k x.222x 4(kx t) =4即4k2 -t2 10,即t2 ：4k2 1,X1且8ktx21 4k2 4t2 -4x :1 4k22 2y1y2 =(心 t)(kx2 t) = k x1x2 kt(x!x2) t 口k2(4

8、t2-4)8k2t2t2 二t2 -4k21 4k21 - 4k21 4k2要使 O _Ax-ix2= 0y1,y即4t2 -4 t2 _4k2 5t2 _4k2 _42 2 21 4k 1 4k 1 4k恒成立.所以又因為直線y二kx t為圓心在原點的圓的一條切線,所以圓的半徑為2 t24 2-(1k)51 k21 k2=4,所求的圓為5x2y2存在時,切線為x5,與=1 父于點（：5，二-5）或（ 5,二 .5）5555也滿足0A _ 0B .綜上，存在圓心在原點的圓x2yl，使得該圓的任意一條切線與橢圓e恒有兩個交點a,b,且0A_0B.1當m二一時，軌跡42E的方程為才y2J設(shè)直線l的

9、方程為y=kxt因為直線I與圓C:x2y2二 R2 （1vR<2）相切于 A 由（ 2）.1k2匚y女t因為I與軌跡E只有一個公共點B1,由（2）知x2得 x24(kx t)2 = 4 ,即(1 - 4k2)x2 8ktx 4t2 -4 =0 有唯一解.則厶=64k2t2 -16(1 4k2)(t2 -1) =16(4k2 -t2 T) = 0 ,即 4k2 -t2 1 = 0 ,t2 3R2由得k24-R2R2 -1此時A,B重合為B（xi,y 1）點,4 - R28ktX1 X22121 4k24t2 -4/ 2中 X1 =X2,所以,X12/4 16R _1621 4k3R2皿2

10、21 21 4k24 - R23R2|OiEh 汰i2/疇，-R在直角三角形 OABi 中，| ABi |2=|OBi |2 |OA |2 = 5-R2 =5 R4P x, y), Q xy兩不同點，且 opq的面積s.opq.6其中O為坐標原點.Bi(x i ,y i)點在橢圓上,所以汀=1-1為24(R4R2)因為冷 R2 _4當且僅當j2 (1,2)時取等號,所以I ABi |氣5-4 = 1,即R當R »整(1,2)時|AiBi|取得最大值,最大值為1.名師坐堂：對于兩個向量垂直，a =(x, y),6 =(m, n),若a _ b,則有xm yn = 0。求圓錐曲線的軌跡方

11、程時一定要注意檢驗，所求方程中含有參數(shù)是要注意討論 研究直線時應(yīng)注意斜率不存在的情況。2 2例2.( 20ii 山東22)已知動直線I與橢圓C : y i交于32I)證明：Xi2 X22和yi2 y22均為定值;(U)設(shè)線段PQ的中點為M，求OMPQ的最大值；(川)橢圓C上是否存在三點D,E,G，使得S.QDE二SODG = S.OEG = f ?若存在，判斷 DEG的形狀；若不存在，請說明理由.命題意圖：本題主要考查直線方程、橢圓的標準方程、面積公式、一元二次 方程的根與系數(shù)的關(guān)系、求最值的方法以及分類討論的思想，考查學生解析幾何 的基本思想方法，考查邏輯推理、運算能力.解析：(I )當直線

12、I的斜率不存在時，P,Q兩點關(guān)于x軸對稱，則Xi = X2, yi - -y，由P xi, yi在橢圓上，則xi肛=i，而Sopq = Xiyi6，則322xi =牙,yi =i于是 xi2X22 = 3，yi2y22 = 2 .當直線I的斜率存在，設(shè)直線2 2l為y = kx m，代入y 1可得322x2 3(kx m)2 =6，即 2 3k2x26 km 3 m 6 0,0 ,即 3k22 . m26km3m2x1 x22, x1x222 3k2 3k-6=1 k2 .，(片 x2)2二4x2 =1 k2j6.3k22-m22 3k21k2'Sp°Q =1 d PQ26、

13、；3k22-m22 3k2則 3k 2 =2m2，滿足.=02x12 x22 二(捲 x2)22XM 二(6km )22 3(m -2)2 3k2)2 3k2yj y?2 =2(3-xj) 3(3-X22) =4-3(好 x22) =2，綜上可知 xj X22 =3， y1胳 X22 w、2、2 9k y22(U)當直線I的斜率不存在時,(I)知 OMXi當直線I的斜率存在時，由(I)%x22m2X( X2 3k二 k(_) m = _om(322mpq2 2= (1k2)24(3k 2m)(2 3k2)222(2 m 1)1= 2(2 r)m2 _OM PQ =(3當且僅當3-乙m1)(2m

14、=2丄m2A)m254= ±42時等號成立，綜上可知|oM ' PQ的最大值為224m2。由（I） 知 Xd ' Xe 3, Xe ' Xg = 3, Xg ' Xd = 3 ,222222小yDyE2, yEyG2, yGyD2 .2223222解牛得 XdXeXg> yD ' y yG ' 1 ,2因此xd,xe,xg只能從 6中選取，yD, yE,yG只能從-1中選取，2因此D,E,G只能從（詩，。中選取三個不同點'而這三點的兩兩連線必有 一個過原點，這與S ode =S odg =S °eg 相矛盾，故橢

15、圓上不存在三點D,E,G，使得Sode =S -ODG.6名師坐堂：求解定值問題可先考慮能否用特殊點或特殊值求出定值，再推廣到一般結(jié)論。在求解圓錐曲線的最值問題時，可考慮用重要不等式、二次函數(shù)、 三角函數(shù)以及函數(shù)的單調(diào)性。【授之以漁】方法點撥：求圓錐曲線中的最值問題應(yīng)注意以下幾點：（1）圓錐曲線本身存在最值問題，如橢圓上兩點最大距離為2a （長軸長）；雙曲線上兩點間最小距離為2a （實軸長）：橢圓上的焦半徑的取 值范圍為a-c,ac，a-c與a c分別表示橢圓焦點到橢圓上的最短與最 長距離；拋物線上頂點與拋物線的準線距離最近。（2）圓錐曲線上的點到定點的距離最值， 常與兩點間的距離公式轉(zhuǎn)化為

16、區(qū)間上的二次函數(shù)最值解決，有時也用圓錐曲線中的參數(shù)方程，化為三角函數(shù)的最值問題。（3）圓錐曲線上的點到定直線的距離最值，常轉(zhuǎn)化為平行切線法。（4）點在圓錐曲線上，求相關(guān)式子的取值范圍，常用參數(shù)方程代入轉(zhuǎn)化 為三角函數(shù)的最值問題，或根據(jù)平面幾何知識或引入一個參數(shù)化為函數(shù)進行 處理。（5）由直線和圓錐曲線的位置關(guān)系，求直線中或圓錐曲線中某一個參數(shù) 滿足的范圍，解決方法長把所求參數(shù)作為函數(shù)，另一個變元作為自變量求解。【直擊高考】2 2 2 21. 已知雙曲線-上=1的準線經(jīng)過橢圓7 -1 （b>0）的焦點，則b=（）224 b2A.3B. 5C.、3D.2. 拋物線y=ax2與直線y=kx+b

17、(kM0)交于A、B兩點，且此兩點的橫坐標分 別為Xi, X2,直線與x軸交點的橫坐標是X3,則恒有()A.X3=X1+X2B.X1X2=X1X3+X2X3C.Xi+X2+X3=0D. X1X2+X2X3+X3X1 =03. 中心在原點，焦點在坐標為(0，±5.2)的橢圓被直線3X y 2=0截得的弦的中點的橫坐標為1，則橢圓方程為。24. 直線I的方程為y=x+3,在I上任取一點P,若過點P且以雙曲線12X2 4y2=3的焦點作橢圓的焦點，那么具有最短長軸的橢圓方程為 .2 25. 已知F1、F2是橢圓C:篤爲=1( a > b >0)的兩個焦點，P為橢圓Ca b上一點

18、，且PR丄PF2 .若也PF1F2的面積為9,則b=6. 已知拋物線y2=2px(p>0),過動點M(a,0)且斜率為1的直線I與該拋物線 交于不同的兩點A、B,且| AE| < 2p.(1)求a的取值范圍.若線段AB的垂直平分線交X軸于點叫求厶NAB面積的最大值.2 2 _7. 已知雙曲線 C : 2 告=1(a 0, b 0)的離心率為3，右準線方程為a b3X =3。(I)求雙曲線C的方程；(n)設(shè)直線I是圓O : X2 y2 =2上動點P(X°, y0)(x°yo = 0)處的切線，I與雙 曲線C交于不同的兩點A,B，證明.AOB的大小為定值.高三數(shù)學三

19、輪復習(理科)參考答案數(shù)學專題十圓錐曲線及其應(yīng)用【直擊高考】21. 解析：可得雙曲線的準線為x =1 ,又因為橢圓焦點為c(_ 4b2,0)所以有 4 匚 b2 =1 .即 b2=3 故 b=、3 .故 C. 22. 解析：解方程組丿八ax,得 ax2 kx b=0,可知 xi+x2=- ,xix2= - ,X3=y = kx + baab，代入驗證即可。答案：Bk3. 解析：設(shè)所求圓的圓心為P(a, b),半徑為r,則點P到x軸、y軸的距離分別為|b|、|a|圓P截y軸所得弦長為2,二r2=a2+1又由題設(shè)知圓P截x軸所得劣弧對的圓心角為 90° ,故弦長| AB=逅r,故r2=2

20、b2,從而有 2b2 a2=1又點P(a, b)到直線x 2y=0的距離d=|2b|,J5因此，5d2=| a 2b| 2=a2+4b24ab> a2+4b2 2(a2+b2)=2 b2 a2=1,當且僅當a=b時上式等號成立，此時5d2=1,從而d取最小值，為此有"a =ba =1a =得*或丿/* i 222b 一 a=1b =1-b =/ r2=2b2,二 r2=2于是所求圓的方程為：(x 1) 2+(y 1)2=2或(x+1)2+(y+1)2=24. 解析：所求橢圓的焦點為 % 1,0), F2(1,0),2 a=|PF|+|PF。欲使2a最 小，只需在直線I上找一點P.使|PF|+| PF2|最小，利用對稱性可解.2 2答案：=154| PF1 |+|PF2 戶 2a22225. 解析：依題意，有 <| PF1 | | PF? |=18，可得 4c + 36= 4a，即卩 a c2 2 2J PF1 | +| PF2 | =4c=9,故有 b= 3。6. 解析：(1)設(shè)直線I的方程為：y=x a,代入拋物線方程得(x a) 2=2px,即2 2x 2( a+p) x+a =0 | Aq= 2 . 4(a p)2-4a2 < 2p.4ap+2p< p；即 4ap< p2又 p>