1、第六講 旋轉與軌跡本講3單元的內容分別是：圖形旋轉，線動成面，面動成體。圖形旋轉是解決幾何題目的有效方法之一，在解決幾何題目時，旋轉的方法滿足以下三個條件：(1)通過旋轉將不規則圖形轉化為規則圖形，(2)邊相等，(3)角互補或互余。在看到滿足這些條件的幾何圖形時，要能想到“旋轉”，這是一種思路，也是一種境界。軌跡：點動成線，線動成面，面動成體。601、【第一單元1】如圖所示的四邊形的面積等于多少？【難度級別】【解題思路】此題不用旋轉也能做，如圖一，但是，要學好看到等邊、直角，思考如何旋轉。如圖二(OAB繞O逆時針旋轉90度)、圖三(OAC繞O順時針旋轉90度)。圖三，12×12144

2、。【答案】144。602、【第一單元2】如圖所示，ABC中，ABC90°，AB3，BC5，以AC為一邊向ABC外作正方形，中心為O，求陰影面積。【難度級別】【解題思路】不旋轉也能做，×5×3+×()16。但是，要學好旋轉，OAB繞O逆時針旋轉90度，如圖。直角OBB為所求（BCB在一條直線上，證明很簡單）。一個等腰直角三角形，斜邊長度已知，面積是可求的。5+38，×8×416。【答案】16。603、【第一單元3】如圖，已知ABAE4cm，BCDC，BAEBCD90°，AC10cm，則_。【難度級別】【解題思路】ABC繞C逆時

3、針旋轉90度，ABC繞A順時針旋轉90度，都轉到AC的下方，在AC的下方形成正方形，如圖。也可以都轉到AC的上方形成正方形。面積：10×10÷250。【答案】50。604、【第一單元4】如圖，以正方形的邊AB為斜邊在正方形內做直角三角形ABE，AEB90°，AC、BD交于O，已知AE、BE的長分別是3cm、5cm，求OBE的面積。【難度級別】【解題思路】提供兩種解法。解法一、懸空整體空白，旋轉=17；ABE好求，但ADE不好求，將ADE繞A點順時針旋轉90度，求變成了求直角梯形AEBE的面積，(3+5)×3÷212。×(1712)2.

4、5。解法二、弦圖看到了正方形、直角三角形，想到弦圖，做出其他三個直角三角形。DBE底BE5，高等于弦圖中心正方形的邊長,5-32。×(×5×2)2.5。【答案】2.5。605、【學案1】下圖ABC是等腰三角形，ABAC，BAC120°，ADE是正三角形，點D在BC邊上，BD:DC2:3。當ABC的面積是50時，ADE的面積是多少？【難度級別】【解題思路】看到等腰，看到120°，想到旋轉。將ABC、ADE繞A點旋轉2次（120°、240°），連接D、E、D、E、D、E構成正六邊形。50×3150。，但是，正六邊形有些

5、點懸空，面積不好求，可以求DDD的面積，這樣，。42；×4214。此處用到了鳥頭模型，2×3：5×5。本題中的正六邊形是需要證明的：CADBAD，EADEAC+CADEAC+BADBACDAE120°60°60°，所以，EAD是正三角形。【答案】14。606、【補充1】如圖，在長方形中，已知2個三角形的面積是2和3，求？處的面積。【難度級別】【解題思路】如圖做輔助線。第一步：求出來3（蝴蝶兩翼）；第二步：求出來4.5（面積比為2：3）；第三步：長方形一半：3+4.57.5，？7.525.5。【答案】5.5。607、【第二單元3】直角三

6、角形ABC的斜邊AB長為10厘米，ABC60°，此時BC5厘米。以點B為中心，將ABC順時針旋轉120°，點A、C到達E、D位置。求AC邊掃過的圖形即圖中陰影部分的面積（取3）。【難度級別】【解題思路】線動成面。將EBD逆時針旋轉回來，陰影為2個扇形差。7575。【答案】75平方厘米。608、【第二單元4】如圖，ABCD是一個長為4、寬為3、對角線長為5的長方形，它繞C點順時針方向旋轉90°，分別求出四邊掃過圖形的面積。【難度級別】【解題思路】DC：4；BC：2.25；AD：(1)旋轉到(2)，2.25；AB：(3)旋轉到(4)，4。發現，對邊掃過的面積相等。【答

7、案】AB：4，BC：2.25，CD：4，DA：2.25。609、【學案2】如圖ABC是一個等腰直角三角形，直角邊的長度是1米。現在以C點為圓心，把ABC順時針旋轉90度，那么，AB邊在旋轉時所掃過的面積是_平方米。【難度級別】【解題思路】此題，掃過的面積不太好想象。順時針旋轉后，A點沿弧AA轉到A點， B點沿弧BB轉到B點，D點沿弧DD轉到D點。因為CD是C點到AB的最短線段，所以AB掃過的面積就是圖中的弧BAA與BDDA之間的陰影圖形。×1×1(平方米)。()-0.6775。【答案】0.6775。610、【學案3】三枚半徑為1cm的圓形硬幣相互緊靠著平放在桌面上，讓一枚同

8、樣大小的硬幣沿著它們的外輪廓滾過后回到原來的位置，那么與原A點重合的點是_，硬幣自己轉動_，硬幣圓心的運動軌跡周長為_。【難度級別】【解題思路】先計算軌跡的長度：三個半徑為2的半圓。6；硬幣周長：2；6÷23，即為3周。【答案】A點，3周，6厘米。611、【作業3】如圖所示的四邊形ABCD中，AC45°，ABC105°,ABCD15厘米,連接對角線BD，ABD30°。求四邊形ABCD的面積。【難度級別】【解題思路】先將所有角的度數標記出來。發現60°和30°，75°和105°。將BCD沿BD剪下，B、D兩點翻轉再粘

9、上，形成圖形如右。面積就很好求了：×15×15112.5(平方厘米)。【答案】112.5平方厘米。612、【作業5】如圖，直角三角形如果以BC邊為軸旋轉一周，那么所形成的圓錐的體積為16，如果以AC邊為軸旋轉一周，那么所形成的圓錐的體積為12，如果以AB邊為軸旋轉一周，那么所形成的幾何體的體積是多少？【難度級別】【解題思路】設BCa，ACb，則化簡后得，此方程可解，兩式相除得：，代入得。根據勾股定理，AB5，AB上的高為：2.4。所求旋轉體的體積為：9.6。【答案】9.6。613、【補充2】先做一個邊長為2cm的等邊三角形，再以三個頂點為圓心，2cm為半徑作弧，形成曲線三角形（如左圖）。再準備兩個這樣的圖形，把一個固定住（右圖中的陰影），另一個圍繞它滾動，如右圖那樣，從頂點相接的狀