1、隔項等差、等比數列1. （隔項等差、等比數列求和）秋末冬初，流感盛行，我市某醫院近30 天每天入院治療甲流的人數依次構成數列an ，a11,a22, 且 an 2an1( 1)n(n N )，該醫院30 天入院治療流感的人數有 （）A.253B. 254C. 255D.256解析因為 a11,a22, 且 an 2an1 (1)n 所以 n 為奇數時 an2an ； n 為偶數時 an 2 -an =2 ；即奇數項為常數列，偶數項為2 為首項， 2 為公差的等差數列，所以總和為255.2. （隔項等差、等比數列求和）已知數列an中 a12, a2 3, 且 an =an -2+3 （ n 3）

2、(1) 求數列an 的通項公式 an （ 2）求數列an的前 n 項和 Sn解析（ 1）由 an =an -2 +3 （ n3 ）得 an -an-2 =3 （ n 3 ）即 an從第 3 項起，每一項與它的前2項 的 差 都 等 于3 ， 所 以 它 是 公 差 為3的 隔 兩 項 的 等 差 數 列 ， 從 而 有n是 奇 數 時a =a + （ n1 -1 ） 3= 3n 1n122； n 是偶數時 a=a +（ n-1 ） 3= 3n所以n2223n1an =2n是奇數3nn是偶數2（ 2） n 是偶數時Sna1a2a3an 1 an =（ a1 a3an 1 ） +（ a2a4an

3、）= 1 gn 23(n1)11gn33n= 1 n(3n4)2222224n 是奇數時Sna1a2a3an 1an = Sn-1+an =1（g n-1 ）3(n 1) 43n 1 = 1 (n+1)(3 n 1)424S n =1 n(3n+4)n 是偶數41n是奇數(n+1)(3n+1)43. （隔項等差、等比數列求和）已知數列an 中 a1 4, a2 5, 且 an 2 =(-) n 2an ，求數列an 的通項公式 ann12n 是奇數an =a1 q 1解析 由 2 題可以總結得到，隔兩項等比數列的通項公式為n22n是偶數a 2 q2因為 an2 =(-1) n 2 an ，所以

4、 n 是奇數時 an 2 =-2 ； n 是偶數時 an 2=2anan1n1所以 a n =4-22n 是奇數n2522n 是偶數4、數列an滿足 a1 1,a22, an2 (1cos2 n) ansin 2 n, n1,2,3, L .22( ) 求 a3, a4 , 并求數列a的通項公式；n( ) 設 bna2 n 1 , Snb1b2Lbn . 證明：當 n6時，S21 .a2 nnn解 () 因為 a1 1,a22, 所以 a3(1cos2)a1sin 2a11 2,22an(1cos2) a2sin 22a24.一般地，當 n2k 1(kN * ) 時， a2k11cos2 (2

5、 k1) a2 k 1sin 2 2k 122 a2 k 11 ，即 a2k 1a2k 1 1.所以數列a2 k1 是首項為1、公差為1 的等差數列，因此a2k1k.當 n2k ( kN * ) 時， a2k2(1 cos22k2a2 k .2所以數列a2 k是首項為2、公比為2 的等比數列，因此a2 k2k.n1 , n2k1(kN* ,故數列 an的通項公式為 a22nN * .22 , n2k(k( ) 由( ) 知， bna2n1na2 n22 ,123Ln,Sn22232n21123n2 Sn222224L2n 1-得，1111L1nSn22232n2n 1 .221 1(1)2n1n22112n 112n2n 1 .22所以 Sn21n2n2n 1nn.222要證明當 n6 時， Sn21成立，只需證明當n6n(n2)1成立 .n時，2n證法一(1)當 n=6 時， 6(62)4831成立 .26644k( k2)(2)假設當 nk(k6)時不等式成立，即1.2k則當= +1 時， (k1)(k3)k( k2)( k1)(k3)( k1)(k3)1.n k2k12k2k(k2)(k2)g2k由 (1)、(2) 所述，當 n6 時， n( n1)1，即當 n 6 時， Sn21.22n證法二令 cnn(n2) (n6) ，則 cn1cn(n1)(n3)n(n 2)3n