1、 引言“仿真”對應的英文單詞是“Simulation”,仿真已成功應用于工業，農業，商業等眾多領域，隨之，經過一個世紀的發展歷程，仿真科學與技術已形成獨立的知識體系，隨著科學技術的發展，工程系統正朝著更加復雜的方向發展，這主要是由于復雜的任務和高精度的要求所引起的。一個復雜系統可能有多個輸入和多個輸出，并且以某種方式相互關聯或耦合,可能是時變的。由于需要滿足控制系統性能提出的日益嚴格的要求，系統的復雜程度越來越大，為了分析這樣的系統，必須簡化其數學表達式，轉而借助于計算機來進行各種大量而乏味的分析與計算,并且要求能夠方便地用大型計算機對系統進行處理。從這個觀點來看，狀態空間法對于系統分析是最適

2、宜的。大約從1960年升始發展起來。這種新方法是建立在狀態概念之上的。狀態本身并不是一個新概念，在很長一段時間內，它已經存在于古典動力學和其他一些領域中。 經典控制理論是建立在系統的輸入-輸出關系或傳遞函數的基礎之上的，而現代控制理論以n個一階微方程來描述系統，這些微分方程又組合成一個一階向量-矩陣微分方程。應用向量-矩陣表示方法，可極大地簡化系統的數學表達式。狀態變量、輸入或輸出數目的增多并不增加方程的復雜性。事實上，分析復雜的多輸入-多輸出系統，僅比分析用一階純量微分方程描述的系統在方法上稍復雜一些。本課程將主要涉及控制系統的基于狀態空間的確定、然后將其進行仿真，再對仿真做分析與設計。 1

3、.設計概述1.1 設計目的 學習4階龍格-庫塔法的基本思路和計算公式，加深理解4階龍格-庫塔法的原理和穩定域。加深理解仿真的穩定性，仿真步長對仿真精度的影響。1.2 設計內容1、線性定常系統2、非線性系統其中：r=0.001, a=2´10-6, s=0.01, b=1´10-6, x(0)=12000, y(0)=600。1.3 設計任務(1) 查閱資料,確定系統設計方案(2) 說明設計原理,構建系統,SIMULINK仿真(3) 撰寫課程設計說明書.1.4設計基本要求與要點1、 所采用方法的基本思路和計算公式。2、仿真步驟及說明。3、仿真過程及仿真結果分析要點：（1）學習

4、4階龍格-庫塔法的基本思路和計算公式；（2）為了保證仿真的穩定,分析線性定常系統,其最大仿真步長為多少? 2狀態空間模型仿真方案設計2.1 確定設計過程 在熟悉課題，明確任務的基礎上，查閱相關資料，理清設計思路，綜合考慮總的設計時間和各部分設計所需時間，最終決定將本次設計分四步進行。1熟悉課題，明確任務，查閱相關資料，確定總體設計方案；2構建系統，同時了解設計原理及基本原理；3對所構建的系統進行仿真，選擇合適的步長；4. 觀察仿真結果，進行仿真分析。2.2 設計基本原理 4階龍格-庫塔法是一種遞推的方法，其基本公式為：y(tk+1)yk+1=yk+(K1+2K2+2K3+K4)其中：K1=f(

5、tk,yk),K2=f(tk+h/2,yk+(h/2)*K1),K3=f(tk+h/2,yk+(h/2)*K2),K4=f(tk+h,yk+h K3) 2.3設計基本思想 由微分方程確定狀態方程，選擇合適的狀態空間，運用SIMULINK仿真工具進行實驗微型計算機、MATLAB軟件。Sources(信號源)，Sink(顯示輸出),Continuous(線性連續系統)，Discrete（線性離散系統)，Function & Table（函數與表格)，Math(數學運算)， Discontinuities (非線性)，Demo（演示） 2.4 狀態空間方程的確定1.狀態：動態系統的狀態是系統

6、的最小一組變量(稱為狀態變量)，只要知道了在時的一組變量和時的輸入量，就能夠完全確定系統在任何時間時的行為。狀態這個概念決不限于在物理系統中應用。它還適用于生物學系統、經濟學系統、社會學系統和其他一些系統。2.狀態變量：動態系統的狀態變量是確定動態系統狀態的最小一組變量。如果至少需要n個變量才能完全描述動態系統的行為(即一旦給出時的輸入量，并且給定時的初始狀態，就可以完全確定系統的未來狀態)，則這n個變量就是一組狀態變量。狀態變量未必是物理上可測量的或可觀察的量。某些不代表物理量的變量，它們既不能測量，又不能觀察，但是卻可以被選為狀態變量。這種在選擇狀態變量方面的自由性，是狀態空間法的一個優點

7、。3.狀態空間：由n個狀態變量所張成的n維歐氏空間，稱為狀態空間。任何狀態都可以用狀態空間中的一點來表示。5.狀態空間方程 在狀態空間分析中，涉及到三種類型的變量，它們包含在動態系統的模型中。這三種變量是輸入變量、輸出變量和狀態變量。在后面的分析中我們將會看到，對于一個給定的系統，其狀態空間表達式不是唯一的。但是，對于同一系統的任何一種不同的狀態空間表達式而言，其狀態變量的數量是相同的。假設多輸入、多輸出n階系統中, r個輸入量為和m個輸出量。n個狀態變量為于是可以用下列方程描述系統: (1.2.1)輸出方程為: (1.2.2)用向量形式描述,可寫為:狀態方程: (1.2.3) 輸出方程: (

8、1.2.4)其中 2.5由狀態空間方程確定系統模型系統模型為：1. 線性定常系統 得到模型如下圖所示： 2、非線性系統 其中：r=0.001, a=2´10-6, s=0.01, b=1´10-6, x(0)=12000, y(0)=600。得到模型如下圖所示： 3 系統仿真3.1仿真方法 利用MATLAB中的Simulink模塊進行線性定常和非線性系統的仿真。3.2 Simulink簡介 Simulink是MATLAB軟件包之一，用于可視化的動態系統仿真，它適用于連續系統和離散系統，也適用線性系統和非線性系統。它采用系統模塊直觀地描述系統典型環節。因此可十分方便地建立系統

9、模型而不需要花較多時間編程。正由于這些特點，Simulink廣泛流行，被認為是最受歡迎的仿真軟件。3.3 Simulink仿真步驟Simulink實際上是面向結構的系統仿真軟件。利用Simulink進行系統仿真的步驟是：（1）啟動Simulink，進人Simulink窗口；（2）在Simulink窗口下，借助Simulink模塊庫，創建系統框圖模樣并調整模塊參數；（3）設置仿真參數后，啟動仿真；（4）輸出仿真結果。3.4啟動Simulink窗口及模型庫用戶首先進入 MATLAB COMMAND窗口，鍵人Simulink，立即彈出 Simulink模塊庫窗口，如圖3-1所示。 圖3-1 Simu

10、link模塊庫3.5 系統框圖模型的建立系統框閣模型建立的過程如下：1、建立模型窗口建立新的模型窗口常有四種方法：（1）在 MATLAB COMMAND窗口下，鍵人Simulink，彈出Simulink模塊庫窗口同時，也彈出一個Untitled窗口，該窗口為未取名的模擬窗口，用戶可在該窗口下建立新的系統框圖模型。（2）在Simulink窗口下，用鼠標選取菜單File中New子菜單的Model后，會彈出一個Untitled窗口，如圖3-2所示，該窗口供用戶建立系統框圖模型。 圖3-2 Untitled模型窗口 3）若模型文件已存在，Simulink窗口下，選擇菜單File中Open命令，輸入文件

11、名，即打開一個已存在的方框圖模型。2、選取模塊或模塊組在建立框圖模型過程中，需進行如拷貝、刪除模塊等操作，必須首先選擇模塊或模塊組，具體操作如下：（1）在模型或模塊庫的窗口內，找出所需模塊圖標，用鼠標左鍵單擊。圖標四角出現黑圓點，表示該模塊已被選中。（2）在模型或模塊庫窗口內，用鼠標左鍵在窗口矩形邊界兩個對角單擊一下，即生成一個邊界框將所需幾個模塊圖標包圍，松開鼠標，則邊界框內模型和連接線出現黑圓點，表示這些模型（包括在連接線）均被選中。用同樣方法可以選取一個系統框圖模塊的全部模塊。3、模塊拷貝及刪除用戶在建立自己模型時候，常常需要從Simulink模塊庫，其他模塊庫或其他模型窗口復制所需的模

12、塊并移動至自己的模型窗口內。有兩種操作方法；鼠標拖動方法和菜單命令法。介紹一種如下。鼠標拖動法如下：（1）打開模塊庫窗口或模型窗口。（2）將鼠標移至要拷貝的模塊圖標上，按下鼠標左鍵并保持。（3）移動鼠標將模塊圖標拖至目標模型窗口一定位置。（4）松開鼠標左鍵，模塊圖標保留在目標模擬窗口內，模塊拷貝完成。模塊的刪除有兩種方法：（1）選取要刪除的模型，從Edit菜單中選取Clear或Cut令，用Cut命令刪除的模塊允許使用Paste粘貼在另一個地方。（2）選取要刪除的模塊，并按Del鍵。Simulink允許模塊更名，圖標大小改變、模塊圖標移動、模塊圖標旋轉等操作。模塊圖標旋轉快捷鍵是CTRL+R。4

13、、模塊參數設置用鼠標雙擊待設置參數的模塊圖標，打開模塊對話框，按對話框欄目中提供的信息，輸入或改變模塊參數。按Close，模塊參數設置或修改完成。5、模塊連接線模塊之間的連接線是信號線，每根連接線都表示標量或向量信號的傳輸，連接線的箭頭表示信號流向。連接線把一個模塊的輸出端口和另一個模塊的輸入端口連接起來，也可以利用分支線把一個模塊的輸出端口和幾個模塊的輸人端口連接起來。6、模型文件取名及保存一旦把模型窗口上各模型連接起來，一個系統方框圖模型建立工作就已完成。選擇模型窗口 File菜單中Save as命令，彈出對話框，填人模型文件名。3.6 系統仿真運行系統仿真運行常有兩種方法進行：1、Sim

14、ulink模型窗口下的仿真運行在Simulink模型窗口下進行仿真操作簡單、直觀，不必記憶命令的語法規則，人機交互方式選擇或修改仿真參數，模型參數等。具體操作如下：（1）打開系統模型窗口。（2）從菜單Simulation中選取Parameters，彈出仿真參數對話框。如圖3-3所示。 圖3.3 （3） 應用仿真參數在通過 Simulation Prameters對話框設置或修改好仿真參數后，準備應用到用戶模型仿真中，按對話框中Apply鍵，再按對話框中Close鍵，關閉對話框。（4）仿真開始和停止從Simulation菜單中選取Start命令，仿真立即開始運行，這時Start變為Stop。若要

15、停止仿真，從Simulation菜單中選擇Stop，仿真運行立即停止。若要使仿真運行暫停，可從Simulation菜單中選擇Pause，這時Pause變為Continue。若要使仿真繼續運行，選擇Continue。 3.7 仿真結果輸出利用Scope模塊在仿真期間，Scope模塊還具有放大、縮小功能以便更清晰顯示感興趣的區域，Scope模塊還可將數據存儲在丁作空間（Workspace）內。3.8 龍格-庫塔法簡介及步長的選擇龍格-庫塔(Runge-Kutta)方法是一種在工程上應用廣泛的高精度單步算法。由于此算法精度高，采取措施對誤差進行抑制，所以其實現原理也較復雜。該算法是構建在數學支持的基

16、礎之上的。龍格庫塔方法的理論基礎來源于泰勒公式和使用斜率近似表達微分，它在積分區間多預計算出幾個點的斜率，然后進行加權平均，用做下一點的依據，從而構造出了精度更高的數值積分計算方法。如果預先求兩個點的斜率就是二階龍格庫塔法，如果預先取四個點就是四階龍格庫塔法。一階常微分方程可以寫作：y'=f(x,y),使用差分概念。(Yn+1-Yn)/h= f(Xn,Yn)推出（近似等于，極限為Yn'）Yn+1=Yn+h*f(Xn,Yn)另外根據微分中值定理，存在0<t<1,使得Yn+1=Yn+h*f(Xn+th,Y(Xn+th)這里Kf(Xn+th,Y(Xn+th)稱為平均斜率，

17、龍格庫塔方法就是求得K的一種算法。利用這樣的原理，經過復雜的數學推導（過于繁瑣省略），可以得出截斷誤差為O(h5)的四階龍格庫塔公式：K1f(Xn,Yn);K2=f(Xn+h/2,Yn+(h/2)*K1);K3=f(Xn+h/2,Yn+(h/2)*K2);K4=f(Xn+h,Yn+h*K3);Yn+1=Yn+h*(K1+2K2+2K3+K4)*(1/6);所以，為了更好更準確地把握時間關系，應自己在理解龍格庫塔原理的基礎上，編寫定步長的龍格庫塔函數，經過學習其原理，已經完成了一維的龍格庫塔函數。仔細思考之后，發現其實如果是需要解多個微分方程組，可以想象成多個微分方程并行進行求解，時間，步長都是共同的，首先把預定的初始值給每個微分方程的第一步，然后每走一步，對多個微分方程共同求解。想通之后發現，整個過程其實很直觀，只是不停的逼近計算罷了。編寫的定步長的龍格庫塔計算函數：4階龍格-庫塔方法(RK4)可模擬N=4的泰勒方法的精度。這種算法可以描述為