1、1第四章第四章 平面問題的有限元法平面問題的有限元法u平面問題的基本概念與基本方程平面問題的基本概念與基本方程u平面問題有限元位移插值函數平面問題有限元位移插值函數 u單元剛度矩陣單元剛度矩陣u約束處理約束處理 u載荷處理載荷處理u平衡的普適表達方法平衡的普適表達方法虛功原理虛功原理2平面問題基本概念與基本方程平面問題基本概念與基本方程 平面問題的分類：平面問題的分類：平面應力平面應力問題和問題和平面應變平面應變問題。問題。 1、平面應力問題、平面應力問題 一個例子：薄板平行板中面一個例子：薄板平行板中面 均勻承受載荷均勻承受載荷 特點：特點：只有與板中面平行的只有與板中面平行的 應力分量應力

2、分量 2、平面應變問題、平面應變問題 一個例子：長柱狀體，端面受剛性約束，沿柱體長度一個例子：長柱狀體，端面受剛性約束，沿柱體長度方向承載方式和支撐條件不變化。方向承載方式和支撐條件不變化。 特點：特點：只有與柱體截面平行的應變分量只有與柱體截面平行的應變分量3平面問題基本概念與基本方程平面問題基本概念與基本方程 彈性力學的基本假定：彈性力學的基本假定：1）均勻連續、各向同性均勻連續、各向同性物體各處連續，且性質不隨空間物體各處連續，且性質不隨空間位置以及取向改變；位置以及取向改變；2）小變形、線彈性小變形、線彈性位移、變形均為小量，應力位移、變形均為小量，應力應變關應變關系符合虎克定律，且各

3、量均可疊加；系符合虎克定律，且各量均可疊加；3）處處平衡處處平衡物體整體或任意部分均處于平衡狀態。物體整體或任意部分均處于平衡狀態。4平面問題基本概念與基本方程平面問題基本概念與基本方程vudxdyA AB BC CD Ddxxuudxxvvdyyuudyyvv ABCDDBx xy y0 0圖 1-5()xuudxuuxdxx()yvvdyvvydyyxyvuxy平面問題的位移平面問題的位移應變關系應變關系 幾何幾何 方程方程5平面問題基本概念與基本方程平面問題基本概念與基本方程GEExyxyxyyyxx/)(1)(1 22()1()12(1)xxyyxyxyxyEEE平面應力問題的應力平面

4、應力問題的應力應變關系應變關系 物理方程物理方程0zyxzE且有：且有： 6平面應力物理方程以矩陣形式可表示為：平面應力物理方程以矩陣形式可表示為：xyyxxyyxE 21001112稱對7微元體平衡關系微元體平衡關系平衡方程平衡方程 平面問題基本概念與基本方程平面問題基本概念與基本方程00YxyXyxxyyyxxxyyydyyyxyxdyyxxyxxdxxxyxydxxyyx8普適平衡表達方法普適平衡表達方法虛功原理虛功原理虛功原理的兩種證明方法：虛功原理的兩種證明方法： 1、以梁為例的直觀證明、以梁為例的直觀證明 用兩種方式計算全部內力和外力所做的總虛功用兩種方式計算全部內力和外力所做的總

5、虛功 (a)截面兩側內力（互為作用與反作用力）成組截面兩側內力（互為作用與反作用力）成組考慮；考慮；因截面兩側內力做功之和為零，因截面兩側內力做功之和為零，總虛功等總虛功等于于外力在虛位移上所做的功（稱為外力在虛位移上所做的功（稱為外力虛功外力虛功）；）； (b)單元力系（為平衡力系）成組考慮；單元力系（為平衡力系）成組考慮；因平衡因平衡力系在剛體位移上做功之和為零，力系在剛體位移上做功之和為零，總虛功等于總虛功等于內內力在虛變形上所做的功（稱為力在虛變形上所做的功（稱為內力虛功內力虛功）。）。 因此有，因此有，外力虛功等于內力虛功外力虛功等于內力虛功。9普適平衡表達方法普適平衡表達方法虛功原

6、理虛功原理 2、從平衡方程和力邊界條件出發證明、從平衡方程和力邊界條件出發證明 (a)對于域內處處成立的對于域內處處成立的平衡方程平衡方程和給定外和給定外力邊界上處處成立的力邊界上處處成立的力邊界條件力邊界條件，分別配置，分別配置任任意意給定的給定的虛位移虛位移，并在域內和邊界上積分，給，并在域內和邊界上積分，給出出積分形式積分形式的的等效平衡方程和力邊界條件；等效平衡方程和力邊界條件； (b)利用利用Green公式公式對積分進行對積分進行域內域內和封閉和封閉邊界邊界之間的之間的變換；變換；進一步利用進一步利用幾何方程，幾何方程，并假并假定定全部邊界為給定力邊界全部邊界為給定力邊界，可以建立，

7、可以建立與平衡方與平衡方程和力邊界條件等效的虛功原理。程和力邊界條件等效的虛功原理。10普適平衡表達方法普適平衡表達方法虛功原理虛功原理Green公式公式（二維情況）（二維情況）dsQnPnQdxPdydxdyyQxPyx式中式中xnyn和和分別為邊界外法線在分別為邊界外法線在x軸和軸和y軸的分量。軸的分量。dsndxdsndyyx11普適平衡表達方法普適平衡表達方法虛功原理虛功原理上式是上式是與平衡方程和力邊界條件等價與平衡方程和力邊界條件等價的的積分形式（積分形式（用反證法證明之用反證法證明之） 如如物體內部和邊界上處處平衡物體內部和邊界上處處平衡，則對于，則對于任意給任意給定的虛位移定的

8、虛位移，均有，均有0dsvnnpunnpdxdyvYyxuXyxyyxyxyyxyxxxyyxxyx12普適平衡表達方法普適平衡表達方法虛功原理虛功原理由由Green公式對積分進行變換公式對積分進行變換后后再再利用幾何方程利用幾何方程有有dxdydsvpupdxdyYvXuyyxyxyxxyx此即虛功原理的數學表述（此即虛功原理的數學表述（外力虛功等于內力虛功外力虛功等于內力虛功）13平面問題有限元位移插值函數平面問題有限元位移插值函數 結構離散、單元和節點 對于連續體問題，它不像桿（梁）系結構有自然的節點將結構直觀地離散為單元。必須人為地用假想的線或面將連續體分割成有限個部分，每一部分稱為單

9、元單元。各單元用有限個節點節點連接。 14有限元位移插值的收斂準則有限元位移插值的收斂準則 當位移函數滿足下列準則時，解一定是收斂的，當位移函數滿足下列準則時，解一定是收斂的，即隨著單元尺寸的縮小，解答趨于精確解。即隨著單元尺寸的縮小，解答趨于精確解。平面問題有限元位移插值函數平面問題有限元位移插值函數l單元的位移函數能反映單元的剛體位移。單元的位移函數能反映單元的剛體位移。l單元的位移函數能反映單元的常應變。單元的位移函數能反映單元的常應變。l單元的位移函數在單元內部連續，在單元邊單元的位移函數在單元內部連續，在單元邊界上協調界上協調(單元之間位移一致單元之間位移一致)前兩個條件是前兩個條件

10、是必要條件必要條件，第三個條件是，第三個條件是充分條件充分條件。15平面問題有限元位移插值函數平面問題有限元位移插值函數單元位移插值函數一般可以用多項式表示單元位移插值函數一般可以用多項式表示:.26524321yaxyaxayaxaau.26524321ybxybxbybxbbv16三結點三角形單元自由度數結點位移數 TTijkiijjkkuvuvuv平面三角形單元及其位移插值函數平面三角形單元及其位移插值函數 1、三節點三角形單元三節點三角形單元172、位移插值函數位移插值函數平面三角形單元及其位移插值函數平面三角形單元及其位移插值函數 23561 (43)4yuxyvx用三個結點的6個位

11、移來表示個待定系數 iyxuyxuyxukkkjjjiii321321321yxuyxuyxukkkjjjiiiA211yuyuyukkjjiiA111122uxuxuxkkjjii111318yxyxyxAkkjjii11121其中：為三角形面積 注意：為保證，在右手系中，編號按逆時針逆時針方向同理可以推導出其他三個系數平面三角形單元及其位移插值函數平面三角形單元及其位移插值函數 19kjiiiiikkkkjjjjiiiiuycxbaAuycxbauycxbauycxbaAu,)(21)()()(21將系數帶入式（4-3）得單元任一點位移u，v的表達式 ：平面三角形單元及其位移插值函數平面三

12、角形單元及其位移插值函數 vycxbavycxbavycxbaAvkkkkjjjjiiii21vycxbaAiiiikji,21xxcyybyxyxaxxcyybyxyxaxxcyybyxyxaijkjikijjikkijikjkiikjjkikjijkkji其中：（4-4）20平面三角形單元及其位移插值函數平面三角形單元及其位移插值函數 ycxbaANycxbaANycxbaANkkkkjjjjiiii212121令令： （4-5）稱為稱為形函數形函數，式，式(4-4)可進一步表示為可進一步表示為：kjikjivNvNvNvNvuNuNuNuNuiikkjjiiiikkijii,（4-6）2

13、1vuvuvuNNNNNNvukkjjiikjikji000000將式(4-6)寫為矩陣形式為： Nvu即：（4-7）（4-8）結點位移列向量 形函數矩陣 vuvuvukkjjiiT kjiNINININ 平面三角形單元及其位移插值函數平面三角形單元及其位移插值函數 224、位移插值函數的收斂性位移插值函數的收斂性平面三角形單元及其位移插值函數平面三角形單元及其位移插值函數 位移插值函數須保證有限元解答的收斂性，即隨網位移插值函數須保證有限元解答的收斂性，即隨網格加密，有限元解答收斂于問題的精確解。格加密，有限元解答收斂于問題的精確解。三角形單元的線性位移函數滿足收斂準則：三角形單元的線性位移

14、函數滿足收斂準則：(a)設單元產生剛體位移：)z(,000軸的轉動，逆時針為正繞 vu則單元內任意一點(x，y)的位移為：xvyxvyuyxu0000),(),( 與位移函數進行比較，顯然03504012 ，vu所以位移函數能反映單元的剛體位移。所以位移函數能反映單元的剛體位移。23平面三角形單元及其位移插值函數平面三角形單元及其位移插值函數 (b)將位移函數帶入幾何方程，可得：5362 xvyuyvxuxyyx故單元插值函數具有常應變特性故單元插值函數具有常應變特性，滿足收斂的第二個準則。(c)線性位移函數有一個特性：單元中的一條直線在位移后仍然是一條直線。因此可以得出結論：位移函數能保持相

15、鄰位移函數能保持相鄰單元之間位移的連續性，滿足第三個收斂準則。單元之間位移的連續性，滿足第三個收斂準則。24kkkkjjjjiiiikkjjiikkjjiixykkjjiiykkjjiixvbucvbucvbucAvbvbvbucucucAxvyuvcvcvcAyvubububAxu21212121把位移插值函數把位移插值函數(4-6) 代入幾何方程有代入幾何方程有：平面三角形單元的單元應變矩陣平面三角形單元的單元應變矩陣25寫成矩陣的形式：（單元上任一點的應變）平面三角形單元的單元應變矩陣平面三角形單元的單元應變矩陣 kkjjiikkjjiikjikjixyyxvuvuvubcbcbcccc

16、bbbA00000021 （4-9） eB 或：（4-10）單元內任一點應變 應變矩陣 單元結點位移 26平面三角形單元的單元應變矩陣平面三角形單元的單元應變矩陣 kkjjiikjikjibcbcbccccbbbAB00000021（4-11）矩陣為常數矩陣常數矩陣，單元為常應變單元常應變單元。（相鄰單元的應變突變問題）27平面三角形單元的單元應力矩陣平面三角形單元的單元應力矩陣再由物理方程知再由物理方程知： D（4-2） BDD B把（4-10） 代入得到：令： BDS 則有： S（4-12） 這里，這里，D是是33矩陣，矩陣，B是是36矩陣，因此矩陣，因此S也也是是36矩陣。矩陣。28平面

17、三角形單元的單元剛度矩陣平面三角形單元的單元剛度矩陣用虛功原理來推導三結點三角形單元的單剛用虛功原理來推導三結點三角形單元的單剛。 三角形單元的結點位三角形單元的結點位移移 TTijkiijjkkuvuvuv29平面三角形單元的單元剛度矩陣平面三角形單元的單元剛度矩陣虛功原理的文字表述：虛功原理的文字表述：虛功原理的數學表述（虛功原理的數學表述（應用于一個單元應用于一個單元）： dFTT虛功方程虛功方程 處于平衡狀態的變形體發生虛位移后，全體外力處于平衡狀態的變形體發生虛位移后，全體外力在對應虛位移上所做的外力虛功等于內力在對應的虛在對應虛位移上所做的外力虛功等于內力在對應的虛應變上所做的內力

18、虛功。應變上所做的內力虛功。30平面三角形單元的單元剛度矩陣平面三角形單元的單元剛度矩陣三角形單元的節點位移和節點力為：三角形單元的節點位移和節點力為： Tkkjjiikjievuvuvu）（）（e節點位移：節點位移： 節點力：節點力： TykxkyjxjyixikjieFFFFFFFFFF）（）（e給定一個虛位移：給定一個虛位移： Tkkjjiikjievuvuvu）（）（e31產生虛應變：產生虛應變： ）（）（exyyxe單元的單元的外力虛功外力虛功為為： ）（）（eekykkxkjyjjxjiyiixiFvFuFvFuFvFuFT單元的單元的內力虛功內力虛功為：為： tdxdytdxdy

19、eTeAxyxyyyxxA）（）（由虛功原理知：由虛功原理知： tdxdyFeTeAeTe)(）（）（）（平面三角形單元的單元剛度矩陣平面三角形單元的單元剛度矩陣32把等式右側的應力和虛應變換成位移和虛位移表示：把等式右側的應力和虛應變換成位移和虛位移表示： 三角形單元的剛度矩陣（單剛）三角形單元的剛度矩陣（單剛） D B ）（）（eeBD ）（）（eeB代入虛功方程右側：代入虛功方程右側： tdxdyBDBtdxdyBDBtdxdyeTTeAeTeAeTeA）（）（）（）（）（）（ Te）（ ）（e及及 都與都與x，y 無關無關 ，所以，所以 ）（）（）（）（eTATeeTetdxdyBDB

20、F33三角形單元的剛度矩陣三角形單元的剛度矩陣 ）（）（eTAetdxdyBDBF tdxdyBDBkTAe）（令令： ）（）（）（eeekF則則： （4-14）（4-15）式（式（4-144-14）為單元剛度矩陣，式（）為單元剛度矩陣，式（4-154-15）為單元）為單元剛度方程。剛度方程。 故有故有 因因 0e34各節點力的平衡各節點力的平衡總體剛度矩陣的形成總體剛度矩陣的形成 通過單元分析，已經將單元的通過單元分析，已經將單元的節點力表示為節點力表示為節點位移的線性關系節點位移的線性關系（單元剛度方程）。（單元剛度方程）。 對于每一個節點，對于每一個節點，建立與該節點相關聯的所建立與該節

21、點相關聯的所有單元節點力與節點載荷之間的平衡關系有單元節點力與節點載荷之間的平衡關系，得，得到一個以節點位移作為未知量的線性方程組，到一個以節點位移作為未知量的線性方程組，該方程組的系數矩陣即為總體剛度矩陣。該方程組的系數矩陣即為總體剛度矩陣。 由于上述由于上述節點位移還包含有剛體位移節點位移還包含有剛體位移，總體，總體剛度矩陣為奇異矩陣，剛度矩陣為奇異矩陣，須引入適當約束才能求須引入適當約束才能求解。解。35約束處理約束處理 約束處理的重大意義：約束處理的重大意義： (a)只有引入適當的位移約束條件只有引入適當的位移約束條件，消除剛體位，消除剛體位移，移，才能使問題可解；才能使問題可解； (

22、b)不同的約束條件對應著不同的問題不同的約束條件對應著不同的問題，約束條，約束條件對問題的解答有著重大的影響（舉例）；件對問題的解答有著重大的影響（舉例）； (c)依據求解問題的具體情況，依據求解問題的具體情況，約束條件必須由約束條件必須由計算者輸入計算者輸入。 約束處理是約束處理是有限元分析時有限元分析時必要而關鍵的環節必要而關鍵的環節。36約束處理約束處理 約束處理的一些技巧：約束處理的一些技巧： (a)對于剛體位移的約束，約束施加位置應對于剛體位移的約束，約束施加位置應避免集中避免集中（舉例；說明原因（舉例；說明原因計算誤差，計算誤差，非平非平衡衡殘差影響）；殘差影響）； (b)盡量利用

23、問題具有的對稱性引入約束盡量利用問題具有的對稱性引入約束，不僅可使約束具有分布性，減小非平衡殘差影不僅可使約束具有分布性，減小非平衡殘差影響，還可顯著減少計算量；響，還可顯著減少計算量； (c)為使約束情況符合實際，有時需要引入為使約束情況符合實際，有時需要引入彈性約束彈性約束（舉例：彈簧支撐梁，轉向架構架）（舉例：彈簧支撐梁，轉向架構架）37載荷處理載荷處理 載荷處理的意義與技巧：載荷處理的意義與技巧： (a)不同的承載狀況對應不同的問題不同的承載狀況對應不同的問題； (b)載荷基本狀況需要計算者輸入載荷基本狀況需要計算者輸入（由計算（由計算機作進一步處理）；機作進一步處理）； (c)有時需

24、要引入附加結構有時需要引入附加結構來實現載荷的傳來實現載荷的傳遞（舉例：如構架上懸掛電機，彈性元件的模遞（舉例：如構架上懸掛電機，彈性元件的模擬等）。擬等）。38例例 如圖如圖1-17a所示兩端固支的矩形板，承受均布壓力。所示兩端固支的矩形板，承受均布壓力。試給出有限元分析步驟。試給出有限元分析步驟。 a2aq圖圖1-17(a)2、利用對稱性引入、利用對稱性引入約束；約束；3、載荷處理。、載荷處理。 解解1、劃分單元；、劃分單元；1243391234xyaaqa/2(b)圖圖1-17aa12347856(c)40有限元計算小結有限元計算小結41作業作業作業作業1：利用：利用虛功原理虛功原理推導

25、平面應力單元的推導平面應力單元的 單元剛度矩陣單元剛度矩陣（給出以矩陣表示的（給出以矩陣表示的 一般形式即可，無須具體到特定單一般形式即可，無須具體到特定單 元）。元）。作業作業2：分別給出：分別給出對稱對稱平面應力問題和平面應力問題和反對稱反對稱 平面應力問題平面應力問題在對稱面上的位移約束在對稱面上的位移約束。作業作業3：自己總結一下平面應力問題有限元求解：自己總結一下平面應力問題有限元求解 的的完整過程完整過程，著重說明每一步驟實現的著重說明每一步驟實現的 目標目標。42平面問題較精密單元的分析矩形單元平面問題較精密單元的分析矩形單元 問題的提出問題的提出 在三角形單元中，我們假定位移函數是線性的。在三角形單元中，我們假定位移函數是線性的。這是最簡單，最基本的一個有限單