1、高三數(shù)學(xué)解析幾何復(fù)習(xí)：直線與圓錐曲線人教實(shí)驗(yàn)版（B）【本講教育信息】一. 教學(xué)內(nèi)容：解析幾何復(fù)習(xí)：直線與圓錐曲線二. 教學(xué)目的1、了解直線和圓錐曲線的位置關(guān)系；2、掌握解決直線和圓錐曲線的各種位置關(guān)系及相關(guān)問題的方法與技巧。三. 教學(xué)重點(diǎn)、難點(diǎn) 本講的重點(diǎn)是直線與橢圓的位置關(guān)系，直線與雙曲線的位置關(guān)系，直線與拋物線的位置關(guān)系，數(shù)形結(jié)合、分類討論、方程思想方法的應(yīng)用 本講的難點(diǎn)是弦長(zhǎng)問題及中點(diǎn)弦問題四. 知識(shí)分析【知識(shí)梳理】1、直線和圓錐曲線的位置關(guān)系（1）從幾何角度看，可分為三類：相離、相切及相交，具體如下：直線與圓錐曲線的相離關(guān)系，常通過求二次曲線上的點(diǎn)到已知直線的距離的最大值或最小值來(lái)解決

2、直線與圓錐曲線僅有一個(gè)公共點(diǎn)，對(duì)于圓或橢圓，表示直線與其相切；對(duì)于雙曲線，表示直線與其相切或直線與雙曲線的漸近線平行；對(duì)于拋物線，表示直線與其相切或直線與其對(duì)稱軸平行直線與圓錐曲線有兩個(gè)相異的公共點(diǎn)，表示直線與圓錐曲線相交，此時(shí)直線被圓錐曲線截得的線段稱為圓錐曲線的弦（2）從代數(shù)角度看，可通過將表示直線的方程，代入二次曲線的方程消元后所得一元二次方程解的情況來(lái)判斷直線l的方程為（A、B不同時(shí)為零）圓錐曲線方程由，消元（或），如消去后得若，當(dāng)圓錐曲線是雙曲線時(shí)，直線l與雙曲線的漸近線平行或重合；當(dāng)圓錐曲線是拋物線時(shí)，直線l與拋物線的對(duì)稱軸平行（或重合）若，設(shè) （i）時(shí)，直線和圓錐曲線相交于不同的

3、兩點(diǎn)；（ii）時(shí)，直線和圓錐曲線相切于一點(diǎn)；（iii）時(shí)，直線和圓錐曲線沒有公共點(diǎn) 直線與圓錐曲線的位置關(guān)系重點(diǎn)是相交于不同的兩點(diǎn)：相交不同兩點(diǎn)聯(lián)立方程組有兩組不等的實(shí)數(shù)解二次方程有兩個(gè)不等實(shí)數(shù)解判別式大于零2、直線和圓錐曲線相交形成的弦長(zhǎng)問題（1）斜率為k的直線與圓錐曲線交于兩點(diǎn)，則所得弦長(zhǎng)或，其中求與時(shí)通常使用韋達(dá)定理，即作如下變形（2）當(dāng)斜率k不存在時(shí)，可求出交點(diǎn)坐標(biāo)，直接運(yùn)算（利用軸上兩點(diǎn)間距離公式）（3）經(jīng)過圓錐曲線的焦點(diǎn)的弦（也稱焦點(diǎn)弦）的長(zhǎng)度應(yīng)用圓錐曲線的定義，轉(zhuǎn)化為兩個(gè)焦半徑之和，往往比用弦長(zhǎng)公式簡(jiǎn)捷（4）在給定的圓錐曲線中，求中點(diǎn)為（m，n）的弦AB所在直線方程時(shí)，一般可設(shè)利

4、用A，B在曲線上，得及，故可求出斜率，最后由點(diǎn)斜式寫出直線AB的方程【要點(diǎn)解析】1、涉及到直線被圓錐曲線截得的弦的中點(diǎn)問題時(shí)，常用一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系（韋達(dá)定理），這樣可直接得到兩交點(diǎn)的坐標(biāo)之和，也可用平方差法找到兩交點(diǎn)坐標(biāo)之和，直接與中點(diǎn)建立聯(lián)系2、有關(guān)曲線關(guān)于直線對(duì)稱的問題，只需注意兩點(diǎn)關(guān)于一條直線對(duì)稱的條件：（1）兩點(diǎn)連線與該直線垂直（兩直線都有斜率時(shí)，斜率互為負(fù)倒數(shù)）；（2）中點(diǎn)在此直線上（中點(diǎn)坐標(biāo)適合對(duì)稱軸方程）3、直線與圓錐曲線的位置關(guān)系，由于集中交匯了高中解析幾何中直線、圓錐曲線兩部分的知識(shí)內(nèi)容，還涉及函數(shù)、方程、不等式、三角函數(shù)、平面幾何等許多知識(shí)，形成了軌跡、最值、對(duì)稱

5、、范圍、參系數(shù)等多種問題，因而成為解析幾何中綜合性最強(qiáng)，能力要求最高的內(nèi)容，也成為高考的重點(diǎn)和熱點(diǎn)【典型例題】 例1. （直線與圓錐曲線的位置關(guān)系）已知中心在坐標(biāo)原點(diǎn)的雙曲線C的右焦點(diǎn)為（2，0），右頂點(diǎn)為（）。（1）求雙曲線C的方程；（2）若直線與雙曲線C恒有兩個(gè)不同的交點(diǎn)A和B，且（其中O為原點(diǎn)），求k的取值范圍。解析：（1）設(shè)雙曲線方程為，由已知得。故所求雙曲線方程為。（2）將代入，可得，由直線l與雙曲線交于不同的兩點(diǎn)A，B得，故設(shè)，則，由，而，于是解此不等式得由得。點(diǎn)評(píng)：在討論直線和圓錐曲線的位置關(guān)系時(shí)，先聯(lián)立方程組，再消去或，得到關(guān)于或的方程，如果是直線與圓或橢圓，則所得方程一定為一

6、元二次方程；如果是直線與雙曲線或拋物線，則需討論二次項(xiàng)系數(shù)等于零和不等于零兩種情況，只有二次方程才有判別式，另外還應(yīng)注意斜率不存在的情形。例2. （弦長(zhǎng)問題） 橢圓相交于A、B，C是AB的中點(diǎn)，若，OC的斜率為，求橢圓的方程。解法1：設(shè)，代入橢圓方程并作差得而，代入上式可得。再由，其中是方程的兩根，故將代入得，所求橢圓的方程是。解法2：由得設(shè)，則設(shè)，則的斜率為。代入，得。橢圓方程為。點(diǎn)評(píng)：解法一利用了設(shè)點(diǎn)、代入、作差，借助斜率的解題方法，稱作“平方差法”，是解析幾何解決直線與圓錐曲線位置關(guān)系的常用技巧，應(yīng)在理解的基礎(chǔ)上進(jìn)行記憶。解法二是圓錐曲線弦長(zhǎng)的基本求法，是利用兩點(diǎn)間的距離公式求得的，再者

7、就是結(jié)合弦所在直線的斜率k，利用弦長(zhǎng)與韋達(dá)定理結(jié)合較簡(jiǎn)單，如果是焦點(diǎn)弦，可結(jié)合圓錐曲線的定義求解。 例3. （對(duì)稱問題）已知橢圓，試確定m的取值范圍，使得橢圓E上存在兩個(gè)不同的點(diǎn)關(guān)于直線對(duì)稱。解法1：設(shè)是橢圓E上關(guān)于直線l：對(duì)稱的兩個(gè)點(diǎn)，則由得，聯(lián)立解得：代入得：所以解法2：設(shè)是橢圓E上關(guān)于l對(duì)稱的兩點(diǎn)，則直線AB：與橢圓方程聯(lián)立，消去x得此方程有兩實(shí)根，解之，得（*）由韋達(dá)定理，得，弦AB中點(diǎn)的縱坐標(biāo)是。又弦AB的中點(diǎn)是直線的公共點(diǎn)，解方程組得弦AB中點(diǎn)，即，代入（*）式，得，。點(diǎn)評(píng)：本題主要考查橢圓及對(duì)稱的有關(guān)知識(shí)，同時(shí)考查數(shù)形結(jié)合的思想、方程的思想，運(yùn)算能力、綜合分析問題的能力。（1）本

8、題的關(guān)鍵是對(duì)稱條件的轉(zhuǎn)化，解法一是利用橢圓上的點(diǎn)A（），B關(guān)于直線l對(duì)稱，則滿足直線l與AB垂直，且線段AB中點(diǎn)坐標(biāo)滿足l方程；解法二是利用直線l與斜率為的動(dòng)弦中點(diǎn)軌跡有公共點(diǎn)進(jìn)行轉(zhuǎn)化的。（2）對(duì)于圓錐曲線上存在兩點(diǎn)關(guān)于某一直線對(duì)稱，求有關(guān)參數(shù)的范圍問題，可用參數(shù)表示弦中點(diǎn)的坐標(biāo)，利用中點(diǎn)在曲線內(nèi)部的條件建立不等式求參數(shù)的范圍；或者利用對(duì)稱條件求出過這兩點(diǎn)的直線方程，利用判別式大于零建立不等式求解。（3）有些問題雖然沒有直接以中點(diǎn)弦命題，但題設(shè)條件中有諸如：垂直平分某線段、某三角形為等腰直角三角形、兩點(diǎn)關(guān)于某直線對(duì)稱等條件，一般都可以轉(zhuǎn)化為中點(diǎn)弦的問題，在解題時(shí)只需抓住垂直、平分、判別式大于零

9、三個(gè)方面即可。 例4. （最值問題）設(shè)點(diǎn)是橢圓的左焦點(diǎn)，弦AB過橢圓的右焦點(diǎn)，求的面積的最大值。解析：如圖。設(shè)（）設(shè)直線AB的方程為，代入橢圓方程，得令，。，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立。而因?yàn)椋缘淖钚≈颠_(dá)不到。考查上的單調(diào)性。利用單調(diào)性定義可以證明：上單調(diào)遞增。因此，的最小值為。從而的最大值為，此時(shí)，即。的面積的最大值為，此時(shí)直線的方程為。點(diǎn)評(píng)：此題是一道綜合性較強(qiáng)的題目：首先在于直線AB方程的設(shè)法上，我們把它設(shè)為，此時(shí)當(dāng)軸時(shí)，即可。按照通常的點(diǎn)斜式，那么需討論軸的情形。從運(yùn)算結(jié)果看，把AB方程設(shè)為，運(yùn)算量大大減小。其次得到關(guān)于m的目標(biāo)函數(shù)后，如何求其最大值是關(guān)鍵，也是一個(gè)難點(diǎn)。因此在運(yùn)用基本不

10、等式求最值時(shí)，必須檢查等號(hào)能否成立。本題是一道較特殊的題，由于的周長(zhǎng)為定值，由平面幾何知識(shí)知道的面積最大，當(dāng)且僅當(dāng)它為等邊三角形。我們考慮軸時(shí)，。因此，恰為等邊三角形，故的最大值為。本題如果軸時(shí)，不是等邊三角形，那么就不能認(rèn)定最大值為，而要具體求解。圓錐曲線中最值的求法有兩種：（1）幾何法：若題目的條件和結(jié)論能明顯體現(xiàn)幾何特征及意義，則考慮利用圖形性質(zhì)來(lái)解決，這就是幾何法。（2）代數(shù)法：若題目的條件和結(jié)論能體現(xiàn)一種明確的函數(shù)，則可首先建立起目標(biāo)函數(shù)，再求這個(gè)函數(shù)的最值，求函數(shù)最值的常用方法有配方法、判別式法、重要不等式法及函數(shù)的單調(diào)性法等。 例5. 已知方向向量為的直線l過點(diǎn)（）和橢圓的焦點(diǎn)，

11、且橢圓C的中心關(guān)于直線l的對(duì)稱點(diǎn)在橢圓C的右準(zhǔn)線上。（1）求橢圓C的方程；（2）是否存在過點(diǎn)E（-2，0）的直線m交橢圓C于點(diǎn)M，N，滿足（O為原點(diǎn)）。若存在，求直線m的方程；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由。解析：（1）解法一：直線l：，過原點(diǎn)垂直l的直線方程為，解得。因?yàn)闄E圓中心O（0，0）關(guān)于直線l的對(duì)稱點(diǎn)在橢圓C的右準(zhǔn)線上，所以。又直線l過橢圓焦點(diǎn)，于是該焦點(diǎn)坐標(biāo)為（2，0），。故橢圓C的方程為。解法二：直線l：設(shè)原點(diǎn)關(guān)于直線l的對(duì)稱點(diǎn)為（），則解得。橢圓中心O（0，0）關(guān)于直線l的對(duì)稱點(diǎn)在橢圓C的右準(zhǔn)線上，直線l過橢圓焦點(diǎn)，該焦點(diǎn)坐標(biāo)為（2，0）。故橢圓C的方程為。（2）解法一：設(shè)M。當(dāng)直線m不

12、垂直x軸時(shí)，直線m：代入，整理得，則點(diǎn)O到直線MN的距離。，即，整理得當(dāng)直線m垂直x軸時(shí)，也滿足。故直線m的方程為。經(jīng)檢驗(yàn)上述直線均滿足所以所求直線方程為。解法二：設(shè)當(dāng)直線m不垂直x軸時(shí)，直線m：代入，整理得是橢圓C的左焦點(diǎn)，以下與解法一相同。解法三：設(shè)M設(shè)直線m：，代入，整理得，即，整理得。解得或。故直線的方程為經(jīng)檢驗(yàn)上述直線均滿足所以所求直線方程為。【模擬試題】 1. 拋物線的弦AB垂直于x軸，若AB的長(zhǎng)為，則焦點(diǎn)到AB的距離為（ ）A. B. 2C. 3.D 4 2. 過雙曲線的左焦點(diǎn)F作直線l交雙曲線于A、B兩點(diǎn)，若|AB|=4，則這樣的直線l共有（ ）A. 1條B. 2條C. 3條D

13、. 4條 3. 若橢圓的弦被點(diǎn)（4，2）平分，則此弦所在直線的斜率為（ ）A. 2B. C. D. 4. 已知橢圓，則以（1，1）為中點(diǎn)的弦的長(zhǎng)度為（ ）A. B. C. D. 5. 直線的兩個(gè)交點(diǎn)在x軸上的射影恰為橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)，則橢圓的離心率e等于（ ）A. B. C. D. 6. 一個(gè)正三角形的兩個(gè)頂點(diǎn)在拋物線上，另一個(gè)頂點(diǎn)在原點(diǎn)，則此三角形的面積是_。 7. 橢圓與直線交于M、N兩點(diǎn)，原點(diǎn)與線段MN中點(diǎn)的連線的斜率為，則的值是_。 8. 設(shè)直線，直線經(jīng)過（2，1）點(diǎn)，拋物線，已知與C共有三個(gè)交點(diǎn)，那么滿足條件的直線共有_條。 9. 已知：拋物線，弦AB過焦點(diǎn)F，設(shè)的面積為S，求證：為定

14、值。 10. （2004全國(guó)III）設(shè)橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)是，且橢圓上存在點(diǎn)P，使得直線與直線垂直。（1）求實(shí)數(shù)m的取值范圍；（2）設(shè)l是相應(yīng)于焦點(diǎn)的準(zhǔn)線，直線與l相交于點(diǎn)Q，若，求直線的方程。 11. （2005全國(guó)III）設(shè)、B兩點(diǎn)在拋物線上，l是AB的垂直平分線。（1）當(dāng)且僅當(dāng)取何值時(shí)，直線l經(jīng)過拋物線的焦點(diǎn)F。證明你的結(jié)論；（2）當(dāng)時(shí)，求直線l的方程。【試題答案】 1. B把中，得。則AB的直線方程為。又焦點(diǎn)到AB的距離為2，故選B。 2. C如圖過F與雙曲線兩支均相交的最短弦長(zhǎng)恰為兩頂點(diǎn)間的距離即為2，而。由對(duì)稱性知，過F與雙曲線兩支均相交且弦長(zhǎng)為4的直線有2條，又當(dāng)軸時(shí)，易知|AB|=4

15、，由直覺知，過F與雙曲線左支相交于兩點(diǎn)的最短弦長(zhǎng)恰為軸時(shí)的情形，因此符合條件的直線l共有3條。故選C。 3. D設(shè)弦端點(diǎn)A、，故選D。 4. C依題意設(shè)弦端點(diǎn)，則，此弦直線方程，即，整理得，故選C。 5. B依題意，點(diǎn)在橢圓上，故得，即，整理得。故選B。 6. 答案：解析：由 7. 答案：解析：，消去y，得。的中點(diǎn)為。依題意 8. 答案：3條解析：由得，方程有兩解，故直線必與拋物線C有兩個(gè)交點(diǎn)，從而與拋物線C只有一個(gè)交點(diǎn)。又點(diǎn)（2，1）在拋物線C的內(nèi)部，故可以平行于拋物線的對(duì)稱軸或過點(diǎn)（1，2）或過（0，0）共3條。 9. 證明：設(shè)弦AB所在直線的傾角為，當(dāng)時(shí)，其方程為。設(shè)，把代入拋物線方程，得，整理得。由韋達(dá)定理得，設(shè)原點(diǎn)O到邊AB上的高為h，則。，（定值）。10. 解析：（1）由題設(shè)有。設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為，由，