1、1其中 iiniiDfyxfI ),(limd),(10一、二重積分的概念與性質 是各小閉區域的直徑中的最大值.幾何意義二重積分I表示以D為底,柱體的體積.z =f (x, y)為曲頂, 側面是（一）二重積分的定義,幾何意義與物理意義定義1.平面上有界閉區域D上二元有界函數z = f (x, y)的二重積分2.當連續函數,0),(時時 yxfz以D的邊界為準線,母線平行于z軸的柱面的曲頂一般情形,知識要點 第1頁/共31頁2 Dyxf d),(物理意義3.xOy平面上方的曲頂柱體體積減xOy平面下方的曲頂柱體體積.若平面薄片占有平面內有界閉區域D,),(yx 則它的質量M為:它的面密度為連續函

2、數.d),( DyxM 第2頁/共31頁3性質1(線性運算性質)為常數, 則(重積分與定積分有類似的性質) Dyxgyxf d),(),( 、設設 DDyxgyxf d),(d),(性質2 將區域D分為兩個子域 Dyxf d),()(21DDD 對積分區域的可加性質. 1d),(Dyxf 2d),(Dyxf ,21DD（二）二重積分的性質第3頁/共31頁4以1為高的 性質3(幾何應用) 若 為D的面積 注 D d既可看成是以D為底,柱體體積. D d1 D d又可看成是D的面積. Dyxf d),(特殊地性質4(比較性質),(),(yxgyxf 設設,),(Dyx 則 Dyxg d),( Dy

3、xf d),( Dyxf d),( (保序性)第4頁/共31頁5 DMyxfm d),(幾何意義以m為高和以M為高的性質5(估值性質),),(Myxfm 設設為D的面積, 則,),( , 0),(Dyxyxf 設設則曲頂柱體的體積介于以D為底,兩個平頂柱體體積之間.第5頁/共31頁6性質6(二重積分中值定理),( Dyxf d),(體體積等于以D為底),( f以以幾何意義域D上連續,為D的面積, 則在D上至少存在一點使得 ),(f,),( , 0),(Dyxyxf 設設則曲頂柱 為高的平頂柱體體積.設f (x, y)在閉區第6頁/共31頁7(1)設f (x, y)在有界閉區域D上連續. Dyx

4、yxfdd),(若D關于,dd),(21yxyxfD 則x軸對稱, f (x, y)對y為奇函數, 即, 0,),(),(),(Dyxyxfyxf f (x, y)對y為偶函數, 即,),(),(),(Dyxyxfyxf 則 Dyxyxfdd),(其中;01 yDD（三）對稱區域上奇偶函數的積分性質第7頁/共31頁8(2)設f (x, y)在有界閉區域D上連續. Dyxyxfdd),(若D關于,dd),(21yxyxfD 則 y軸對稱, f (x, y)對x為奇函數, 即, 0,),(),(),(Dyxyxfyxf f (x, y)對x為偶函數, 即,),(),(),(Dyxyxfyxf 則

5、Dyxyxfdd),(其中;01 xDDD第8頁/共31頁9(3)設f (x, y)在有界閉區域D上連續.則則對稱對稱關于直線關于直線若閉區域若閉區域,xyD DDyxxyfyxyxf;dd),(dd),(2D1D(4)若將D分成兩部分,21DDD 則則的上方與下方部分的上方與下方部分在在分別為分別為,21xyDDD 21.dd),(dd),(DDyxxyfyxyxfxOyxy 第9頁/共31頁10),()(,),( 21xyxbxayxD 其中函數 、)(1x )(2x b)(2xy )(1xy aD在區間a, b上連續.二、在直角坐標系中化二重積分為xOy累次積分(1) 設f (x, y)

6、在平面有界閉區域D上連續. Dyxf d),( baxxyyxfx)()(21d),(d 先對y 后對x的二次積分第10頁/共31頁11),()(,),( 21yxydycyxD 其中函數 、)(1y )(2y 在區間c, d上連續.(2) 設f (x, y)在平面有界閉區域D上連續. Dyxf d),( dcyyxyxfy)()(21d),(d 先對x 后對y的二次積分.xOyD)(2yx cd)(1yx 第11頁/共31頁12 Dyxf d),( ddrr極坐標系中的面積元素 Drrrrf dd)sin,cos(三、在極坐標系中化二重積分為累次積分 )(1 r)(2 rOAD(1)設f (

7、x, y)在平面有界平面閉區域D上連續.)()(,),( 21 ryxD其中函數.,)()(21上連續上連續在區間在區間、 d )(2)(1;d)sin,cos( rrrrf第12頁/共31頁13D;d)sin,cos(d)(0 rrrrf Dyxf d),(AO )( r(2)設f (x, y)在平面有界平面閉區域D上連續.)(0 ,),( ryxD其中函數.,)(上連續上連續在區間在區間 第13頁/共31頁14 )(020d)sin,cos(d rrrrf極坐標系下區域的面積.dd Drr DoA)( r(3)設f (x, y)在平面有界平面閉區域D上連續.)(0 ,20),( ryxD

8、Dyxf d),(其中函數.,)(上連續上連續在區間在區間 第14頁/共31頁15再確定交換積分次1. 交換積分次序:先依給定的積分次序寫出積分域D的不等式, 并畫D的草圖;序后的積分限;2. 如被積函數為圓環域時,或積分域為),(22yxf ),(22yxf ),(xyf)(arctanxyf圓域、扇形域、則用極坐標計算; 解題技巧第15頁/共31頁16 3. 注意利用對稱性質,數中的絕對值符號.以便簡化計算;4. 被積函數中含有絕對值符號時, 應將積分域分割成幾個子域, 使被積函數在每個子域中保持同一符號, 以消除被積函第16頁/共31頁17.d1d13102yyxyxx 解例 計算積分x

9、Oy2xy 11交換積分次序. 原式 = xxyyydd13 00y1 1032d121yyy 10331)d(161yy).12(31 典型例題1.交換積分次序第17頁/共31頁18計算 222.d)232(2ayxyxx 解 積分域是圓,222ayx 故關于x、y軸、故將被積函數分項積分: 222d)32(ayxyx 0 而 222d2ayxx 222d2ayxy 222)d(2122ayxyx 極坐標 arr0320dd21 .44a 又 222d2ayx ,22a所以原式 =.2424aa 對稱,xy 例直線2.利用對稱性第18頁/共31頁19222cyx 0,)()()()(222

10、zcyxyxybxaz 曲面曲面. 0, 0, 0 cba且且證yxyxybxaVDdd)()()()( yxxyxbyayxybxaDDdd)()()()()()()()(21 Dyxbadd)(21xy xyO所圍立體的體積等于),(212bac )(u 其中其中是連續的正值函數,所求立體在xOy面上的投影區域為.:222cyxD 有:).(212bac 例 證明:第19頁/共31頁20 cos2 .2:,dd)(22xyxDyxyxD 其中其中計算二重積分計算二重積分解 原式 = rrrdcosd2cos020 .用極坐標.xOyrr ddcos22cos2020 20cos203d)(

11、cos32 r 203dcoscos316 204dcos316 22143316對稱性積分區域關于x軸對稱2例 3.坐標系的選擇第20頁/共31頁21若函數 f (x, y)在矩形區域D:解, 1),(d)d,(2 yxfyxyxfxyD10 , 10 yx上連續, 且求 f (x, y) .設 DyxyxfId)d,(I1),(2 yxfxyI兩邊積分, 得 DDyxyxyxfdddd),( 11I1 I1dd10102 IyyxxI DyxxyIdd21412 II2 I.41),(xyyxf xOy11ID例 第21頁/共31頁2211計算二重積分D2 d)1(221yxD d)1(2

12、22 yxD極坐標,d|1|22 Dyx例將D分成D1與D2兩部分.D1其中解yOx122 yx d|1|22 Dyx由于 d)1(221yxD 10220d)1(drrr 8 d)1(222 yxD直角坐標 1122102d)1(dxyyxx3.被積函數帶絕對值、最大(小)值符號的積分.10 , 10),( yxyxD第22頁/共31頁23 d)1(222 yxD 1122102d)1(dxyyxx 101132d32xyyyxx 102322d)1(3232xxx 102d)32(xx 10232d)1(32xxI3231 其中 10232d)1(xxItxsin 204dcostt.16

13、322143 .318 因此 d|1|22Dyx.3143188 8d)1(221 yxD第23頁/共31頁2411,dd,max|2 Dyxyxxy其中 .10 , 10),( yxyxD選擇適當的坐標計算: xyO2xy xy 解原式 = 1D3D2D 1dd,max|2Dyxyxxy 2dd,max|2Dyxyxxy 3dd,max|2Dyxyxxy例第24頁/共31頁2511,dd,max|2 Dyxyxxy其中 .10 , 10),( yxyxD選擇適當的坐標計算: xyO解原式 = 1D3D2D 1210d)(dxyyxyx xxyxxyx2d)(d210 20210d)(dxyx

14、yxx.4011 2xy xy 例第25頁/共31頁26例,., 010),1(20, 1),( 其它其它設設xxyyxf).(,dd),()(tFyxyxftFtyx求求且且 分析 由被積函數的表達式及積分區域的情況,:)(與三角形區域與三角形區域是區域是區域可知可知tyxtF 10),1(20 xxy的公共部分的面積.Oxytyx tt 2解,0時時當當 t無公共部分, )(tF,10時時當當 t )(tF 2 1)1(2xy ;212t0;第26頁/共31頁27. 1例,., 010),1(20, 1),( 其它其它設設xxyyxf).(,dd),()(tFyxyxftFtyx求求且且

15、,0時時當當 t無公共部分,0;)( tF,10時時當當 t )(tF;212t,21時時當當 t )(tF xttyx020dd )1(2012ddxtyx; 1222 tt,2時時當當 t )(tF 2121 2Oxytyx tt 2 1)1(2xy t2綜上所述, . 2, 121, 1221, 10,21, 0, 0)(22ttttttttF第27頁/共31頁28解例,d),(dd),(d011121yyxfxyyxfxIxxx 設設交換二次積分的次序, 并把它化為極坐標系下的二次積分.這是無界區域上的二重積分.2121 I.d),(d21xyxfyy xyxfyyd),(d1210

16、在極坐標下, D的邊界線0 y, 0 xy 4 xy 1, 1)sin(cos r I故.d)sin,cos(d rrrrf 04 sincos1 xyOxy 111xy 第28頁/共31頁29某城市受地理限制呈直角三角形分布, 解 yyxd)1020( 14080 d),( DyxRL試計算該市總的稅收收入.OxyDx4312 0 xd016這是一個二重積分的應用問題, 臨一條河. 斜邊和12km, 由于交通關系, 城市發展不太平衡,這一點可從稅收狀況反映出來.若以兩直角邊為坐標軸建立直角坐標系, 則位于x軸和y軸上的城市長度各為16km且稅收情況與地理位置的關系大體為其中積分區域D11216 yx11216 yx圍成.于是所求總稅收收入為(萬元).例由x軸、 y軸及直線1216)/(1020),(平方千米平方千米萬元萬元yxyxR 第29頁/共31頁30,1 , 0)(上連續上連續在在設設xf.)d)(21d)