1、精選優質文檔-傾情為你奉上例談2010年中考數學中的存在性問題 隨著新課改的不斷深入，近年來各地中考數學試題不斷推陳出新，“選拔性”與“能力性”兼容，命題由“知識性”立意向“素質性”、“能力性”立意轉變，出現了一大批題型設計思路開闊、內涵豐富、立意深刻、發人深思的好試題，存在性問題恰恰是這些試題中突出考查學生能力的典型代表。由于這類問題大多以函數圖象為載體，來研究事物的存在性，理解起來比較抽象，涉及面較廣，技巧性和綜合性也較強，解決起來有一定的難度，對知識的遷移能力、靈活運用能力和分析問題的能力要求又高，所以一直是連續幾年來全國各地中考數學試題的壓軸型題目。一、存在性問題的內涵所謂存在性問題是

2、指根據題目所給的條件，探究是否存在符合要求的結論存在性問題是相對于中學數學課本中有明確結論的封閉型問題而言的存在性問題可抽象為“已知事項M，是否存在具有某種性質的對象Q?！苯忸}時要說明Q存在，通常的方法是將對象Q構造出來；若要說明Q不存在，可先假設存在Q，然后由此出發進行推論，并導致矛盾，從而否定Q的存在。此類問題的敘述一般是“是否存在，如果存在，請求出（或請證明）；如果不存在，請說明理由”二、存在性問題的解決策略1、直接求解法存在性問題是探索型問題中的一種典型性問題存在性問題探索的方向是明確的探索的結果有兩種：一種是存在：另一種是不存在直接求解法就是直接從已知條件入手，逐步試探，求出滿足條件

3、的對象，使問題得到解決的解法。2、假設求解法先假設結論存在，再從已知條件和定義，定理，公理出發，進行演繹推理；若得到和題意相容的結論，則假設成立，結論也存在；否則，假設不成立，結論不存在。即假設結論存在，根據條件推理、計算，如果求得出一個結果，并根據推理或計算過程每一步的可逆性，證得結論存在；如果推得矛盾的結論或求不出結果，則說明結論不存在三、中考數學中的存在性問題的類型1、定性分類（1）肯定型存在性問題肯定型存在性問題是解決其余兩類存在性問題的基礎，具體地構造出（或求出，尋找出）滿足條件的數學對象，是證明肯定型存在性問題的主要方法。這種處理方法一般分為兩大步，第一步是構造出滿足要求的數學對象

4、；第二步是通過驗證，證明構造的對象滿足問題的要求。例1、(2010年陜西卷)問題探究(1)請你在圖中做一條直線，使它將矩形ABCD分成面積相等的兩部分；（2）如圖點M是矩形ABCD內一點，請你在圖中過點M作一條直線，使它將矩形ABCD分成面積相等的兩部分。 問題解決（3）如圖，在平面直角坐標系中，直角梯形OBCD是某市將要籌建的高新技術開發區用地示意圖，其中DCOB,OB=6,CD=4開發區綜合服務管理委員會（其占地面積不計）設在點P（4,2）處。為了方便駐區單位準備過點P修一條筆直的道路（路寬不計），并且是這條路所在的直線l將直角梯形OBCD分成面積相等的了部分，你認為直線l是否存在？若存在

5、求出直線l的表達式；若不存在，請說明理由解析：（1）如圖（2）如圖連結AC 、BC交與P則P為矩形對稱中心。作直線MP，直線MP即為所求。（3）如圖存在直線l。過點D的直線只要作 DAOB與點A ，則點P(4,2)為矩形ABCD的對稱中心。過點P的直線只要平分DOA的面積即可。易知，在OD邊上必存在點H使得PH將DOA 面積平分。從而，直線PH平分梯形OBCD的面積,即直線 PH為所求直線l.設直線PH的表達式為 y=kx+b 且點P(4,2).2=4k+b 即b=24k.y=kx+24k直線OD的表達式為y=2x 解之點H的坐標為（，）PH與線段AD的交點F（2,22k）,022k4,1k1

6、 SDHF=解之，得。（舍去） b=8直線l的表達式為y=（2）否定型存在性問題反證法是證明否定型存在性問題的主要方法，特別是在無限個候選對象中，證明某種數學對象不存在時，逐一淘汰的方法幾乎不能實行，更經常地使用反證法。例2、(2010年安徽卷)如圖，已知，相似比為k（k>1），且的三邊長分別為a、b、c（a>b>c），的三邊長分別為、.（1）若c=a1，求證：a=kc；（2）若c=a1，試給出符合條件的一對，使得a、b、c和、都是正整數，并加以說明；（3）若b=a1，c=b1，是否存在使得k=2？請說明理由.解析:（1）證：，且相似比為又（2）取此時且（3）不存在這樣的和.

7、理由如下：若則 又， ，而故不存在這樣的和，使得（3）討論型存在性問題將問題看成求解題，進而從有解或無解的條件，來判明數學對象是否存在，這是解決討論型存在性問題的主要方法。另外，先猜出對象可能存在或不存在，從而將討論型存在性問題轉化為肯定型或否定型處理，是解決討論型存在性問題的又一重要方法。例3、(2010年重慶市江津區卷)如圖，拋物線與軸交于兩點A（1，0），B（1，0），與軸交于點C(1)求拋物線的解析式；(2)過點B作BDCA與拋物線交于點D，求四邊形ACBD的面積；(3)在軸下方的拋物線上是否存在一點M，過M作MN軸于點N，使以A、M、N為頂點的三角形與BCD相似？若存在，則求出點M的

8、坐標；若不存在，請說明理由 解析：（1）把A B代入得：解得： （2）令，得 OA=OB=OC= BAC=ACO=BCO=ABC = BDCA， ABD=BAC 過點D作DE軸于E，則BDE為等腰直角三角形。令 ，則 ，點D在拋物線上 解得，（不合題意，舍去） DE=四邊形ACBD的面積=ABOC +ABDE (3)存在這樣的點MABC=ABD= DBC= MN軸于點N， ANM=DBC =在RtBOC中，OB=OC= 有BC= 在RtDBE中，BE=DE= 有BD= 設M點的橫坐標為，則M 點M在軸左側時，則() 當AMN CDB時，有 即 解得：（舍去） 則() 當AMN DCB時，有 即

9、 解得（舍去） （舍去） 點M在軸右側時，則 () 當AMN DCB時，有 解得（舍去） () 當AMN CDB時，有 即 解得：（舍去） M點的坐標為2、定量分類（1）數值存在性問題例4、（2010年舟山卷)ABC中，A=B=30°，AB=把ABC放在平面直角坐標系中，使AB的中點位于坐標原點O(如圖)，ABC可以繞點O作任意角度的旋轉(1)當點B在第一象限，縱坐標是時，求點B的橫坐標；(2)如果拋物線(a0)的對稱軸經過點C，請你探究：當，時，A，B兩點是否都在這條拋物線上？并說明理由；OyxCBA11-1-1設b=-2am，是否存在這樣的m的值，使A，B兩點不可能同時在這條拋物

10、線上？若存在，直接寫出m的值；若不存在，請說明理由解：(1) 點O是AB的中點，設點B的橫坐標是x(x>0)，則，解得，(舍去)點B的橫坐標是(2)當，時，得()以下分兩種情況討論情況1：設點C在第一象限(如圖甲)，則點C的橫坐標為，OyxCBA(甲)11-1-1由此，可求得點C的坐標為(，)，點A的坐標為(，)，A，B兩點關于原點對稱，OyxCBA(乙)11-1-1點B的坐標為(，)將點A的橫坐標代入()式右邊，計算得，即等于點A的縱坐標；將點B的橫坐標代入()式右邊，計算得，即等于點B的縱坐標在這種情況下，A，B兩點都在拋物線上情況2：設點C在第四象限(如圖乙)，則點C的坐標為(，-

11、)，點A的坐標為(，)，點B的坐標為(，)經計算，A，B兩點都不在這條拋物線上(情況2另解：經判斷，如果A，B兩點都在這條拋物線上，那么拋物線將開口向下，而已知的拋物線開口向上所以A，B兩點不可能都在這條拋物線上)存在m的值是1或-1(，因為這條拋物線的對稱軸經過點C，所以-1m1當m=±1時，點C在x軸上，此時A，B兩點都在y軸上因此當m=±1時，A，B兩點不可能同時在這條拋物線上)（2）定值存在性問題例5、（2010年咸寧卷）如圖，直角梯形ABCD中，ABDC，動點M以每秒1個單位長的速度，從點A沿線段AB向點B運動；同時點P以相同的速度，從點C沿折線C-D-A向點A運

12、動當點M到達點B時，兩點同時停止運動過點M作直線lAD，與線段CD的交點為E，與折線A-C-B的交點為Q點M運動的時間為t（秒）（1）當時，求線段的長；（2）當0t2時，如果以C、P、Q為頂點的三角形為直角三角形，求t的值；ABCDABCDQABCDlMPE（3）當t2時，連接PQ交線段AC于點R請探究是否為定值，若是，試求這個定值；若不是，請說明理由解：（1）過點C作于F，則四邊形AFCD為矩形QABCDlMP（第24題）EF，此時，RtAQMRtACF2分即，3分（2）為銳角，故有兩種情況：當時，點P與點E重合ABCD（備用圖1）QPElM此時，即，5分當時，如備用圖1，此時RtPEQRt

13、QMA，由（1）知，而， ABCD（備用圖2）MQRFP綜上所述，或8分（說明：未綜述，不扣分）（3）為定值9分當2時，如備用圖2，由（1）得， 四邊形AMQP為矩形 11分CRQCAB12分（3）極值存在性問題例6、（2010年莆田卷）如圖，矩形ABCD (點A在第一象限)與x軸的正半軸相交于M,，與y的負半軸相交于N，ABx軸，反比例函數y=的圖象過A、C兩點，直線AC與x軸相交于點E、與y軸相交于點F。(1)若B（-3，3），直線AC的解析式為y=.求a的值；連結OA、OC，若OAC的面積記為S，ABC的面積記為S，記S= SS，問S是否存在最小值？若存在，求出其最小值；若不存在，請說明

14、理由(2)AE與CF是否相等？請證明你的結論。（4）點存在性問題例7、（湘潭）如圖，直線與x軸交于點A，與y軸交于點B，以線段AB為直徑作C，拋物線過A、C、O三點(1) 求點C的坐標和拋物線的解析式；(2) 過點B作直線與x軸交于點D，且OB2=OA·OD，求證：DB是C的切線；(3) 拋物線上是否存在一點P，使以P、O、C、A為頂點的四邊形為直角梯形，如果存在，求出點P的坐標；如果不存在，請說明理由（5）直線存在性問題例8、（2010年揚州卷）在ABC中，C90°，AC3，BC4，CD是斜邊AB上的高，點E在斜邊AB上，過點E作直線與ABC的直角邊相交于點F，設AEx，

15、AEF的面積為y（1）求線段AD的長；（2）若EFAB，當點E在線段AB上移動時，求y與x的函數關系式（寫出自變量x的取值范圍）當x取何值時，y有最大值？并求其最大值；（3）若F在直角邊AC上（點F與A、C兩點均不重合），點E在斜邊AB上移動，試問：是否存在直線EF將ABC的周長和面積同時平分？若存在直線EF，求出x的值；若不存在直線EF，請說明理由ABCDABCD備用圖 （6）三角形存在性問題例9、（2010年紅河卷）如圖，在直角坐標系xoy中，O是坐標原點，點A在x正半軸上，OA=cm，點B在y軸的正半軸上，OB=12cm，動點P從點O開始沿OA以cm/s的速度向點A移動，動點Q從點A開始

16、沿AB以4cm/s的速度向點B移動，動點R從點B開始沿BO以2cm/s的速度向點O移動.如果P、Q、R分別從O、A、B同時移動，移動時間為t（0t6）s.（1）求OAB的度數.（2）以OB為直徑的O與AB交于點M，當t為何值時，PM與O相切？（3）寫出PQR的面積S隨動點移動時間t的函數關系式，并求s的最小值及相應的t值.（4）是否存在APQ為等腰三角形，若存在，求出相應的t值，若不存在請說明理由.解：（1）在RtAOB中：tanOAB=OAB=30°（2）如圖10，連接OP，OM. 當PM與O相切時，有PM O=PO O=90°， PM OPO O由（1）知OBA=60&

17、#176; OM= OB OBM是等邊三角形 B OM=60°可得O OP=M OP=60°OP= O O·tanO OP =6×tan60°=又OP=tt=，t=3 即：t=3時，PM與O相切.（3）如圖9，過點Q作QEx于點E BAO=30°，AQ=4t QE=AQ=2t AE=AQ·cosOAB=4t×OE=OA-AE=-t Q點的坐標為（-t，2t） SPQR= SOAB -SOPR -SAPQ -SBRQ = = = （） 當t=3時，SPQR最小= （4）分三種情況：如圖11.當AP=AQ1=4t時，O

18、P+AP=t+4t=t=或化簡為t=-18當PQ2=AQ2=4t時 過Q2點作Q2Dx軸于點D，PA=2AD=2A Q2·cosA=t即t+t = t=2當PA=PQ3時，過點P作PHAB于點HAH=PA·cos30°=（-t）·=18-3t AQ3=2AH=36-6t 得36-6t=4t，t=3.6綜上所述，當t=2，t=3.6，t=-18時，APQ是等腰三角形.（7）平行四邊形存在性問題例10、（2010年遵義卷）如圖，已知拋物線的頂點坐標為Q，且與軸交于點C，與軸交于A、B兩點（點A在點B的右側），點P是該拋物線上一動點，從點C沿拋物線向點A運動（

19、點P與A不重合），過點P作PD軸，交AC于點D(1)求該拋物線的函數關系式；(2)當ADP是直角三角形時，求點P的坐標；(3)在問題(2)的結論下，若點E在軸上，點F在拋物線上，問是否存在以A、P、E、F為頂點的平行四邊形？若存在，求點F的坐標；若不存在，請說明理由（8）圓存在性問題例11、(2010年成都卷)在平面直角坐標系中，拋物線與軸交于兩點（點在點的左側），與軸交于點，點的坐標為，若將經過兩點的直線沿軸向下平移3個單位后恰好經過原點，且拋物線的對稱軸是直線（1）求直線及拋物線的函數表達式；（2）如果P是線段上一點，設、的面積分別為、，且，求點P的坐標；（3）設的半徑為l，圓心在拋物線上

20、運動，則在運動過程中是否存在與坐標軸相切的情況？若存在，求出圓心的坐標；若不存在，請說明理由并探究：若設Q的半徑為，圓心在拋物線上運動，則當取何值時，Q與兩坐軸同時相切？（9）時間存在性問題例12、（2010年青島卷）已知：把RtABC和RtDEF按如圖（1）擺放（點C與點E重合），點B、C（E）、F在同一條直線上ACB = EDF = 90°，DEF = 45°，AC = 8 cm，BC = 6 cm，EF = 9 cm如圖（2），DEF從圖（1）的位置出發，以1 cm/s的速度沿CB向ABC勻速移動，在DEF移動的同時，點P從ABC的頂點B出發，以2 cm/s的速度沿B

21、A向點A勻速移動.當DEF的頂點D移動到AC邊上時，DEF停止移動，點P也隨之停止移動DE與AC相交于點Q，連接PQ，設移動時間為t（s）（0t4.5）解答下列問題：（1）當t為何值時，點A在線段PQ的垂直平分線上？（2）連接PE，設四邊形APEC的面積為y（cm2），求y與t之間的函數關系式；是否存在某一時刻t，使面積y最小？若存在，求出y的最小值；若不存在，說明理由（3）是否存在某一時刻t，使P、Q、F三點在同一條直線上？若存在，求出此時t的值；若不存在，說明理由（圖（3）供同學們做題使用）ADBCF（E）圖（1）ADBCFE圖（2）PQ（10）位置存在性問題例13、（2010年蘇州卷）劉衛同學在一次課外活動中，用硬紙片做了兩個直角三角形，見圖、圖中，B=90°，A=30°，BC=6cm；圖中，D=90°，E=45°，DE=4 cm圖是劉衛同學所做的一個實驗：他將DEF的直角邊DE與ABC的斜邊AC重合在一起，并將DEF沿AC方向移動在移動過程中，D、E兩點始終在AC邊上(移動開始時點D與點A重合) (1)在DEF沿AC方向移動的過程中，劉衛同學發現：F、