1、重視強化題組訓練感悟數學思想方法黃浦學校 顧涵明黃浦區教師進修學院 李建國我們要養成解題后反思的習慣反思自己的思維過程，反思知識點和解題技巧，反思多種解法的優劣，反思各種方法的縱橫聯系適時地展開想象，題設條件能否減弱?結論能否加強？問題能否推廣?等等。進而總結出它所用到的數學思想方法，并把數學思想方法相近的題目編成一組，不斷提煉、不斷深化，做到舉一反三、觸類旁通。逐步學會觀察、試驗、分析、猜想、歸納、類比、聯想等思想方法，主動地發現問題和提出問題。梳理考試中經常出現的數學思想方法，例如分類討論法、數形結合法、待定系數法、面積法，特值法等等，并在自己的腦海中對每一種方法記憶一道對應的典型試題。養

2、成去偽存真、由此及彼、由表及里的思維方法，提高我們的思維品質。觀察下列幾個問題和解題思路，你有什么發現嗎？1、 已知：正方形ABCD中，P是對角線AC上任意點，PEAB于E， PFBC于F。求證：DP=EF分析：這是一題有關正方形和直角三角形的問題。EF是RTEFP的一條斜邊，我們可以通過添加輔助線構造RTDPG，然后通過證明三角形全等使問題得到解決。當然這題也可以連接BP，利用矩形的相關性質來解決。2、如圖：在正方形ABCD的對角線AC上有一點P，連接BP，作PEBP，PE交CD于E，EFBC交AB于F，已知AB=10。（1）求證：BP=PE（2）求證:PBE DAC（3）設AP=x，BF=

3、y，求y關于x的函數關系式，并寫出自變量x的取值范圍。分析：這也是一個有關正方形和直角三角形的問題，圖中條件可以運用。第（1）問是要證明兩條線段相等，我們首先想到的是否通過證明兩個三角形全等，從而得到兩條線段相等。為此我們通過添加輔助線來解決問題。在第（1）問的基礎上就很容易解決第（2）個問題。第（3）個問題也迎刃而解了。以上兩個問題都是運用了直角三角形和正方形的相關知識，通過構造三角形全等來解決問題，這也是我們解決這一類問題常用的方法。如果你能歸納出這兩個問題的共通點，那么拿到下一個問題你也許不會措手不及了。操作：將一把三角尺放在邊長為1的正方形ABCD上，并使它的直角頂點P在對角線AC上滑

4、動，直角的一邊始終經過點B，另一邊與射線DC相交于點Q。探究：設A、P兩點的距離為x。（1） 當點Q在邊CD上時，線段PQ與線段PB之間有怎樣的關系？試證明你觀察得到的結論。（2） 當點Q在邊CD上時，設四邊形PBCQ的面積為y，求y與x之間的函數解析式，并寫出函數的定義域。（3） 當點P在線段AC上滑動時，PCQ是否可能成為等腰三角形？如果可能，指出所有能使PCQ成為等腰三角形的點Q的位置，并求出相應的x的值；如果不可能，試說明理由。（左圖、中圖、右圖的形狀大下相同，左圖供操作、實驗用，中圖和右圖備用。分析：首先我們畫出符合要求的圖形。通過類比你是否發現它與我們剛剛解決的第2個問題很相像，那

5、么你一定能夠馬上猜想到BP=PQ。證明的方法也是通過構造三角形全等解決問題。問題（2）建立在問題（1）的基礎上就能解決，我們就進行了聯想類比猜想。依據已知條件，聯想與之相似的事物，通過比較、類比，對其結論進行推測。而問題（3）則是要全面的考慮問題的可能性，如果你在平時的練習中已經歸納出要判斷是否存在等腰三角形的一些規律，并且注意進行分類討論，這個問題也不會讓你感到緊張。在解決綜合題的過程中我們會發現化歸思想是無處不在,它是分析問題解決問題的有效途徑。在初中數學學習中運用這種化歸的思維方法解決問題的例子非常多。例如,在代數方程求解時大多采用“化歸”的思路,它是解決方程(組)問題的最基本的思想。即

6、將復雜的方程(組)通過各種途徑轉化為簡單的方程(組),最后歸結為一元一次方程或一元二次方程。平面幾何的學習中亦是如此。例如,研究四邊形、多邊形問題時通過分割圖形,把四邊形、多邊形知識轉化為三角形知識來研究；解任意三角形的問題，通過作三角形一邊上的高，轉化為解直角三角形問題；我們熟悉的梯形問題,常通過作腰的平行線或作兩條高等常用輔助線,把梯形問題轉化為平行四邊形與三角形問題。又如，圓中有關弦心距、半徑、弦長的計算亦能通過連結半徑或作弦心距把問題轉化為直角三角形的求解。還有，解正多邊形的問題，通過添半徑和邊心距，轉化為解直角三角形問題等等。在解決綜合題的過程中方程與函數的轉化、化動為靜、化實際問題

7、為數學問題、代數問題與幾何問題的轉化都是非常常用的。【例如】在直角坐標系中，點的坐標為（2，0），與x軸交于原點O和點A.又B、C、E三點的坐標分別為（-1，0）、（0，3）、（0，b），且0b3.（1）求點A的坐標和經過B、C兩點的直線的解析式；yxMCEOBA（2）當點E在線段OC上移動時，直線BE與有哪幾種位置關系？并求出每種位置關系時，b的取值范圍。【分析】要考察直線BE與有哪幾種位置關系，可先考察相切這種特殊位置，化一般為特殊，相切時直線與圓有可以運用的性質定理，此時求得的b的值就是一個分界點。在分析的過程中，應用本題的“靜態”直線與圓相切，作出圖形，化動為靜是解題的關鍵。【解】（1

8、）由已知得：A（4，0）由待定系數法，得：經過B、C兩點的直線的解析式為y=3x+3(2) 當點E在線段OC上移動時，直線BE與有三種位置關系:相離、相切、相交。設當點E運動到OC上某處時，恰使直線BE切于點M，連結M.BM是的切線 MBM且M=2在RtBM中，B=3，M=2 BM=又 OE= 當b=時，直線BE與相切； 當 b3時，直線BE與相離；當0b時，直線BE與相交.數形結合思想也是初中的重要數學思想方法之一，能運用代數、三角比知識通過數量關系的討論去處理幾何圖形的問題；能運用幾何、三角比知識通過對圖形性質的研究去解決數量關系的問題。能將抽象的數學語言與直觀的圖形符號結合起來，把抽象思

9、維與形象思維結合起來；會用代數的方法去研究幾何問題，會根據圖形的性質及幾何知識去處理代數問題。下面的例題也許會給你一些啟發。【例如】已知一條拋物線的對稱軸是直線x=1；它與x軸相交于A，B兩點（點A在點B的左邊）， 且線段AB的長是4；它還與過點C（1，-2）的直線有一個交點是D（2，-3） （1）求這條直線的函數解析式； （2）求這條拋物線的函數解析式； （3）若這條直線上有P點，使，求點P的坐標【分析】對于（1）、（2）兩問我們只要正確的找到圖像上的點運用待定系數法就可以解決。第（3）問可以由面積建立等式，而其中的關鍵是明確點P所在的位置正確的設P點坐標，特別要注意此時三角形是在直角坐標平面的背景下，需要把點的坐標轉化為線段的長，然后建立方程，在解決問題時我們可以通過