1、數(shù)列綜合題1設(shè)無(wú)窮等比數(shù)列an的公比為q，且an0(nN*),忸足表示不超過(guò)實(shí)數(shù)an的最大整數(shù)(如2,52),記入忸巾，數(shù)列aQ的前n項(xiàng)和為S“，數(shù)列0的前n項(xiàng)和為人.1(I)若q4,q，求Tn；2(n)若對(duì)于任意不超過(guò)2014的正整數(shù)5都有丁口二2口一1，證明：卜嚴(yán)12q1.3(川)證明：SnTn(11“123,)的充分必要條件為八N,q?N.Jt1(I)解：由等比數(shù)列an的ai4,q，2得ai、a22,a31,且當(dāng)n3時(shí)，0an1.所以bAH4,a'2,b3°1，且當(dāng)n3時(shí)，tMsn。.4, n1,即Tn6,n2,7, n>3.(n)證明：因?yàn)門(mén)n2n1(nw201

2、4),所以4二£二3,bnTnTni2(2wnw2014).因?yàn)閎jan,所以ai3,4),an2,3)(2wnW2014).由q魚(yú)，得q1.因?yàn)閍2oi4a2q20122,3),ai1所以q2012>一所以。皿1，即G嚴(yán)q1.a2333(川)證明：(充分性)因?yàn)閍AN'；n-1廣所以ansqN,所以bn.an.an對(duì)一切正整數(shù)n都成立.因?yàn)?二耳+曲匕，人二b+d+|-bn,所以Sn_Tn.（必要性）因?yàn)閷?duì)于任意的nN：,（"Tn,當(dāng)n1時(shí)，由a，S|,b，得dd；當(dāng)n>2時(shí)，由3nSnSn1,bnTnTn1，得3nbn.所以對(duì)一切正整數(shù)n都有anbn

3、.由bn2，an0，得對(duì)一切正整數(shù)n都有外fN，所以公比q色為正有理數(shù).a假設(shè)qN，令q.E，其中pj£N',r1，且p與r的最大公約數(shù)為1.因?yàn)?是一個(gè)有限整數(shù)，所以必然存在一個(gè)整數(shù)k（kN），使得a能被rk整除，而不能被rk1整除.k1kiaip又因?yàn)閍k2丁廠，且P與r的最大公約數(shù)為1.r所以a2Z，這與曳N（nN）矛盾.所以qN.因此耳N，qN.2.為了響應(yīng)政府的“節(jié)能減排”的號(hào)召，某政府決定用“對(duì)社會(huì)貢獻(xiàn)率”對(duì)企業(yè)進(jìn)行評(píng)價(jià)，2a （萬(wàn)元）；用an表示某企業(yè)第n年投入的治理污染的環(huán)保費(fèi)用，用bn表示該企業(yè)第n年因治理污染所增的產(chǎn)值。設(shè)史a（萬(wàn)元），且以后治理污染環(huán)保費(fèi)

4、用每年都比上一年增加ab又設(shè)Db（萬(wàn)元），且企業(yè)所增的產(chǎn)值每年均比上一年增長(zhǎng)10%用Pn表示企業(yè)第1OOabn年“對(duì)社會(huì)貢獻(xiàn)率”。（1）求該企業(yè)第一年和第二年的“對(duì)社會(huì)貢獻(xiàn)率”；（2）試問(wèn)：從第幾年起該企業(yè)“對(duì)社會(huì)貢獻(xiàn)率”不低于20%1.16 1.771.171.95)20.本題主要琴查應(yīng)用青毒中的等比等差數(shù)列阿b解:夬濟(jì)何題的能九解析：由題意知叮成等差甑列，直成#比數(shù)列二色二口+白巾-1)-勿=(勿一l)e-ab=1地£=斗眸3眼Z«1WOah“100(3八即該企業(yè)第一年和第二年的乍寸社會(huì)貢獻(xiàn)葷/分別育1%和13%音S空匚sm。%00ab100由于眄尺為錯(cuò)增數(shù)列£

5、;2A-1又當(dāng)卑=6時(shí)，斥=44xL&jv20%,100當(dāng)牙=7時(shí)，7=1八122>20%.71003數(shù)歹I；-J嗆?chē)\叫TX二/g弋力求，設(shè)數(shù)歹I血門(mén)即的前n項(xiàng)和分別為An和Bn。(1)若數(shù)列熏是等差數(shù)列，求An和Bn；(2)若數(shù)列伸是公比/廠4+為等比數(shù)列：求A2013；是否存在實(shí)數(shù)m使&對(duì)任意自然數(shù)幻.*都成立,若存在,求m的值，若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由。wZDGmi為ii-j死.此時(shí)扁削的碑心冷為6心=0.乂敵列（化創(chuàng)MUrAJuJr）i><幣以的如公式AS%=2加一|何w41+（2M1）jtrirAM1I«/（/1>z”>«

6、w2少/肖”案命數(shù)時(shí).*4A24+,十b.=4丐一勺）+«洵+crj*（qQJ+=ci.+2（幻+代+制十S.J+q.i二刃二+JW寫(xiě)內(nèi)王的散時(shí)R.=h+b）4-A,-1-4-Z>#|=<°2-D|）十（"）十門(mén)2）4（口4-Qj+,令（4川I弘）1A卜2（*,*y+4*-4*u.）§a.«nT-A3/j力足甸效“足做數(shù)<2）<0/Lou=牛+的q=5卜（6+oj+（、+“+r?gI-右.十b，林h»>I一時(shí)嚴(yán)匚5一股地.當(dāng)刃建命政時(shí).7二工不4"«=*C24m卜+6%=q+（a：+&

7、quot;J+（<>4+"、）+（<>I*,阿m卜每十仇iI-（cf）3Ml“、卜.nNtb««*A3*»3LmiM!«i»A.乙.Q召）1l-<于一Ib-1XMttni,力（%廠心J（a44MWttni»、f九2a®7ILFy刃足4J俗散M-弋1（4+。1+（4j.+aJ+令（叫）+J】+Ke*ej（q（匕）b2-Aj）7仇一瑪）+G.7帝）+1門(mén)趺小護(hù)1+伽.小干£1一今4心）4.4（：4lE+4g；"_斧寧F好仟IEf說(shuō)d2可0WW滬一I（迅士二邂;事了2叩）

8、嵌”；好甯俚兒,+9”住U亦一q/2H勺小仔M詆“幾“叫""響成工16分5,設(shè)數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn,am2n11,(nN),求a2,a3的值;求數(shù)列3n的通項(xiàng)公式；（出）設(shè)數(shù)列bn的前n項(xiàng)和為T(mén)n,且bnan13n1，證明：對(duì)一切正整數(shù)2都有:TnI)：Sn1,(nai3,2221Sa2S2a23a312(n)由檢驗(yàn)知aiSnan1Snia1,a22n(n2n1,(n1,(n1)得ani2an2n(n2)2)4滿(mǎn)足3n12a.n2n(n2)1)變形可得旦2n2，J（n1)數(shù)列弄是以1為首項(xiàng)，1為公差的等差解得解n2'n1(n1)（川）由（n）3nn1n2(n1)

9、入得bnan1=(n1)2。(n1)2n3(n1)2n22n1(n1)2n2n1A1223?2n1Ib112 門(mén) 1bn12?n1(22 2 知1 1I刃叨Tn1 12(1? Tn n I TnTnUI 1 n-2n(2I f I”"1 (協(xié)1 14H41n4角)6.設(shè)A是由n個(gè)有序?qū)崝?shù)構(gòu)成的一個(gè)數(shù)組，記作：A(a,a2jH,a,|,an).其中q(i1,2，川，n)稱(chēng)為數(shù)組A的“元”，i稱(chēng)為目的下標(biāo)如果數(shù)組S中的每個(gè)“元”都是來(lái)自數(shù)組A中不同下標(biāo)的“元”，則稱(chēng)S為A的子數(shù)組.定義兩個(gè)數(shù)組A聲川冏)，B(b,b2,|,bn)的關(guān)系數(shù)為C(代B)抽a2b2川anbn.11(I)若A(一

10、,),B(1,1,2,l)，設(shè)S是B的含有兩個(gè)“元”22C(代S)的最大值;,B (0, a,b,c)，且 a” bS為B的含有三個(gè)“元”的子數(shù)組,求C(A,S)的最大值;(川)若數(shù)組A(ai,a2,a3)中的“元”滿(mǎn)足2aia22 a32 1 .設(shè)數(shù)組Bm(m 1,2,3 ,川，n)含有四個(gè)“元 *1加234,且加1bm22與Bm的所有含有三個(gè)“元”的子數(shù)組的關(guān)系數(shù)C(A, Bm) (m1,2,3,川，n)的最大值.解：(I)依據(jù)題意，當(dāng)S ( 1,3)時(shí)，C(代S)取得最大值為2.(n)當(dāng)。是S中的“元”時(shí)，由于A的三個(gè)“元”都相等及B中a, b, c三個(gè)“元”的對(duì)稱(chēng)性,可以只計(jì)算C(A,

11、S) J(a b)的最大值，其中a2 b2 c231.由(a b)2 a2 b2 2ab 2(a2 b2)2(a2 b2 c2)2,得.2abJ2.當(dāng)且僅當(dāng)c0,且ab時(shí)，ab達(dá)到最大值2,2于是c（代S）-八（ab）6.3當(dāng)0不是s中的“元”時(shí)，計(jì)算C（A,S）（abc）的最大值，3由于a2 b2 c21,所以(abc)2a2b2c22ab2ac2bc.2,23(abc)小3,(a b c) 1 .3當(dāng)且僅當(dāng)abe時(shí)，等號(hào)成立.即當(dāng)abc時(shí)，abc取得最大值'3，此時(shí)C（代S）3綜上所述，C（代S）的最大值為1.222bm2 bm3 bm42(川)因?yàn)锽m(bm1,bm2,bm3,b

12、m4)滿(mǎn)足bm1由bm1,bm2,bm3,bm4關(guān)系的對(duì)稱(chēng)性，只需考慮當(dāng)bml(bm2,bm3E)與任3聲？，”2bm4as-bm283）的關(guān)系數(shù)的情況.222aia?as111.22bm2a1 .mbm%a?即bm方a3a1bm2a2bm3a3bm4的最大值為m.當(dāng)bm0時(shí),b2b2b2bm2bm3bm4m得aibm2a2bm3a3bm4最大值小于m.所以C(A,Bm)的最大值為一m(m1,23川,n).7.設(shè)滿(mǎn)足以下兩個(gè)條件的有窮數(shù)列a!,a2,a為n(n=2,3,4,，)階“期待數(shù)列”aa?asjllan0;可32qIIIan二(I)分別寫(xiě)出一個(gè)單調(diào)遞增的3階和4階“期待數(shù)列”；(n)若

13、某2k+1(kN*)階“期待數(shù)列”是等差數(shù)列，求該數(shù)列的通項(xiàng)公式;12n(川)記n階“期待數(shù)列”的前k項(xiàng)和為Sk(k1,2,3,川，n),試證：(l)SkI)數(shù)列_L,o為三階期待數(shù)列223數(shù)列8888為四階期待數(shù)列設(shè)等差數(shù)列%,a?/""，a2kl(k1)的公差為d,HIa2a3a2ki0,空3d0,所以ai2(2k1)aikd0,即3klak2d,當(dāng)d=o時(shí)，與期待數(shù)列的條件矛盾,當(dāng)d>0時(shí),據(jù)期待數(shù)列的條件得：ak2ak3JIa2k1I2,L即kdk(kdd122k(k1)由az。得ai卜。，即k(k1)ai3n2k 1).1(n1)1n1(nN,nk(k1)k

14、(k1)k當(dāng)d<0時(shí),同理可得kdk(k1)d由ak0 得 ai kk(k1)。，即ai1(n N ,n k 2n1)1)k(k1)（出） 當(dāng)k=n時(shí)，顯然 Sn 0 成立；2當(dāng)k<n時(shí)，據(jù)條件得HIz、al a2 ak （ak ak2an即 sk ai a2ak ak1 ak2an2Sk a2 JU ak aki ak2(khl313,23k 3kblak 23n1-ais2a2 as a4 川加4S33S3s4sns4sn)n)n22 2334 45(n 1)n11111111M,22233445 川1 12 2n8.對(duì)于實(shí)數(shù)X，將滿(mǎn)足“ 0 y 1且x y為整 數(shù)”號(hào)；：x表

15、示例如1.2 0.2,：；1217對(duì)于實(shí)數(shù)a，無(wú)窮數(shù)列1滿(mǎn)足如下條件：an 。其中nan 0,0(I)若a ,2，求數(shù)列1(n)當(dāng)a jj寸，對(duì)任意的4的通項(xiàng)公式;(川)若a是有理數(shù)，設(shè)a的實(shí)數(shù)y稱(chēng)為實(shí)數(shù)x的小數(shù)部分，用記123,川.N ,都有ana,求符合要求的實(shí)數(shù)a構(gòu)成的集合A ；-(P是整數(shù)，qq是正整數(shù)，P , q互質(zhì))，對(duì)于大于q的任意正整數(shù)n,是否都有an0成立，證明你的結(jié)論.(I) ai陰衣 1，a2 (：) (*)伊 1)6 1右ak21-213k所以an1所以_La1，從而42時(shí),1 11當(dāng)，2所以a2解得:.51i1，舍去)3時(shí),1 11當(dāng)_L3所以a22a10解得ai2(

16、a2112，舍去）解得a3.13=2時(shí)，即313114'34時(shí),舍去）9.已知數(shù)列an的各項(xiàng)均為正整數(shù),且a m川3、132綜上，集合Aa（川）結(jié)論成立.由a是有理數(shù)，可知對(duì)一切正整數(shù)n,an為。或正有理數(shù),Pn可設(shè)an-（Pn是非負(fù)整數(shù)，qn是正整數(shù)，且Pn。互質(zhì)）qnp臼，可得0qqi若Pn。，設(shè)qnPn(0Pn '則義-,而山an巴得，gnPnPnqn SnPn是非負(fù)整 數(shù)），故 Pn1Qn 1 Pn，可得 0 Pn1Pn互不相同且都小于m q），使得若Pn0則Pnl0,若a戶(hù)2,a3,aq均不為o，則這q正整數(shù)pn（n但小于q的正整數(shù)共有q1個(gè)，矛盾.故印&,a

17、3,©q中至少有一個(gè)為o,即存在m（1從而數(shù)列an中am以及它之后的項(xiàng)均為0,所以對(duì)于大于q的自然數(shù)n，都有an設(shè)集合Akx|xia,1或iO,或i1(1<k<n)okja成立，貝i稱(chēng)數(shù)歹fj a。 i 1性質(zhì)1若對(duì)于XAk，存在唯一一組id1,2,k)使X為完備數(shù)列，當(dāng)k取最大值時(shí)稱(chēng)數(shù)列an為k階完備數(shù)列。性質(zhì)2若記mk1<k<n),且對(duì)于任意x<mk,xZ，都有x人成立，則稱(chēng)數(shù)i1列an為完整數(shù)列，當(dāng)k取最大值時(shí)稱(chēng)數(shù)列an為k階完整數(shù)列。性質(zhì)3若數(shù)列an同時(shí)具有性質(zhì)1及性質(zhì)2，則稱(chēng)此數(shù)列an)為完美數(shù)列，當(dāng)k取最大值時(shí)a*稱(chēng)為k階完美數(shù)列；(I)若數(shù)

18、列an的通項(xiàng)公式為an2n1，求集合A?，并指出a分別為幾階完備數(shù)列，幾階完整數(shù)列，幾階完美數(shù)列；(n)若數(shù)列an的通項(xiàng)公式為an10n1»求證：數(shù)列務(wù)為n階完備數(shù)列，并求出集合力中所有元素的和Sn；(川)若數(shù)列an為n階完美數(shù)列，求數(shù)列an的通項(xiàng)公式。(I) A 4,3, 2, 1,01,2,3,4)an)為2階完備數(shù)列,n階完整數(shù)列，2階完美數(shù)列；(n)若對(duì)于x An，假設(shè)存在 2組i及i(in1,21)使*id成立，則有i 1i1002102n10n1do0 2io210Z，即1)10°(22)101n)10n10，其中n所以?xún)H存在唯一陽(yáng).(i1,2,n)使xa成立，即數(shù)列an為n階完備數(shù)列;則i1,0,1，所以X即Sn0°nn1,0,1)Sn0，對(duì)x/，*i，則xia(i)a，因?yàn)閕,則i(1,0,1，所以X即Sn（川）若存在n階完美數(shù)列，則由性質(zhì)1易知An中必有3n個(gè)元素，由（n）知代中元素成對(duì)出現(xiàn)（互為相反數(shù)），且oAn，又an具有性質(zhì)2，則An中3"個(gè)元素必為A3133 川“門(mén) “ m3n人（丁，丁，川他1川二3 3n 1n±)31).mnF面用數(shù)學(xué)歸納法證明an3n1顯然n1,2時(shí)命題成立，假設(shè)當(dāng)n1,k N）時(shí)命