1、第六章實數6.1 平方根（3課時）課程目標一、知識與技能目標1 . 通過對平方值的計算等確立平方根的意義、開方的運算。了解算術平方根與平方根 的區別與聯系。2 .對于任意有理數都能區分其“ + ”、”性，運用計算器已勢在必行。二、過程與方法目標采用類比平方值的求法，定義出平方根的概念，同時從這個過程可知一個什么樣的數 才具有平方根，這種數有幾個平方根？并比較這兩個平方根之間有什么關系？三、情感態度與價值觀目標1 .引導學生充分進行交流，討論與探索等教學活動，培養他們的合作與鉆研精神。2 . 了解無理數的發現過程，鼓勵學生大膽質疑，培養學生學習數學的熱情。教材解讀本節內容首先給出一個簡單的問題，

2、根據正方形的面積求出其邊長，由此引出求某數 的平方根的問題，在涉及到不能直接用已有的知識開方時，則引進計算器的使用方法，通 過計算器對任意正數進行開方。這樣將有理數與無理數溝通起來成為實數。學情分析上學期已經學習了有理數，對任何數的形式主義都能夠順利得到，同時也感知了 “互 為相反數的平方相等”，故由平方值去探索平方根的問題實際上只是互逆過程，只要求出 一個數的平方就可得知平方根的值。第1課時一、創設情境，導入新課玲玲家最近喜事不斷，家里新購了一套房子，全家歡歡喜喜地搬進新居，爸爸媽媽又 增加了工資。條件改善了，為了給玲玲一個好的學習環境，爸爸打算給玲玲買一張桌子供 她在家做作業。爸爸問玲玲：

3、“你喜歡長方形桌子還是正方形桌子？ ”玲玲認為正方形桌 子更大，可以多堆點書，又可以有足夠的位置寫字，所以她更喜歡正方形桌子。于是爸爸 根據她的喜愛為她購置了一張正方形桌子，玲玲量了量課桌的邊長為100cm,你能算出這張桌子的周長和面積嗎？當然可以了，？可是如果玲玲更直接地告訴爸爸“我想要一張面積約為125dm的正方形桌子”。？請問她爸爸能為她購置到滿意的桌子嗎？當然可以，計算正方 形的面積必須要知道正方形的邊長，根據邊長求面積是乘方運算，而根據面積求邊長又是 什么運算呢？這節課我們就來探討這個問題。二、師生互動，課堂探究（一）提出問題，引發討論1 .你能求出下列各數的平方嗎0,-1,5,2.

4、3,- ,-3,3,1, 一55能.0 2=0(-1) 2=152=252.3 2=5.29(- - )2= (-3) 2=952532=91 2=1(-)2= 5252.若已知一個數的平方為下列各數，你能把這個數的取值說出來嗎25,0,4, , ,- 1,1.6925 1444能.由于52 =25,(-5) 2 =25,故平方為25的數為5或-5.0 2=0,故平方為0的數為0.2 2=4,(-2) 2=4，故平方為4的數為2或-2.(-2)2= ,( 2)2=&，故平方為 £的數為士 -.525525255()2=,( ) 2=，故平方為 的數為士.12144121441

5、4412對于-1這個數，沒有哪個數的平方等于它，故平方為-1的數找不到.441.32=1.69,(-1.3)2=1.69,故平方為 1.69 的數是士 1.3.又如：課本P160中的問題：小歐要裁一塊面積為25dM的正方形畫布，由于正方形的面積為邊長的平方，而邊長不可能為負數，故此畫布的邊長應為5dm.依此可得正方形的面積若分別為1,9,16,36,4時，此正方形的邊長分別為 1,3,4,6,2 .255由以上討論發現，有時候我們已知一個數要求這個數的平方值時，只有一個,?也有些時候，我們已知某數的平方，要求出這個數，發現此時通常可找到兩個數，且這兩個數是互為相反數，而如果是已知某物的面積求其

6、邊長時，其邊長也只有一個值.?我們把已知平方值，求原數的問題稱為求這個數的平方根.(二)導入知識，解釋疑難1.教材內容講解欲確定某數的平方根時，由以上過程發現，即使有兩個值,?這兩個值也是一對互為相反 數，因此實際上我們若求出其中一個值，另一個值也就可以根據求出的數再寫出它的相反數 ，我們就可先確定一個正數，把這個正數稱為所給數的算術平方根.一般地，如果一個正數 x的平方等于a,即x2=a,那么這個正數 x叫做a的算術平方根,a的算術平方根記為店，讀作“根號a”，a叫做被開方數.規定：0的算術平方根是0.區J 1求下列各數的算術平方根(1)900 (2)1 (3)49(4)196 (5)0 (

7、6)10-664解：(1) : 302=900,故900的算術平方根是 30,即,900 =30.( 7 ) 2= 49，故絲的算術平方根是86464(4) 142=196,故 196 的算術平方根是 14,即 7196=14.(5) 02=0,故0的算術平方根是 0,即 加 =0.(6) (10-3)2=10-6,故 10 的算術平方根是 10-3,即 J10" =10 3例2:勤儉節約是中國人的一種美德，濤濤的爺爺是個能工巧匠，他把兩張破損了一部分 的桌面重新拼接成一張完整的正方形桌面，其面積為169dm2.?已知他用的兩張小桌面也是鋸成了正方形的桌面，其中一張是邊長為5dm的小

8、板子,?試問另一張較大的桌面的邊長應為多少dm才能拼出面積為 169dm2的桌面？分析：邊長為5dm的正方形板子，其面積為25dm2,要拼出面積為169dmf的桌面，還需面積為169-25=144d m2的正方形桌面，故問題實際上轉化為求144?的算術平方根，JT44即=12.解：設另一張較大的桌面的邊長為 xdm,則有x2+52=159,x 2=169-25=144,而 122=144故144的算術平方根為 12,即444=12,即另一張桌面的邊長應為12dm.練習：1. 求下列各式的值：-44; J(-o.i)2 ;7081/004;,121解: 444=1.2 J(-0.1)2 =/00

9、?=0.1 0.81 - 0.04 =0.9-0.2=0.7 若(a-1) 2+b-9 =0,則b的算術平方根是下列哪一個()aA. 1 B. ± 3C.3D.-33分析：由于(a-1) 2>0.b-9> 0,(a-1) 2+ b-9=0 時，有 a-1=0 且 b-9=0,a=1,b=9,. b = 9=9，故b的算術平方根是3.a 1 a3."有意義嗎?為什么？分析：J二7無意義，因為任何數的平方都是非負數，即a2 > 0,故47無意義.2. 探究活動(1) 當a為負數時，a 2有沒有算術平方根？其算術平方根與 a有什么關系？當a為正數時，a 2 的算

10、術平方根如何表示？a為0呢？舉例說明你的結論.c 1(2)x2-x+ 是否有算術平方根？如有請寫出其算術平方根，如沒有說明為什么？解：當a為負數時,a 2為正數，故a2有算術平方根，如a=-5時，a 2=(-5) 2=25,4a = V25 =5,5是-?5的相反數，故a2<0時,a的算術平方根與 a互為相反數，表示為-a.當a2為正數時，a的算術平方根表示為7a ,其值為a,即Va2 =a.當 a=0 時，Va2 =0工a(a 0)由此可知, a2 =|a|=0(a=0)-a(a : 0)(2) 因為(x- 1) 2=x2-x+1,而(x- 1)2一定是非負數，故x-x+也是非負數，故

11、x2-x+1有算2424術平方根，其算術平方根的值要視x的取值而定.當x> 1時,x 2-x+ 1的算術平方根為x- 1 .?242當x< 1時,x2-x+的算術平方根為-(x- - )=-x.2422( 三)歸納總結，知識回顧這節課主要就平方根中的算術平方根進行討論,?求一個數的算術平方根與求一個正數的平方募正好是互逆的過程，因此，求正數的算術平方根實際上可以轉化為求一個數的開平方運算.只不過，只有正數和0才有算術平方根，負數沒有算術平方根.練習設計（一）雙基練習1.某數的算術平方根等于它本身，則這個數為;?若某數的算術平方根為其相反數，則這個數為.2.求下列各式的值：0.16,

12、 .1；J （37 ,.0.25,.它3.3X-4 為25的算術平方根，求x的值.4 .已知9的算術平方根為a,b的絕對值為4,求a-b的值.（二）創新提升5 . 已知2a-1的算術平方根是3,3a+b-1的算術平方根是 4,求a、b的值.（三）探究拓展6 .若Jx -4與.4y互為相反數，求xy的算術平方根.參考答案1 .0,1 0; 2.0.4,6,3,0.5,10 -1（工）；3.x=35104 .a=3,b= ± 4,則 a-b=3-4 或 3-（-4）, 故 a-b=-1 或 7.5 .a=5,b=26 .x=4,y=4,xy=16,xy的算術平方根為 4.課后作業：第2課

13、時一、創設情境，導入新課某同學用一張正方形紙片折小船，但他手頭上沒有現成的正方形紙片，于是他撕下一 張作業本上的紙，按照如圖，沿AE對折使點B落在點F的位置上,?再把多余部分FEC而下，如果他事先量得矩形ABCD勺面積為90cm2,又測量剪下的多余的矩形紙片的面積為40cm2.?請根據上述條件算出剪出的正方形紙片的邊長是多少厘米將原矩形紙片的面積減去剩余的矩形紙片的面積即為正方形紙片的面積，？正方形紙片的面積為 90-40=50cm2,而正方形的面積為邊長的平方，要求正方形的邊長就得算出多少的平 方等于50,但我們知道 72=49,8 2=64,50這個數既不是 72,也不是82,由于49&l

14、t;50<64,故此正方 形的邊長應大于 7而小于8.到底它為多少呢？它是一個小數嗎？你有什么辦法確定這個值呢?這一系列問題正是我們這節課要討論的問題二、師生互動，課堂探究（一）提出問題，引發討論在實際問題中，往往會遇到像上述ff形中的問題，如果在所學過的有理數中確實找不到合適的數的平方會等于所給的數，我們該怎么表示所給數的算術平方根呢？我們知道，若有正數X,使x2=a（a >0）,則x為a的算術平方根，記作x=而？,？于是若x2=50時（x為正數），則x=J50,而72<50<82,因此有7<J50<8,現在我們就來學習如何求病的近似值，J50是不是有理數

15、呢？（二）導入知識，解釋疑難1 .教材內容講解在上學期有理數的乘方運算中,?我們已經掌握了用計算器求一個數的平方的方法，現在我們要確定一個數的平方根，也可借助這種方法進行，？我們不妨用計算器驗證1.1 2,7.1 2=50.41,而 50.41>50,故 J50<7.1,再驗證 7.09 2=50.27>50,故 7<y50 <7.09,而1.2 8 2=50.12,7.07 2=49.98,故 7.07< J50 <7.08,接著繼續增加小數點后一位小數，如 7.071,計算7.071 2=49.99,而7.072 2=50.013,故7.071&l

16、t; J50 <7.072,如此繼續進行下去，可以發現將小數點后的小數位繼續增加下去，一直不能窮盡，都只能使7.07的平方值無限接近屈,因此發現，屈不可能化為我們以前學過的無限循環小數,?只能化為無限不循環小數而有理數只包括有限小數和無限循環小數或者整數，但J50卻不在這些數的范圍內，只能說癡這個數不是有理數，我們把這種數重新命名為“無理數”，于是數的范圍也就擴充了，是否我們可以直接用計算器來計算某一個正數的算術平方根呢？只要計算器上有“鍵或者" jy”鍵，它就可以用來求某正數的算術平方根了，但不同的計算器的按鍵順序不相同，只要按計算器的使用方法去按鍵，就可求出任意正數的算 術

17、平方根了 .快J 1：用計算器計算 J3136和J2, J5, J10的值.解：通過按鍵可得 J3136的值在計算器上顯示:56,為有理數.J2 J5 J10 "這些值都是有理數”，而事實上我們知道用平方募驗證它們的平方根時，卻怎么也找不到準確的數，使其平方為2、5、10,于是我們得出：這些數不是有理數，只是一個無限不循環小數即無理數.?通過計算器計算出的小數只能是這些數的算術平方根的近似值或最接近的值.運用計算器可以很方便地確定一個任意正數的算術平方根活動：怎樣用兩個面積為1的小正方形拼成一個面積為2的大正方形？求出其邊長.分析：將兩個面積為1的小正方形的面積相加得2,而要拼的大正

18、方形的面積正好為2,于是可知，只要將兩個小正方形剪開再重新拼合成一個正方形即能滿足要求.要確定新正方形 的邊長，我們就得確定 22的值大約是多少，我們知道12=1,2 2=4,故1< J2 <2,?也即是面積為2的正方形的邊長比 1大故比原小正方形的邊長大 ,?若沿原小正方形的對角線將兩個小三角 形剪開，得四個形狀、大小完全相同的小直角三角形，將這四個直角三角形的直角邊拼接起來得一個新正方形.（如課本圖10.1-1）使用計算器不僅能很方便地計算出任意一個正數的算術平方根,?而且還能使用計算器找到某些數的算術平方根之間的關系.快J 3: （1）求下列各數的算術平方根.0.000001

19、,0.0001,0.01,1,100,10000,1000000（2）利用計算器計算下列各式的值：J0.0625V0625V62576257625V6250J62500 ,并利用你的發現說出你能找到其中的規律嗎？把你的發現用自己的語言敘述出來點03、J300、J30000的近似值（已知J3 y 1.732）,你能根據 J3的值確定 V3q的 值嗎？解：（1）0.001 2=0.000001J0.000001 =0.001 依次可得出 J0.0001 =0.01,，西=0.1,.1=1, 、100 =10, 10000 =100, -.1000000 =1000從中發現被開方數在逐漸擴大 ，并且

20、每次擴大100倍,？其算術平方根也在逐漸擴大 ，但只 擴大10倍，于是猜測兩個正數之間如果滿足 b=100a,則有Jb =10 ja,（或者:?被開方數每擴 大100倍時，其算術平方根相應地擴大 10倍）-0.0625 =0.25Jo.625 弋 0.790576.25 弋 7.905762.5 弋 7.90577625=25J6250 R 79.057J6250 =250 J62500 弋 790.57比較相應的兩列數中的被開方數及其算術平方根，同樣可驗證在題（1）中的規律，而do.0625與Jo.625中的數開方數只擴大了10倍，它們的算術平方根之間沒有規律可循.?故若已知 J3 y 1.

21、732,可知 Jo.03弋0.1732,300弋億32, ,30000弋173.2,但不能知J30的值.2. 探究活動（1） 用一塊面積為 400cm2的正方形紙片，沿著邊的方向剪出一塊面積為300c辭的長方形紙片，你會怎樣剪？（2） 若用上述正方形紙片剪出面積為300cm2的長方形紙片，且其長寬之比為 3:2,?你又怎樣剪？根據你的剪法回答：只要利用面積大的紙片一定能剪出面積小的紙片嗎？解：（1）面積為400cm2的正方形紙片的邊長為20cm,沿著邊的方向剪出一刀，？使長方形紙片的面積為300cm2,則其寬為300+20=15cm,于是只要剪掉5cm寬的長方形紙片即可.（3） 若用上述正方形

22、紙片剪出面積為300cm2的長方形紙片，且其長寬之比為 3:2,?則可設其兩邊為3x和2x,則有3x - 2x=300,6 x2=300 x 2=50,x= J50 ,故長方形紙片的長為3550 cm,寬為2，505,而3，50>3*7=215,215比原正方形的邊長 20cm更長，這是不可能的.通過上述兩例發現利用面積大的紙片不一定能剪出面積小的紙片（ 三）歸納總結，知識回顧通過本節課的學習可知 ，并不是所有的正數的算術平方根都是有理數，這時我們既可以用“ ja”的形式表示，也可以用一個與ja的值接近的有理數替代，？于是可用計算器算出 這個數，但實際上，ja是一個無理數.練習設計（一）

23、雙基練習1 .用計算器求出下列各式的值.8955 12345-260.0.005372 .用計算器比較Y3J1與1的大小.3 . 在物理學中，用電器中的電阻R與電流I,功率P?之間有如下的一個關系式：？P=I 2R,現有一用電器，電阻為18歐，該用電器功率為2400瓦，求通過用電器的電流I.4 .用邊長為5cm的正方形紙片兩張重新剪開并拼接成一個較大的正方形，其邊長約為多少？（精確到0.01cm）（二）創新提升5 .某地開辟了一塊長方形的荒地，新建一個以環保為主題的公園.已知這塊荒地的長是寬的2.5倍，它的面積為60000米2.（1） 試估算這塊荒地的寬約為多少米？（誤差小于1米）（2） 若在

24、公園中建一個圓環噴水池，其面積為 80米2,該水池的半徑是多少？（？精確到 0.01)（ 三）探究拓展6.（1）任意找一個很大正數，利用計算器將該數除以3,將所得結果再除以3.隨著運算資料的增加，你發現了什么？換一個數試試，是否仍有類似的規律？（2）任意找一個非常大的正數，利用計算器不斷地對它進行開算術平方根,?你發現了什么？第3課時一、創設情境，導入新課同學們，你知道“神舟五號”載人飛船嗎？ “神舟五號”載人飛船于2003?年10月15日9時整，在中國酒泉衛星發射中心進行首次載人航天發射，由“長征二號”F型火箭點火升空，這標志著我國的航天事業又前進了一步，我國在世界上的地位也徒然而升了；當物

25、體達到11.2千米/秒的運動速度時能擺脫地球引力的束縛,?在擺脫地球束Zf的過程中，在地球引力的作用下它并不是直線飛離地球，而是按拋物線飛行,?脫離地球引力后在太陽引力作用下繞太陽運行，若要擺脫太陽引力的束縛飛出太陽系，物體的運動速度必須達到16.7千米/秒，那時將按雙曲線軌跡飛離地球，而相對太陽來說它將沿拋物線飛離太陽.經過計算，在地面上，物體的運動速度達到7.9千米/?秒時，該速度被稱為第一宇宙速度.第一宇宙速度與哪些因素有關呢？又是如何計算呢？二、師生互動，課堂探究（1） 前面在第一節課的學習中，我們計算過了很多互為相反數的平方，？發現這些數的平方值會相等，按照我們求正數x的算術平方根的

26、考慮，若x2=a，則x=聲稱為a?的算術平方根， 而x還有一個負值，又該如何稱呢？（2） 宇宙飛船離開地球進入軌道正常運行的速度要大于第一宇宙速度V1（米/秒）？而小于第二宇宙速度 V2（米/秒）,其中V1、V2滿足V12=gR,V22=2gR,其中g?是物理中的一個常數（重力 加速度）,g弋9.8米/秒2,R是地球半徑，R6.4 X 106米，如何確定V1、V2的值呢？它與算術平 方根有什么關系？下面讓我們來逐個分析吧 .（二）導入知識，解釋疑難(1) 一個數的平方等于16,這個數是多少，又怎樣表示呢？由于42=16,（-4尸=16，故平方等于16的數有兩個:4和-4,把4和-4叫做16的平

27、方根，記為4=06，則-4= - J16,把4和-4稱為16的平方根.一般地，如果一個數的平方等于 a,那么這個數叫做 a的平方根或二次方根,?即若x2=a, 則x為a的平方根，記為x=± 如3和-3是9的平方根，記為士 3是9的平方根，？表示為 ± 3=± 9 .把求一個數a的平方根的運算，叫做開平方，？而平方運算與開平方運算互為逆運算.根據這種運算關系，可以求一個數的平方根，例如當x2=1時,x= ± 1;當x2=16時，則x=± 4,當x2=36時,x= ± 6;當x2=49時,x= ± 7;當x2=，則士馬為的平方根

28、，依次可記為士 J1 , 士 J16 , 25525士 J36, 士 499，士 J-4,它們的對應關系如圖所示.: 25練習：求下列各數的平方根.(1)0.49 (2)49(3)81(4)0(5)-10036解：(1)因為 0.7 2=0.49,(-0.7)2=0.49,所以 0.49 的平方根為士 0.7,即士 J0.49 =±0.7(2) 因為(7)2= 49 (工)2=49 ,所以竺 的平方根為士 7,即± /竺=±7 636636366366(3) 因為 92=81,(-9) 2=81，所以 81 的平方根為士 9,即士，81 = ±9.(4)

29、 因為02=0，所以0的平方根為0,即士 J0=0.(5) 因為任何數的平方都不小于0,找不到平方為-100的數，故-100沒有平方根.將這些數的平方根與它們的算術平方根進行比較，正數(或0)的算術平方根只是它們的平方根中的一部分，是正數(或0)的那部分，？而負的那個值正好是算術平方根的相反數，進步可歸納出：正數的平方根有兩個，它們是一對互為相反數.0的平方根是0負數沒有平方根區J1:求下列各式的值，并根據這些值寫出各被開方數的平方根(2)-,819±100解：(1)因為 1.22=1.44,所以 J1.44 =1.2,1.44 的平方根為士 1.2,即士 J1.44=±

30、1.2.(2) 因為92=81，所以-J81=-9,81的平方根為士 9,即± J81=±9.(3)因為(3一)2=-9-,所以士 J-9-=± a,它正是一9-的平方根.100100 100100100故求正數的平方根時，只要知道它的算術平方根，就能確定了 ,?因為其算術平方根和算術平方根的相反數即為該數的平方根.?同樣如果知道某數的算術平方根的相反數，則該數的 平方根同日¥可確定.面對問題 中的“宇宙速度”，我們知道第一宇宙速度 v/=gR,其中g=9.8米/秒2,Rq 6.4 X 106 米,v 22=2gR,則有 V12弋 9.8 X 6.4 X

31、 106米 2/秒2弋 62.72 X 106 米2/ 秒 2=6.27 X 107米 2/ 秒 2.V 22弋 125.44 X 106米 2/秒 2=1.25 44 X 108 米2/秒2因此，V1是6.272 X 107的平方根，V2是1.2544 X 108的平方根.那么 V1=± J6.272X107 弋 ± 7.9 X 103 米/秒=±7.9 千米/秒,V2=± J1.2544M 108 弋± 11.2 X 103 米/秒=?± 11.2 千米/秒但在實際問題中，速度是一個比 0大的數，數學問題中不考慮速度的方向，故負值

32、不合題意,應舍去，實際上，在某些具體問題中，要根據得出的答案是否有意義而取值.快J 2:某矩形的面積為13200平方米，若其長是寬的3倍，試求出此矩形的長與寬分別是多 少米？解：設寬為x米，則長為3x米，其面積為3x2平方米故 3x2=13200 x 2=4400 解彳導 x=± J4400 =± 66.33但x為矩形的邊長應大于0,故x=66.33米,3x=198.99 米，即此矩形的長為198.?99米,寬為66.33米.2. 探究活動對于正數x和y,有下列命題：(1) 若 x+y=2,則 Jxy & 1 x+y=3,則 xy & (3) 若 x+y=6

33、,則 'xy & 3根據以上三個命題所提供的規律猜想：(1) 若 x+y=9,則，xy<.(2) 若對于任意正數 a、b,總有 JOb &.分析：當x+y=3時，有瓜 < -,從中發現分母為 2,分子為x、y的和，再驗證其它的等2式:x+y=2時，則jxy < 2=1.當x+y=6時，Jxy < =3.與已知相吻合，故有結論 m>0,n>0,22且 m+n=a時,？貝I mn- < a ,即 < m-n22x+y=9 時，則 Jxy < 9 , Vab & -22由此得 a+b>2, Ja +b 即(J

34、O- Tb )2>0( 三)歸納總結，知識回顧本節課針對平方根與算術平方根的意義具體地分析何種情形用平方根，？何種情形用其算術平方根，得根據實際情況選擇答案.練習設計（一）雙基練習1 .J16的值為多少？16的平方根為多少？的平方根呢？2 .如果一個正數的一個平方根為4,則另一個平方根為多少？3 .有一長方形花壇，長是寬的4倍，其面積為25m2,求長和寬.1c 11114 . 若（a- ）2= F+a2-2,現老師布置了一道化簡題：+ J一十a2 2 （a=）.甲、？a aa ； a5乙兩同學很快地寫出其解答過程：用 112 o 1,12 11_ 2甲：一+ .； 2a -2= + J

35、a） = + - a= - a,a aa . a a a a當 a=1 時，2-a=10- 1=9-5 a 5571120 1/ 1.211 _ _ 1乙：一+. 2a -'2= + ,（- a） = +a- - =a=a .a2a , a a a 5誰的答案是對的？為什么？（二）創新提升5 .已知a= J2-1,b=2 板-J6,c= 76-2,試比較a、b、c的大小.（不用計算器）（三）探究拓展6 .若底的整數部分為a,小數部分為b,求a、b的值.參考答案6.4, ±4, ± 2 2.-4 3.長為 10m,寬為 2.5m4 .甲的答案是對的，因為a=1時，1&

36、gt;a.5 a5 .因為3>2應,所以 a-b=店-1-拒=-3+3-1- 72> 小3+2亞-1- 72 = Tb/2+1)2 -1-6,而 c-a=1 6 -1- 1- 2 =a-b>0b<a<c6 . .底<后<底5< 、35 <6J35的整數部分為5,小數部分為有5-5,即a=5,b= J35-56.2 立方根（1課時）課程目標一、知識與技能目標1 . 了解立方根的概念，能夠用根號表示一個數的立方根.2 .能用類比平方根的方法學習立方根，及開立方運算，并區分立方根與平方根的不同.二、過程與方法目標用類比的方法探尋出立方根的運算及表

37、示方法，？并能自我總結出平方根與立方根的異同.三、情感態度與價值觀目標發展學生的求同存異思維，使他們能在復雜的環境中明辨是非，并做出正確的處理.教材解讀由正方體的邊長與體積的關系引出立方運算，轉入立方根運算.于是發現立方根運算與立方運算互為逆運算，很容易聯想到平方運算與平方根運算之間的關系，于是立方根的表示，運算等問題就留給同學去發現.學情分析在學習完平方根運算后繼而學習立方根運算,?通過列舉一些有代表意義的數求立方運算可發現立方根比平方根更容易掌握一、創設情境，導入新課勞動節即將來臨，學生們紛紛給他們敬愛的老師奉獻他們的心意，劉老師所任教的兩個班的科代表一同前往老師辦公室，他們手中捧著兩個形

38、狀、？大小一模一樣的禮盒，并對老師說：“我代表我班的同學向老師敬禮，并以此小禮物代表我們對老師的敬意”.說完，兩個科代表相視一笑，請老師猜一猜里面裝的東西是否一樣，里面物體的體積是否一樣.老師知道，他們葫蘆里肯定又要賣什么藥了,?就鄭重其事地說出兩個盒子的大小形狀雖然一樣，但里面所裝的物體的形狀肯定不一樣，并且它們的體積也相同，但一定有其它不相同的地方.劉老師打開紙盒一看,?發現里面裝的果然是兩個不同形狀的水晶一樣的透明飾物，一個是圓球形的，一個是正方形，并且盒子里面各有一張紙條內容相同，經過測算，其體積為125cm2.同學們，你們知道這兩個飾物除了形狀不同以外還有什么不同嗎？那就是球的半徑與

39、正方體的邊長，你能求出這個半徑和邊長嗎？要求出這兩個量，？我們就來學習開方中的另一種運算：開立方運算.二、師生互動，課堂探究(一)提出問題，引發討論在學習平方根的運算時，首先是找出一些數的平方值，然后才根據其逆運算過程確定某數的平方根，同樣，我們先來算一算一些數的立方.2 3=；(-2)3=； 0.5 3=;(-0.5)3=；(2 ) 3 =；-( 2 ) 3?=； 0 3=.3 3(1) 經計算發現正數,0,負數的立方值與平方值有何不同之處 ？2 3=8;(-2)3=-8; 0.5 3=0.125;(-0.5)3=-0.125;( ) 3=; -( )3=- -; 0 3=0.327327我

40、們發現，求立方運算時，當底數互為相反數時 ，其立方值也是一對互為相反數，這與平方運算不同，平方運算的底數為相反數，但其平方彳t相等，故一個正數的平方根有兩個值 ，但一個正數的立方根卻只有一個值了，什么是立方值呢？類似平方值定義可知，若x3=a則x為a的立方根，記為尋三，讀作三次根號a.負數沒有平方根，負數有無立方根呢？從(-2) 3=-8,(-0.5)3=-0.125,(2) 3=-,可知負數有立方根,?并327且其立方根仍為負數.(2) 開平方與平方運算互為逆運算，同樣開立方與立方運算也互逆,?故請根據上述等式，寫出這些互為相反數的立方根.8的立方根為2,-8的立方根為-2,記為尋8 =2,

41、18=-20.125的立萬根為0.5,-0.125的立萬根為-0.5,記為3/0.125 =0.5,3-0.125=-0.5的立方根為一,-的立方根為27327,記為30 的立方根為0,記為3/0 =0上述過程都是求一個數的立方根的運算，把求一個數的立方根的運算，叫做開立方，開立方與立方運算互為逆運算.故正方體的體積為125時，其邊長為 痂5 =5,而球的體積為 4n r3 =125 時，r 弋3.1.3(二)導入知識，解釋疑難1. 例題求解既然正數的立方是正數，負數的立方是負數，那么正數的立方根為正數,?負數的立方根為負數，同樣0的立方是0,則0的立方根是0,可記為 青 =a（a為任意數），

42、或者若a3=M,則有 3M=a，其中M為被開方數,3為根指數，且根指數為3時，不能省略，？只有當根指數為 2時, 才能省略不寫.故課本P50探究中，3/8 =-2,- %=-2,由此得工8二-雙，又 3T7 =-3,- 327 =-3,由此得 工27 =-際于是可歸納出其規律 ：J-a =- y/a,而，-a , JW的意義不同，其值也不同，若a>0時,-后表示a的算術平方根的相反數la無意義；若a<0,則-Ja無意義.快J 2:求下列各數的立方根。-27; 27；-0.216。64解：（-3） 3=-27,3/27 =-3;(-0.6)3=-0.216,3 -0.216 =- 3

43、 0.216 =-0.6.練習：(1)求下列各數的立方根：08-6481- 1?36解： Vq =0; Vs =2； V-64 =-4；81- ,36=81-6=75;V75 弋 4.22; 比較-4、-5、-折00的大小.解：: 43=64,5 3=125,64<100<125,4< 3 100 <5,故-4>- 3100 >-52. 探究活動若正方體的棱長為 1,則其體積為1;若正方體的棱長為2,則其體積為8;若正方體的棱長為4,則其體積為64;若其棱長為8,則其體積為512當棱長為2n時,？其體積為多少？ 某正方體的體積為1時,其棱長為1;體積為2時,

44、棱長為32 ;體積為3時,?棱長為 ；若體積擴大到原來的n倍，則棱長擴大多少倍？解：正方體棱長為 1,則體積為1,棱長為2,體積為8,比較兩者棱長擴大了 2倍,？體積 擴大了 8倍，棱長又擴大了 1倍，其體積相應增大 7倍，為原來的8倍,?故當棱長為2n時,體 積為8n3.當體積擴大到原來的n倍時，棱長擴大到原來的 赤倍.（ 三）歸納總結，知識回顧這節課學習了立方根的概念 ，立方根的表示方法以及如何求一個數的立方根.用計算器求任意數的立方根時，只能先求出該數的絕對值的立方根 ，再根據任意數的正負性決定其值 ， 注意區分平方根與立方根 .練習：（一）51 頁 1; 52 頁 2, 31. 某數的

45、立方根等于它本身，這個數是多少？2. 求下列各數的立方根：（1）-1+ -61 ;640001263 .某金屬冶煉廠將 27個大小相同的立方體鋼鐵在爐火中熔化后澆鑄成一個長方體鋼鐵 此長方體的長，寬，高分別為160cm,80cm和40cm,求原來立方體鋼鐵的邊長4 .有一邊長為6cm的正方體的容器中盛滿水，將這些水倒入另一正方體容器時,?還需再加水127cm3才滿，求另一正方體容器的棱長.參考答案80 cm 4.7cm31 . 這個數為0, 士 12 .（1）-4 （2）403.56.2 立方根（2課時）1000倍時，它的立方根擴大（縮?。?0倍。173 頁 10, 11作業：57頁2, 4。

46、答：被開方數擴大（縮?。?課堂練習：1。171 頁你能從中找到什么結論，并證明你的結論.2 .觀察下列各式是否成立小尹3 .設 1995x3=1996y3=1997z3,xyz>0,國3/1995x2 +1996y2 +1997z2 = 3/1995 + 3/1996 + 1997，求1 十1 +1 的值. x y z參考答案2.7=8-1=23-1 26=27-1=3 3-1 63=64-1=4 3-1 124=125-1=5 3-1猜測 3m + =n J-zn (n=1,2,3, ),n3 -1, n3 -13n|_n n3 -13 n3n-13.令 1995x3=1996y3=1

47、997z3=k,k 豐 0,則1995=-k ,1996=3x，1997=-，而 x>0,y>0,z>0,k3 , 111所以一 一 一=(xyz-）3,解得： z一=1.x y z6.3實數（1）、教學目標（一）知識目標1 .了解無理數和實數的意義，掌握實數的分類，能夠判斷一個數是有理數還是無理2 .掌握有理數的運算法則在實數運算法則中仍適用（二）能力目標通過實數的分類，使學生進一步領會分類的思想（三）情感目標1 .由實數的分類，滲透數學分類的思想2 .數形結合體現了數學的統一性的美.二、教學重點和難點教學重點：使學生了解無理數和實數的意義及性質，實數的運算律和運算性質教學

48、難點：無理數意義的理解.三、教學方法講練結合四、教學手段投影片五、教學活動設計(一)復習提問什么叫有理數？有理數如何分類？由學生回答，教師幫助糾正：1 .整數和分數統稱為有理數.2 .有理數的分類有兩種方法：第一種：按定義分類：第二種：按大小分類：(二)引入新課同學們，有理數由整數和分數組成，下面我們用小數的觀點來看，整數可以看做是 小數點后面是0的小數，如3可寫做3.0、3.00;而分數，我們可以將分數化為有限小 數或無限循環小數，由此我們可以看到有理數總是可以用有限小數或無限循環小數表示。3 9-1=0.6-= 0.81如3=3.0,5,11，但是是不是所有的數都可以寫成有限小數或無限循環

49、小數形式呢？答案是否定的，我們來看這樣一組數：我們會發現這些數的小數位數是無限的，而且是不循環的，這樣的小數叫做無限不循環 小數，顯然它不屬于有理數的范圍.這就是我們今天要學習的一個新的概念：無理數.1 .定義：無限不循環小數叫做無理數.請同學們判斷以下說法是否正確？(1)無限小數都是無理數.(2)無理數都是無限小數.(3)帶根號的數都是無理數.答：(1)錯，無限不循環小數都是無理數.(2)錯，無理數是無限不循環小數.現在我們不僅學過了有理數，而且又定義了無理數，顯然我們所學的數 的范圍又擴大了，我們把有理數和無理數統稱為實數，這是我們今天學習的 又一新的概念.2 .實數的定義：有理數和無理數

50、統稱為實數.3 .實數的分類：對于實數，我們可按定義分類如下：由上述分類，我們發現有理數和無理數都有正負之分，所以對實數我們還可以按大小分類如下：對于這兩種分類的方法，同學們應牢固地掌握.4 .實數的相反數：如果 a表示一個正實數，那么-a就表示一個負實數，a與-a互 為相反數，0的相反數依然是 0.由上述定義，我們看到實數的相反數概念與有理數相同.其實不僅如此，絕對值的 定義也是如此.5 .實數的絕對值：一個正實數的絕對值是它本身；一個負實數的絕對值是它的相反數；0的絕對值是0.用數字表示仍可表示為：6 .實數的運算：關于有理數的運算律和運算性質，在進行實數運算時仍然成立.在實數范圍內可進

51、行加、減、乘、除、乘方和開方運算.運算順序依然是從高級到低級.值得注意的是在 進行開方運算時，正實數和零可開任何次方，負數能開奇次方，但不能開偶次方.(3)若| x | 二兀，求x值.例2?判斷題：(1)任何實數的偶次哥是正實數.()(2)在實數范圍內，若| x | = | y | ,則x=y.()(3)0是最小的實數.()(4)0是絕對值最小的實數.()解：(1)錯，0的偶次幕是0,它不是正實數.(2)錯，若 x=3, y=-3 ,則滿足 | x | 二 | y | ,但 xwy .(3)錯，負實數都小于 0.(4)對，因為任何實數的絕對值都為非負實數，0自然是絕對值最小的實數.六、總結今天

52、我們學習了實數這一新的內容，請同學們首先要清楚，實數我們是如何定義的，它與有理數是怎樣的關系，再有就是對實數兩種不同的分類要清楚.并應對照有理數 中有關相反數、絕對值的定義以及運算律和運算性質，來理解在實數中的定義和運用.七、作業教材P. 57練習3、4、5、66.3實數(2)一、 教學目標：(一)知識目標：了解實數絕對值的意義，了解實數與數軸上的點一一對應的關系(二)能力目標：通過實數與數軸上的點一一對應關系，使學生了解數形結合思想，提高思維能力.（三）情感目標：由實數與數軸的一一對應關系，滲透數形結合的思想二、教學疑點及解決辦法：數軸上的點與實數是一一對應的為疑點，教學中應充分注意對實數分類的講解，并結合數軸畫圖說明、實數稠密性三、教學活動設計（一）復習提問1 .有理數、無理數、實數的概念.2 .實數的分類.（兩種方式）例1把下列各數寫入相應的集合中：以上內容應由學生自己先做，再由學生自己來糾正錯誤.教師再做適當提示。特別1 I要注意有的學生一看不到不能化成有限小數