1、2015年大連市高三雙基測試數學（理科）參考答案與評分標準說明：一、本解答給出了一種或幾種解法供參考，如果考生的解法與本解答不同，可根據 試題的主要考查內容比照評分標準制訂相應的評分細則.二、對解答題，當考生的解答在某一步出現錯誤時，如果后繼部分的解答未改變該 題的內容和難度，可視影響的程度決定后繼部分的給分，但不得超過該部分正確解答應 得分數的一半；如果后繼部分的解答有較嚴重的錯誤，就不再給分.三、解答右端所注分數，表示考生正確做到這一步應得的累加分數.四、只給整數分數，選擇題和填空題不給中間分.(1) A; (2) C; (3) D; (4) A;(5) D; (6) D; (7) B;

2、(8) C; (9) A; (10) D;(11) C;(12) B.二填空題(13) 7 (14) 3 ; (15)95_26三.解答題(17)解：(I) 0 an噌 =-an2an 1二工=2a1,化簡得。=2 十 , an 1anan 1anr i_11_ , ,1-，、一 即 -=2 ,故數列是以1為首項，2為公差的等差數列 6分an+ an©n.(n )由(I)知工 =2n -1,所以 Sn = n(- = n2. 8 分an2證法111111111 1111(2-3)(-總）=1 -12分S1S2Sn12 22n21 2 2 3 n(n 1)證法二：（用數學歸納法）當 n

3、=1時，=1, =-不等式成立.S1n 1 2假設當n = k時，不等式成立，即111 k+ + + >S1S2Skk 11111 k 1則當 n = k +1 時，則+ +一JS1 S2Sk Sk 1 k 1 (k 1)2占 k 1 k 11111 k1=12 12"20k 1 (k 1) k 2 k 1 (k 1) k 2 k 2 (k 1) (k 2)(k 1)+ + *+ +葉S1S2SkSk 112分二原不等式成立.一， 111111 一，,n證法二： 十十十 =+ + , , + > 1,又因為 1 >,S1 S2Sn 12 22n2n 1 111 n所

4、以+ + ,<, + > . 12分S1 S2Snn 1（18）解:（I）系統抽樣.這40輛小型汽車車速眾數的估計值為 87.5 ,中位數的估計值為87.5. 2分（n）車速在80,90）的車輛共有（0.2 +0.3） X40= 20 輛,速度在80,85） , 85,90） 內的車輛分別有8輛和12輛.記從車速在80,90）的車輛中任意抽取 3輛車，車速在80,85）內的有2輛，在85,90）內的有1輛為事件A,車速在80,85）內的有1輛，在85,90）內的有2輛為事件B,則 P(A +RB) =C8C12C8C22"cr+-cr=86411407295.（出）車速在

5、70,80）的車輛共有 6輛，車速在70,75）和75,80）的車輛分別有 2輛和4輛，若從車速在70,80）的車輛中任意抽取 3輛，設車速在75,80）的車輛數為X,則X的可能取值為1、2、3.C2X C441P(X= 1) = -c6-=2q'= 5,C1XC4 123P(X= 2) = -C1=2F= 5,P(X= 3)=C°X c441C620 5'故分布列為X123131P555.車速在75,80)的車輛數的數學期望為E(X) = 1X5 + 2X g+3X 5=2.12分IZAyDEQ ABCD 為正方形，, CD -LAD ,(19)解:(I ) O A

6、E _L 平面 CDE , CD u 平面 CDE ,Q AEI AD=A, AD,AE=平面 DAE,- CD _L平面 DAE(n )Q DE 匚平面 DAE , CD 1 DE二以D為原點，以DE為x軸建立如圖所示的坐標系, 則 E(2,0,0), F(1,0,0), A(2,0,2), D(0,0,0)Q AE _L平面 CDE , DE 匚平面 CDE ,，AE -L DEQ AED E=2,二 AD =2衣QABCD 為正方形，CD=2j2,，C(0,2j2,0)由ABCD為正方形可得:uuiruuru uur_DB = DA+ DC=(2,2R2),，B(2,2衣2)ur設平面B

7、EF的法向量為n1 =(,y1,z1)uuu_ uurBE =(0,-2 J2, -2) , FE =(1,0,0)ur uuun BE = 0 I-2 . 2yi -2乙=0由 <ur uuu =4，令 yi =1 ,則 zi =-<2n FE =0X =0ur(0,1,- -2)設平面BCF的法向量為uun2 = (X2 , y2, z2) ,uuirBC =(-2,0,-2),uuirCF= (1,-22 ,0)ur uur,n2 BC =0-2x2 -2z2 =0由 Wuu uur = ，令 y2 =1 ,則 x2 = 22n2 CF =0X2 - 2 丹=0z2 -2,2

8、.S =(2 .2,1,2 2)設二面角C -BF E的平面角的大小為 日，則ir uur _ ur uuur ur n ncos) =8s(i n1,n2 ) =-cos： n1,n2 = -ur-1 nr-Innll 2I 14_ 5 51一31751面角C - BF -E的平面角的余弦值為5.515112分(20)解：(I)設直線 I 的方程為：x = my+2,點 A(x1,y1)，B(x2,y2).x = my + 2,9聯 立 方 程 組 ,o得 y 2pmy4p = 0y =2px.y1 +y2 =2pmy,y y2 = -4p .yiy2yiy22my1y2 4(yi y2)k

9、1 k2 = = 二x1 2 x2 2 my1 4 my2 4 (my1 - 4)(my2 - 4)-8mp 8mp n=0 -4p yiy0yiy。(myi 2)(my2 2)(n )設點 P( x0, y0)，直線 PA: y - y1 = -y1y0 (x - x1),當 x = 2 時，yM = xi - x04p y2y00 八同理yN =6分y2 y因為撥搠=2, 4十八丫乂=2,一4"四"»-0=-2, y2 y0yi y016p2 -4py0(Y2 yi) y2yiY2 _。i6p2 -8p2my0 -4py2 _2 2)2 2NNi Y0(Y2

10、yi) y°-4p 2Pmy° v。i2p =一,拋物線C的方程y =x. i2分2(2i)(本小題滿分i2分)(i) f(x) =xeax(a >0),則 f '(x)=iaeax令 f '(x) = i -aeax =0,則 x = In a axii(0°, - In 一) aai i-In - a a1 . i -、(In -，+*)a a廠(x)+0f(x)Z極大值1 i、ii故函數f(x)的增區間為(8,一In )；減區間為(一In ,十望). aaaa(2)當 11nl 之2,即 0<a W 4時，f(x)max= f(-

11、) = 2-e2, a a aea a7, iii2iiiiiii當 一<_|n _ M_ 時，即 3 <a<一 時，f (x)max = f (_ In _) =_|n , aaaaeeaaaaa7, 111111當一In - W 一時，即 a 一時，f (x)max = f () = - -e. 8分aaaea a 111111(3)若函數f(x)有兩個零點，則f( In)= In>0,即a c,aa aaae11111而此時，f(一)=e>0,由此可得 x1 < - < - In - <x2,aaaa a拓1.11.1 “ ， 1、故 x2

12、 -x1 > In -,即 x1 x2 < 一 (1 ln ), a a aa a又Q f(xj =x1 -eax1 =0, f(x2) =x2 -eax2 =0xeax1,、a(1(1_ln)x1 _ e _ Qax1_ Qa(X 3)a' a' _ln(ae) , oq_ xT _ e e<e e ae. 1x2e 2(22)證明：(l)連結 AB,ABPE 四點共圓，NABC=NE.又/ABC=/ADC,./ADC=/E , A,D,M,E 四點公圓.5 分(n)法一：連結 BN, . /PNB =/PAB =/C , /BPN=/NPC,八 PB PN

13、 2.PNBsAPCN,匚B =» , . pn 2 = PB PC . 10分PN PC法二：連結 PN, AN .由(I)知 ZPDN =/E,/PDN =/E=/PNA,又_PD PN2/APN =/NPD , APDN sAPNA. .=，. pn2 = pd pa, pn pa2PB PC=PD PA,. pn =PB PC. 10分（23）解：（i）直線l的極坐標方程為：Psin（+日）=4,3x = 2cos -.曲線C的參數方程為x（0為參數）.y =sin f.(n) 曲線C的點P (2cos,sinB)到直線l ： J3x + y2 = 0的距離|23cos> sin - -2| |2 3cos- sin? - 21sin30-=卜 13sin(i >)-2當 sin(e+ot)=1 時，|PA|max = A + 2 ;當 sin（二：）二2.12 ,'時1PAim舊10分(24)證明：因為x,y是正實數，所以(x2y + x + y2) 2 3yxy2 M yxx2 =3xy ,當且