1、第一章典型的推導即皋本概念本章討論偏微分方程及此定解問題冇關的茲本概念和物理模熨，討論某些一般性的原 理、方法。這樣，對從總體上了解課程的特點、內容、方法有重要的作用由于我們耍討論 的這些偏微分方程都來自物理問題，因此我們先研究如何推導出這些方程，并給出相應的定 解條件。圾后簡單地介紹一卜二階線性偏微分方程的分類。1.1弦振動方程與定解條件數學物理方程中研究的問題-般JI仃卜両兩個：一方而是描述某種物理過程的微分方 程：另一方而是表示一個特定的物理現象的具體的表達式。我們通過推S弦振動方程引入這 些概念。1.1.1方程的導出設冇一根理想化的眩，ft橫截面的直徑與弦的長度相比非常小，整個弦可以任

2、意變形, 其內部的張力總是沿著切線方向。設其線密度為p ,長度為Z,平衡時沿點線拉緊，除受不隨時間變換的張力作用及弦本身的朿力外，不受外力的影響。卜面研究弦作微小橫向振動的規律。建立坐標系如圖11, 所謂橫向，是指運動全部在某一包含X軸的、卜面內進行，H在振動過程中，弦上各點在X 軸方向上的位移比在u軸方向上的位移小得多，前者町以忽略不計。因此用時刻£、弦上的 橫坐標為x的點在"軸方向上的位移u(x9t)來描述弦的運動規律。所謂“微小”，不僅指振動的幅度u(x,t)很小，同時認為切線的傾角也很小，即F時刻，任選一段眩，其每一點的位置如圖11所示。其中u(x,f) = |MN

3、|，且弧 M'M = ds現在建立位移滿足的方程。首先，我們將弦段上的運動，近似認為一個質點的運動。根據牛頓運動定律，我們得到在X軸方向，弦段阿受力總和為Fx = -T cosa+ T'cosa因為弦只作橫向振動，在x軸方向沒仃位移，因此合力為0,即一 Tcosa+ 7rcosa= 0由J是微小振動因此go；近似為0【大I此由泰勒公式x? x4COSX = 1+ + 2!4!cosa« cosar«1當略去打階無窮小時，有代入(1.1.1)可以得到T=Tf在以軸方向上，弦段受力的總和為F“ = - Tsin a+ T9sin a 一 pgdssin a &#

4、171; tan a =dz(x/)sin a « tan a =dii(x + dx.t)由=卜(警與dx z弧段陋岡在r時刻，沿丸方向運動的加速度近似為丁),三為弧段陋昭的質心。所-Tsnia+ rsina-pgdx = pdx-Pg舐 Q pdx。1笄)由微分中值定理可得九(x + &dxj) IJ J d2u(x,t)一總一杵卡d"w令dVTO,得到d2u(x,t)d2u(x,t)丁飛廠卡十Wdt2T d2u(x.t) _ d2u(x,t)丄 c *»>+ gp dr通常情況卜，張力較人時弦振動速度變化很快，即孚比g人很多，所以g可以略去。令

5、 arT=-得到(1.1.2)2 d2u(x,t) _ d2u(x,t)忒dr稱式(i.i.2)為振動方程,未知函數u只含有兩個變量斗,其中r表示時間,x表示空間 位宣，因此該方程又叫i維波動方程。在振動過程屮，如果弦上還受到一個與振動方向平行的外力，r時刻弦上x點處的外力密度為利用上述推導過程得到dzu(x.t)&2dzu(x.t)dt2(1.1.3)式«|«/(x,O = -F(x,0 ,表示r時刻單位質量的弦在x點處所受的外力，與函數u(x9t)無 P關的項/(x,f) 乂稱為自由項。含右非零項的方式(1.1.2)稱為齊次一維波動方程程為非齊次力程，若/(xJ

6、)=O則稱為齊次方程。式(1.1.3)稱為罪齊次一維波動方程。1.1.2定解條件一般弦線的特定振動狀態還依賴r初始時刻弦的狀態和通過弦線兩端所受外界的影響。 為了確迄一個幾體的弦振動的規律，除了列出方程外，還盂要寫出它滿足的初始條件和邊界 條件，我們稱之為定解條件。初始條件，即初始時刻£ = 0時.弦上各點的位移和速度。(1.1.4)(1.1.5)u(x,0|r=o = (p (0 <x <l)比=0(x) (0<x</)式中，e(x)"(x)為已知函數，當0(x) = p(x) = O時，稱Z為初始條件。對r變帚X,為了確定弦的振動還需給出邊界條件

7、.由物理學可知，弦在振動時，梵端 點(以x = l表示這個端點)所受的約束情況通常有以卜三種。固定端。即弦在振動過程中，該端點始終周定不動，位移是0。對J這種狀態的邊界條 件為u(x,Q = 口 = 0或 u(l,t) = 0口由端。即弦的這個端點町以在垂直J：x的軌道上口由滑動，不受垂直方向的外力，從 而該端點在位移方向上的張力為零。對此種狀態的邊界條件為dit介avdie彈性支撐端。即弦的一個端點固定在彈性支撐上，彈性支撐伸縮符合胡克定律如果彈 性支撐原來的位移為u = 0,則M y表示彈性支擰在該心的伸匕 此時弦燉支擰的拉力，在垂貢方向的分磧為應該等于創M ,即或式屮，(y = k!T.

8、k為彈性支撐的倔強系數。從數學的角度來看，歸納為更一般的請形。 若在邊界r上直接給出未知函數比的數值，即ur = /i(0這種情形的邊界條件稱為第一類邊界條件。若在邊界F上直接給出未知兩數m沿的外法線方向的方向導數，即同樣，稱若£（0 = 0（2 123）為寒，則稱為齊次邊界條件，否則稱之為非齊次邊界條件。如果我們考慮一塊平面薄膜的微小振動，則會得到二維波動方程 d2u ? d2u-T7r="（V7r+Tr）同理,我們可以得到三維波動方程1.2熱傳導方程和運解條件眾所周知，如果空間某物體G內并點處的溫度不同，則熱帚就會從溫度較高的點向溫 較低的點流動，這種現彖就叫熱傳導。我

9、們用俶x,y,二/）農爪物體內部在£時刻的溫度。卜而我們推溫度換數"滿足的方程。我們首先考慮一個含冇點（x,y,二）的小區域的溫度，然 后再設法過渡到點（x,兒二）的湍度。1.2.1方程的導出熱的傳播滿足傅立葉實驗定律:物體在無窮小時段曲內,流過一個無窮小面積曲的熱 就dg與時間&、曲而的而積dS以及物體的溫度m沿曲面dS的法線方向的方向導數色三 dn 者成正比，即(1.2.1)dg=-Ardfi式中，七=任（心兒二）稱為物體在點（心兒二）點的熱傳導系數。由J：熱杲的流向與溫度的梯度 方向相反，所以上式中何了一個負號。在物體G內部任取一閉曲而工，它所包用的區域記為G

10、,則從®到乙，經過曲面工 流入G的熱看為(1.2.2)流入的熱帚使G內部的溫度發牛了變化，在時間間隔©吐J中區域內部各點的溫度M(X,y,二山)變化到"(X,二厶)，這-過程所需要的熱磺為Q. = jjjcpu(x,y,r,)-u(x,y,s,f2)dr(1.2.3)Q 式中，C為物體的比熱，。為物體的密度。址=JJJcpu(x,兒二,tj-iz(x,y,二2)d7(1.2.4)如果物體內部沒冇熱源.則由熱斎守恒可得q = a 則假設因數比關J：4兒二八有二階連續導數，關有一階連續導數，則利用Gauss公式右d + dz購J：凱北J：是得到心：即d-±d

11、tdv氐丿± J;A與區域G是任恿選的，且被積函數是連續的,dudii_AdtOz dz(1.2.5)若物體是均勻的則gp均為常數，記lc/cp = a則(1.26)diid2u d2u d2ujdtdx2dz2若物體內部自熱源，其密度為F(xyyt)則相應的熱傳導方程為dudtd2u d2u d?-+dF +(1.2.7)式中我們稱（1.2.6）式為齊次熱傳導方程.而式（1.27）為非齊次熱傳導方程。當我們考慮 的対象是一根均勻的細桿時，它的側面絕熱，IL在同一橫截面上的溫度分布是相同的，則桿 上的溫度M只與X/有關，這樣可以得到一維熱傳導方程dudtd2u(1.2.8)同樣，若考

12、慮個薄片的熱傳導，則得到二維熱傳導方程(1.2.9)dti d2u d2uhdt 腫加在我們研究氣體的擴散.液體的滲透，半導體材料中雜質擴散等物理過程中,若用#表 示擴散物質的濃度，則濃度"滿足的方程在形式上與熱傳導方程一樣。這樣，我們也把這類 方程叫做擴散方程。1.2.2定解條件対一個特定的熱傳導過程，僅知道溫度"所滿足的方程是遠遠不夠的，還需知道初始 條件和邊界條件。初始條件為u（x,y,z，0|z=o = 0（心兒二）（1-2.10）式屮，g（x,y,二）為已知兩數，衣爪t = 0時刻物體內部物體的分布。邊界條件仃三種基本類型。設所考遐的物體G的邊界曲而為II已知物體

13、表而的溫 度為則式中，久（忑兒二0為定義在上的已知兩數稱這種邊界為第一類邊界條件。若已知物體農而上齊點的熱IRQ,也就是說物體表而上，單位時間內流過E位而積的熱帚是已知的.則則由傅立葉實驗定律可得diidfi= Z(xj口)(1.2.12)式中，/；（x,y,z,0 =-魚為定義在F上的已知函數。k特別的，若物體衣面上各點熱流彊為0,則稱Z為絕熱性邊界條件，即OUdn|r = 0若物體置一介質中，我們只能測得與物體相接觸的介質溫度匕。一般情況2由(1.2.13)與物體表面的溫度比不相同，因此物體內部和周的的介質通過曲面F有熱量交換。由熱傳導 中的牛頓實驗定律可知，dQ= (u -uJdSdt式

14、中，處圧兩種介質z間的熱交換系數。在物體內部無限接近衣而r處，作-閉曲面工，111r在r內側熱帚不能枳累，因此在曲面工上的熱流靈燉等j：邊界曲面r上的熱流帚，流過去潮的熱呈符合規律QUdO = kdSdf7 dn流過邊界曲面F的熱杲符合規律dg= (u-uJdSd所以有關系式即(&L(、F Cdl p = CQL.(12 <14 )6 r 1 r這種邊界條件可改寫為 +aiir =人匕兒二/)(1.2.15)3)式中，/3(x,y,s,0為定義在上的已知聞數，q為已知正數。這種類型的邊界條件稱為第三類邊界條件。當/(x,y,2,0 = 0(/= 1,2,3)時，相應的邊界條件為齊

15、次邊界條件，否則稱為非齊次邊界條件。1.3拉普拉斯方程與定解條件設空間有一電荷分布，其密度為°(心兒二)，E表示電場強度。在國際單位制卜，靜電場的方程組為(1.3.1)(13.2)P0E) = pVx£= 0式中，£是介電常數。山J：靜電場無旋性，因此電勢“（兀兒二）與場強E（x,兒二）Z間的關系式E = -Vu將式(1.3.3)代入(1.3.1)得-刃 (Vu) = p即人1Z =p£在直角坐標系卜，表示為d2u d2u d2u 1 "Zr+"77= _ Pdr Or dr 9r(1.3.3)(1.3.4)(1.3.5)稱式（1.3

16、.5）為三維泊松方程。若電荷密度p=O,則方程為(1.3.6)d2u du d2u 八+ + = 0 &2 加 &F該方程稱為三維拉普拉斯方程。在上節中，我們建工熱傳導方程。若導熱物體內熱源的分布和邊界情況不隨時間變化, 則經過相當長時間后，物體內部的溫度將達到穩定狀態，不再隨時間變化，因而熱傳導方程中的=o, T是（126）和（1.2.7）變為dt(1.3.7)d2u d2u d2udzu dzud"(1.3.8)這樣，我們又得到了拉普拉斯方程和柏松方程。在這里，由不同的物理過程得到相同的泛定 方程。対r拉普拉斯方程和柏松方程所描述的其體的物理現象，也盂耍附加一定的

17、條件。由 它們描述卮定或平衡的現彖，農不該過程的物理吊柑時間無關，故運解條件只仃邊界條件而 無初始條件。和前而一樣，邊界也分三類。第一類邊界條件：在邊界上給出未知函數"的值第二類邊界條件：在邊界上給定未知函數法向導數的值。第三類邊界條件：在邊界上給定未知函數和它的法向導數的某種線性組介的值。1.4基本概念與疊加原理我們從-些幾體的物理現彖出發，推出了三類典型的數學物理方程。卜-而我們介紹些 基本概念。1.4.1定解問題及泄解的適泄前ihi我們介紹了初始條件與邊界條件稱為定解條件。把某個偏微分方程與相戒的定解條 件結介起來，就構成了數學物理屮定解問題。山J淀解條件的不同，定解問題又可以

18、分為以 下三種：只有初始條件，沒有邊界條件的定解問題稱為初值問題或柯西問題；只有邊界條件，沒有初始條件的定解問題稱為邊值問題；既有初始條件，又有邊界條件的定解問題稱為混合問題。我們研究數學物理方程定解問題的H的在解釋、發現和探索客觀物質世界運動的規 律，【大I此建工的數學物理方程定解問題符介玄觀實際是非常匝要的。在分析物理過程、推導 泛泄方程時，我們對物理模型作了一些理想化的假設，忽略了一些我們認為不晅耍的物理彊。 這樣得到的定解問題，是否真實反映了客觀實際呢？當然，理論是需耍通過實踐來檢臉的， 從數學的角度出發，我們可以通過卜述三個方面來檢驗數學模熨的優劣。1. 解的存在性，我們得到的定無問

19、題是否有解。2. 解的唯一性，定解問題存在的解是否只有一個。研究解的存在性和唯-性，不但是驗證數學模型正確性的必備于段：同時也啟發了科研 工作者改進數學模型，使定解問題介理地反映自然規律。3. 解的穩定性，或稱Z為解對定解條件或自由項的連續依賴性問題。當定解條件或自 由項有微小變化時，解是否相應地出現微小的變動。如果確實如此，此解便稱為穩定的，否 則所得到的解就沒有實用價值。定解問題的存在性、唯一性、穩定性統稱為定解問題的適定性。如果一個定解問題存在 唯一且穩定的解，則稱為定解問題是適定的。燉J：確定性的現彖來說，個皋本上正確（但經常是近似地）描述所考察的物理模型的 定解問題是適定的。在以后的

20、討論中，我們著眼定解問題的具體求解，不去探討適定性。 這是I対為討論定解問題的適定性往往十分閑難，而本書中所探索的定無問題的適定性是經過 證明了的。但也必須指出，有時一個定解問題盡管不滿足適定性的要求，但在實際中有著廣 泛的應用，因此仍須加以研究，但它超出了本站的范lit 興趣的讀者町以查閱相關的書籍。1.4.2偏微分方程的一些基本概念在高等數學這門課程中，我們研究了常微分方程，它有階、通解、線性等概念。在偏微 分方程的理論屮，首先介紹的，也是這些基本概念。偏微分方程屮所倉仃的未知函數的最高階偏導數的階數，稱為偏微分方程的階。偏微分方程dudtd2u_ du _ + b(t9x) + u +(

21、1.4.1)是二階偏微分方程。du Ou+di 彷=0(1.4.2)dzu是一階偏微分方程。(1.4.3)是三階偏微分方程。若偏微分方程中的每一項關未知曲數及其所仃偏導數的次數都為0次或則1次，則稱 該方程為線性偏微分方程.否則就稱Z為非線性偏微分方程。式(1.4.1).式(142)、式(1.4.3)都是線性的，而卜述兩個方程+ U = 0 (沖擊波方程)(144)dt dva/空 += 0 (Ard?方程)(1.4.5)dt de 去是非線性偏微分方程。一個偏微分方程中含有不含未知函數及其偏導數的項(稱為口由項)，則方程稱為非齊 次備微分方程，否則就稱為齊次偏微分方程。式(1.4.1)中冇自

22、由項/(X，0 :式(1.4.3) 中有自由項xy,所以這兩個非齊次偏微分方程。其余的都是齊次的。設兩數“在區域G中具有苴到方程的階數的連續偏導數，把m代入方程中能得到怛等 式，稱“為區域G內的一個解。這種解又稱為古典意義卜的古典解。由J；某些原因，又足 我們得不到某種定解問題的古典解，而定解問題反映的客觀觀律是存在的，因此需要推廣夠 的概念，探索更廣泛意義卜的廣義解。這些內容，在以后的章節中會陸續介紹。一般情況卜，區域G內存在方程的許多解，很自然的想法耍研究一卜方程的全部解， 即是否能求出方程的通解，并進一步求出所滿足的特解。例1求解偏微分方程)=0dx解這是 個最簡單的偏微分方程，它含仃2

23、個口變彊，H方程是階線性偏微分方程。 顯然，"(X)關是常數，即不含有另一方面，對于任意的一階連續可微仁u = /Xy),其中/是任意的階連續町微換數。例2求解偏微分方程篇解 這是二階線性方程。山例1的分析，我們將方程化為得到式中，是任意函數。兩側同時對y枳分，則得到諷 x，y) = J /O)dy + G(X)= F09 + G(x)式中，G是任意兩數。只耍任意函數F,G是二階連續町微的，則求得的u(x,y)就是所給的偏微分方程的通解。在實際工作屮，像例1、2這樣能找到通解的偏微分方程非常少，所以我們就只能去求 方程的某些特解,并要求這些解滿足附加的定解條件,進而川納出一些規律性的

24、原則。在下 章中，我們將通過対具體數學物理方程的分析來探索如何達到我們的冃的。1.4.3疊加原理許多物理現彖都II勺迭加性：幾種不同元素同時所廣L的綜合效果，等J：各個因索單獨 出現時所產生的效呆的累加。例如，多個點電荷所產生的總電荷，等J：各個電荷單獨產生的 電荷的喬加。它反映到數學物理模型中來，就是描述這種H有檯加杵的定解問題，不僅泛定 方程是線性的，而且定解條件也是線性的。為了容易理解，我們以二尤函數"(x,y)所滿足的二階線性偏微分方程為例來解釋疊加 原理(1.4.6)d2u 宀 d2u d2u , du , du寸 + 2n12 -+an + bL + b2 + cu =

25、Z 0 = 1,2 ) ov*dy at drr式中，訂心人都是某區域上關的已知換數。獨加原理1：設色0 = 12/)滿足線性方程式(1.4.6),則它們的線性組介必満足方程(1.4.7)d2u c d2u d2u .dii .Oil乙/+ a” + b. + b* + cu = &2 u1 de0臺八疊加原理2：設坷(2 12/)滿足線性方程式(1.4.6), HjqH有二階連續偏導數,則級數O'11 .dll . di總獷 /( a 、it(1.4.8)斎Zgb迢乜電£ (2)的解。特別是，若Z = 0.則級數n1=1是齊次方程d2u r d2ud2u .dii

26、.Oil八ci. i + + u. + + cu 011 &C21-比內“ A-21-決的解。上述疊加原理的證明是顯然的，我們以后經常利用疊加原理，把一個復朵的定解問題分 解成若干個相對簡單的定解問題，從而使問題變得容易處理。1.5二階偏微分方程的分類Amjifti的內容中，我們從不同的物理現象導出了 3類典型方程：波動方程、熱傳導方程 和拉普拉斯方程。為了進一步從數學上分出它們Z間的基異，我們需要探討一下二階線性偏 微分方程的分類。我們主要討論有兩個自變杲的情況.這樣的二階線性偏微分方程的一般形式為(1.5.1)d2u宀d2ud2u,dii,du“八an + 加12 壬介 + an+

27、 bl + b2 + cu + f = Q 式中，悉數以及/都是自變最心y的實函數。在解析幾何屮，二次曲線的標準型仃雙曲線、橢圓、拋物線。我們采用適當的坐標變換, 可將一般意義的二次曲線anx2 + 2aiZxy + ay1 + btx + b2y + c = 0轉化為三種標準熨之一，并且通過系數”2衛耳可以直接判定二次曲線的類熨。這促使我們這樣考慮：能否尋找一個適當的變量代換,使式（1.5.1）的形式變得簡單一些；同時, 我們能否根據自身的信息來判斷其所屬類型。為此作變量替換(1.5.2)W=g,y)=0(x,y)并假設在我們考慮的平面區域內,雅可比行列式°（7）久 即變換是可逆的

28、。丁是利用變換式（1.5.2）,可將（1.5.1）化為關丁門變靈：的二階偏微分方程(1.5.3)式中a = all(p； + 2all(px(pv+an；« 0 = 5嘰+%(0札七纟0J +如%必? = 50； + 細0、+50；(1.5.4)而是劃匕，知的線性函數。現在，耍選取適為的變換式（1.5.2）,使式（1.5.1）的二階偏導數項化為最簡單的形式。由式（1.5.4）以看出,第一行和第三行的形式是完全一樣的.只是00的不同。若耍選擇到方程5(*) + 勿2 * 介)°OX&令加F<F的兩個線性無關解v(x,y) = g (x)，v(x,y) = 4 (

29、x9y)則取此時，式（1.5.3）中的系數就變為0。J：是，我們得到了一個在形式上比式（1.5.1） 要簡單的多式（1.5.3）。卜面我們不加證明地給出一個重要結論，不妨設4】工0,考慮一階偏微分方程5 （忘）+如忘忘+二喬）=°W(1.5.5)的符號，對式（1.5.1）進行分類。的符號，對式（1.5.1）進行分類。的求解。定理：如果v（x）是式（1.5.5）的一個解.貝'Jv（x,y） = c是常微分方程dv一如去+仏=0(1.5.6)的符號，對式（1.5.1）進行分類。的符號，對式（1.5.1）進行分類。得通解；反之亦然。山泄理可知，為了尋找使a = 0,/=0fi/變彊

30、代換，石要求解常微分方程式（1.5.6）,為此稱為二階線性偏微分方程式（15.1）的待征方程°特征方程的通解叫做式（1.5.1）的特 征線。特征方程式（15.6）可以改寫為的符號，對式（1.5.1）進行分類。的符號，對式（1.5.1）進行分類。類似平面次曲線的分類.根據判別式當4 （x.y） > 0時，則稱式（151）為雙曲方程：當4 （x）v 0時，則稱式（151）為的符號，對式（1.5.1）進行分類。#6圓方程;SA（x,y） = 0時,則稱式（1.5.1）為拋物型方程.由上述定義，顯然，眩振動方程是雙曲熨的，一維熱傳導方程是拋物熨的，二維拉普拉 斯方程和泊松方程部是橢圓型

31、的。由于弦振動方程描述的是波的傳播現象，它對時間是 可逆的性質：熱傳導方程反映了熱的傳導、物質的擴散現彖，這些現象總是由高到低、由密 到加的，因何是不可逆的：而拉氏方程所描述的是穩定和平衡狀態。這三種方程所描述的口 然現象的本質完全不同，同樣的，它們在數學上所屬的類型也不樣，這衣明，不同類型的 數學物理方程反映了不同的物理特性。二階線性偏微分方程的分類問題解決了。我們島耍考老，式（1.5.1）經過變戢替換式 （1.5.2）,轉化為新的式（1.5.3）后,方程類型是否發生了改變。由式（1.5.4）易得（?,） = 3 - ay =（砧- a皿）（®g 一 00）=心刃（叱-纟0）2由此

32、可見，經過變翁替換式（1.5.2）后，方程的類型式保持不變的。 面，我們就三種類型的方程，分別討論一下標準型的問題.1雙曲型方程由J沁-5如1 >0.求解特征方程式（1.5.6）得到兩族實特征線<f（x,y） = cl和 ip（x,y） = c2,其中 爐，©都是實函數，令W =傾 3）4=0（3）則式（1.5.3）中的a = 0, /= 0 ,由p- - a/ > 0可知0工0,此時式（1.5. 3 ） 化為若在式（1.5.7）中再利用變鼠變換f =扣_ “）則式（1.5.7 ）變為% - 知 + ：=0 （也=4 i ）（1.5.8）式（1.5.7 ）和式（1.

33、5.8）均稱為雙曲型方程的標準型.例3試將方程y 2空-x，空 =0化為標準形式.解 = a；2-alla22=0-y2（-x2） = x2y2 > 0 （x 工 O.y 豐 0）當（xH0,yH0）時，方程為雙曲熨，其特征方程為(1.5.9)(1.5.9)dydr從而有xdvxrJ' dxy積分'得到兩族積分曲線護-討f 訂+討7,作變換(1.5.9)(1.5.9)代入原方程，整理得“n% =； 5； u的2（曠-丁）'2（曠-）2 橢圓型方程由ra；2-ana22 <0,因此解特征方程式（1 5. 6 ）的通解只能是復函數,（pxyy） = c1, （p

34、 （x,y） = c2，其屮0 0為共軌復兩數，此時方程（1.5.1）不存在實的特征線，設您刀=0 （x.y） +1 佟（x）=5為特征方程的解，H©, %不同時為零，這里5、條是實函數，為了避免引入復數，我 們作變換? = Re（p（x.y） = ® （x,y） > r） = In】*）=%g）由g+l滿足式（1. 5. 5）,代入后將實部及虛部分開，則得+ any = 5幾 + 2a“gy +。耳點億+血（©,，+久）+如©久=0 因此,式（1.5.1 ）可化成標準形式%+% +烏=°（廠4J例4 考察特里科米（Tricomi）方程(

35、1.5.9)解 三-y,當y>0時，方程是橢圜型的，當yvO時，方程是雙曲型的，其特征方程為®y > 0時，它變為r是有y2(dy)2-(dx)2=0則原方程化為一U3y>0時.特征方程為dx± J-ydy = 0r是有2 -x±§( - J=c令2 2 2 -§ = x_3(_y)2, 7 = x + -(-y):則原方程化為U/rt =(II. 一 11“)s 6()7"3.拋物熨方程)只能得到一族實特征線/* 0,作代換由于兀一 6衛22 =0，因此解特征方程式(1.56 0(工)=c ,任取一個與(p(x.y)線性無關的函數p(x,y),片 0(x,y)=P(XJ)所以由式(1.5.4)« = 50； + 如嘰 +a12(p； = 0及q； -ana12 = 0,可得+體烏=°所以有卩=5嘰 + Jdd (卩匕,+(Py0J + %(Py纟 =(城®+応纟)(AT#+応竹)=° 于是，式(15. 1 )可化為 u + 4 = 0(4 = )(1.5.1 0 )/式(1. 5. 1 0)稱為拋物熨方程的標準型.