1、v1.0 可編輯可修改1. 圓錐曲線對(duì)比表2. 硬解定理內(nèi)容3. 結(jié)論與推論平面解析幾何v1.0 可編輯可修改第一部分 圓錐曲線對(duì)比表圓錐曲線橢圓雙曲線拋物線標(biāo)準(zhǔn)方程x2 /a2 +y2 /b2 =1 (a>b>0)x2 /a 2 -y 2 /b 2 =1 (a>0,b>0)y2 =2px (p>0)范圍x -a,ay -b,bx (- ， -a a,+ ) yRx 0,+ ) yR對(duì)稱性關(guān)于 x軸，y 軸，原點(diǎn)對(duì)稱關(guān)于 x 軸，y 軸，原點(diǎn)對(duì)稱關(guān)于 x 軸對(duì)稱頂點(diǎn)(a,0),(-a,0),(0,b),(0,-b)(a,0),(-a,0)(0,0)焦點(diǎn)(c,0),

2、(-c,0)【其中 c2 =a2 -b2 】(c,0),(-c,0)【其中 c2 =a2 +b2 】(p/2,0)準(zhǔn)線x=±a2 /cx=±a2 /cx=-p/2漸近線y=±(b/a)x離心率e=c/a,e ( 0,1)e=c/a,e (1,+ )e=1焦半徑 PF? =a+ex PF? =a-exPF? =ex+aPF? = ex-a PF=x+p/2焦準(zhǔn)距p=b2 /cp=b2 /cp通徑2b2 /a2b2 /a2p參數(shù)方程x=a·cosy=b·sin ， 為參數(shù)x=a·secy=b·tan ， 為參數(shù)x=2pt 2y=

3、2pt,t 為參數(shù)過圓錐曲線上一點(diǎn)(x0,y0 )的切線方程x0·x/a 2 +y0·y/b 2 =1x0x/a 2 - y0·y/b 2 =1y0·y=p(x+x0)斜率為 k 的切線方程y=kx± (a 2 ·k2 +b2 )y=kx±(a 2 ·k2 -b2 )y=kx+p/2kv1.0 可編輯可修改第一部分 硬解定理內(nèi)容CGY-EH定理 （圓錐曲線硬解定理 ）若曲線與直線 A+By+C=0相交于 E、F兩點(diǎn), 則:其中 為一與同號(hào)的值，定理說明應(yīng)用該定理于橢圓時(shí), 應(yīng)將代入。應(yīng)用于雙曲線時(shí), 應(yīng)將代入同時(shí)

4、不應(yīng)為零 , 即 不為零。求解 y1+y2 與 y1*y2 只須將 A與 B 的值互換且 m與 n 的值互換 . 可知 與? ' 的值不會(huì)因此而改變。定理補(bǔ)充聯(lián)立曲線方程與 y=kx+是現(xiàn)行高考中比聯(lián)立” Ax+By+C=0“更為普遍的現(xiàn)象。 其中聯(lián)立后的二次方程是標(biāo)準(zhǔn)答案中必不可 少的一項(xiàng)， x1+x2，x1x2 都可以直接通過該方程與韋達(dá)定理求得，唯獨(dú)弦長(zhǎng)的表達(dá)式需要大量計(jì)算。 這里給出一個(gè) CGY-EH的斜率式簡(jiǎn)化公式，以減少記憶量，以便在考試中套用。若曲線 與直線 y=kx+ 相交于 E、F 兩點(diǎn) , 則 :這里的 既可以是常數(shù)，也可以是關(guān)于 k 的代數(shù)式。由這個(gè)公式我們可以推

5、出：v1.0 可編輯可修改若曲線為橢圓,則若曲線為雙曲線,則由于在高考中 CGY-EH定理不可以直接應(yīng)用，所以學(xué)生如此解答才可得全步驟分(省略號(hào)的內(nèi)容需 要考生自己填寫)：聯(lián)立兩方程得(二次式子)( * )所以 x1+x2=， x1x2=；所以|x1- x2|= ( x1+x2)2- 4x1x2=(此時(shí)代入、式得到一個(gè)大式子，但不必化簡(jiǎn))化簡(jiǎn)得 |x1-x2|=(偷偷地直接套公式，不必真化簡(jiǎn) )下面就可求弦長(zhǎng)了。定理簡(jiǎn)證設(shè)曲線 x2/m+y2/n=1 與直線 A+By+C=0相交于 E、F 兩點(diǎn)，聯(lián)立式可得最終的二次方程：(A2 m+B2 n) x2+2ACmx+C2 m-mnB2=0應(yīng)用韋達(dá)

6、定理，可得 :x_1+x_2=(-2ACm)/(A2 m+B2 n)x_1 x_2=(m(C2-B2 n)/(A2 m+B2 n)? =4mnB2 ( -C2)對(duì)于等價(jià)的一元二次方程 ? 的數(shù)值不唯一 ,且 ? 的意義僅在于其與零的關(guān)系 ,故由 4B2>0恒成立, 則可取與 ? 同號(hào)的 ? '=mn( -C2) 作為? 的值。 3由|EF|=(x_1-x_2) 2+(y_1-y_2) 2 )=(1+A2/B2 ) (x_1+x_2) 2-4x_1 x_2 )可得|EF|= (A2+B2)4mn(A2 m+B2 n -C2)/(|A2 m+B2 n|)令 =A2 m+B2 n 則得

7、到 CGY-EH定理 :x_1+x_2=(- 2ACm)/ ; x_1 x_2=(m(C2 -B2 n)/ ; ? '=mn( -C2) ;|EF|=(2 (A2+B2) ? ')/(| |)v1.0 可編輯可修改第一部分 結(jié)論與推論、橢圓的常用結(jié)論：1. 點(diǎn) P處的切線 PT平分 PF1F2在點(diǎn) P處的外角 .H點(diǎn)的軌跡是以長(zhǎng)軸為直徑的圓，除2. PT平分 PF1F2在點(diǎn) P 處的外角，則焦點(diǎn)在直線 PT上的射影去長(zhǎng)軸的兩個(gè)端點(diǎn) .4.3. 以焦點(diǎn)弦 PQ為直徑的圓必與對(duì)應(yīng)準(zhǔn)線相離以焦點(diǎn)半徑 PF1 為直徑的圓必與以長(zhǎng)軸為直徑的圓內(nèi)切5.若P0(x0,y0) 在橢圓2x2a2

8、by2 1上，則過 P0的橢圓的切線方程是x0x2ay0y 1. b21.6.若P0(x0,y0) 在橢圓2x2a2y2 1外，則過 P0 作橢圓的兩條切線切點(diǎn)為 bP1、 P2，則切點(diǎn)弦 P1P2 的直線方程是x0x2ay0 y 1.b2 1.27. 橢圓 x2a2 y b21 (a>b>0) 的左右焦點(diǎn)分別為 F1，F(xiàn)2，點(diǎn) P為橢圓上任意一點(diǎn)F1PF2，則橢圓的焦點(diǎn)角形的面積為S F1PF2 b tan 2 .228. 橢圓 x2 y2 ab1(a>b>0)的焦半徑公式 |MF1 | a ex0 , |MF2 | a ex0( F1( c,0) , F2 ( c,

9、0) M (x0, y0).9. 設(shè)過橢圓焦點(diǎn) F 作直線與橢圓相交 P 、Q兩點(diǎn)， A為橢圓長(zhǎng)軸上一個(gè)頂點(diǎn)，連結(jié)AP 和 AQ分別交相應(yīng)于焦點(diǎn) F 的橢圓準(zhǔn)線于 M、N兩點(diǎn)，則 MFNF.10. 過橢圓一個(gè)焦點(diǎn) F的直線與橢圓交于兩點(diǎn) P、Q, A 1、A2為橢圓長(zhǎng)軸上的頂點(diǎn)，A1P 和 A2Q交于點(diǎn)M，A2P 和 A1Q交于點(diǎn) N，則 MFNF.211.AB是橢圓 x2a2 y b21的不平行于對(duì)稱軸的弦， M(x0,y0)為 AB的中點(diǎn)，則kOM kABb2 ，即 K AB ab2x02。 a y012. 若P0(x0, y0 )在橢圓2x2a2y2 1內(nèi)，則被 Po 所平分的中點(diǎn)弦的方

10、程是 bx0x2ay0yb22 x02a2 y02 ； b2 ；推論】：1、若 P0(x0,y0) 在橢圓2x2ay2b21內(nèi)，則過 Po 的弦中點(diǎn)的軌跡方程是2x2ay2b2x0xy0ya2b22 橢圓 x2 ay2b21( a>b>o)的兩個(gè)頂點(diǎn)為A1(a,0) , A2(a,0) ，與 y 軸平行的直線交橢圓于P1、P2 時(shí) A1P1與 A2P2交點(diǎn)的軌跡方程是2x22 aby22 1.22、過橢圓 x2a2y2 1 (a >0, b >0)上任一點(diǎn) A( x0 , y0)任意作兩條傾斜角互補(bǔ)的直線交橢圓于B,C兩點(diǎn)，bv1.0 可編輯可修改則直線 BC有定向且

11、kBCb x0 常數(shù)） .2a y023、若 P 為橢圓 x2a22by22 1a> b> 0）上異于長(zhǎng)軸端點(diǎn)的任一點(diǎn) ,F1, F 2 是焦點(diǎn) ,PF1F2PF2 F1，則 a c tan cot .a c 224、設(shè)橢圓 x2a222 y b2a> b>0）的兩個(gè)焦點(diǎn)為 F1、F2,P（異于長(zhǎng)軸端點(diǎn)）為橢圓上任意一點(diǎn)，在PF1F2中，記F1PF2PF1F2F1F2P，則有 sin c e. sin sin a25、若橢圓 x2 a2 y b2a> b>0）的左、右焦點(diǎn)分別為 F1、 F2，左準(zhǔn)線為 L，則當(dāng) 0<e 2 1時(shí)，可在橢圓上求一點(diǎn)P，使

12、得 PF1是 P到對(duì)應(yīng)準(zhǔn)線距離 d 與 PF2的比例中項(xiàng) .6、22 y a b2P為橢圓 x2 y2 1（a>b>0）上任一點(diǎn) ,F 1,F 2為二焦點(diǎn)， A為橢圓內(nèi)一定點(diǎn)，則2a|AF2| |PA| |PF1| 2a |AF1|, 當(dāng)且僅當(dāng) A, F2 ,P三點(diǎn)共線時(shí)，等號(hào)成立 .7、橢圓 (x2x0)(y2y0)1與直線 Ax By C0 有公共點(diǎn)的充要條件是A2a2B2b2(Ax0By0C)2 .ab228、已知橢圓 ax2 by2 （1 a>b>0），O為坐標(biāo)原點(diǎn)，P、Q為橢圓上兩動(dòng)點(diǎn)，且OP OQ.（1）|O1P|2 |OQ1 |211 a2 b2 ;2）|

13、OP| 2+|OQ|2的最大值為2 2 2 2 42a b2 ; (3)S OPQ的最小值是 a2 b a b a b229、過橢圓 x2 y2a2 b21（a>b>0）的右焦點(diǎn) F 作直線交該橢圓右支于 M,N兩點(diǎn)，弦 MN的垂直平分線交 x軸于 P，則 |MPNF |210、已知橢圓 x2a2y2b21（ a >b>0） ,A、 B、是橢圓上的兩點(diǎn)，線段 AB的垂直平分線與 x 軸相交于2點(diǎn) P(x0 ,0) , 則 ab2 ax0a2 b2a211、設(shè) P 點(diǎn)是橢圓 x2 a2 y b21（ a >b>0）上異于長(zhǎng)軸端點(diǎn)的任一點(diǎn) ,F1、F2為其焦點(diǎn)記

14、F1PF2，則(1) |PF1|PF2 | 2b .(2)1 cos2S PF1F2b tan 2 .12、設(shè) A、B 是橢圓 x2 y2 （1 a > b>0）的長(zhǎng)軸兩端點(diǎn)， P 是橢圓上的一點(diǎn)， abPABPBABPA ，22 2 2 a c cosc、e 分別是橢圓的半焦距離心率，則有 (1) |PA| 22ab |2cos2 |.(2) tan tan 1 e2 .(3) S PAB222a2b22 2 cot ba2213、已知橢圓 x2 y2 1（ a >b>0）的右準(zhǔn)線 l 與 x 軸相交于點(diǎn) E ，過橢圓右焦點(diǎn) F 的直線與橢圓相交 ab于 A、B兩點(diǎn),

15、 點(diǎn)C在右準(zhǔn)線 l上，且 BC x軸，則直線 AC經(jīng)過線段 EF 的中點(diǎn) .14、過橢圓焦半徑的端點(diǎn)作橢圓的切線，與以長(zhǎng)軸為直徑的圓相交，則相應(yīng)交點(diǎn)與相應(yīng)焦點(diǎn)的連線必 與切線垂直 .v1.0 可編輯可修改15、過橢圓焦半徑的端點(diǎn)作橢圓的切線交相應(yīng)準(zhǔn)線于一點(diǎn)，則該點(diǎn)與焦點(diǎn)的連線必與焦半徑互相垂直16、橢圓焦三角形中 , 內(nèi)點(diǎn)到一焦點(diǎn)的距離與以該焦點(diǎn)為端點(diǎn)的焦半徑之比為常數(shù)e(離心率).(注:在橢圓焦三角形中 ,非焦頂點(diǎn)的內(nèi)、外角平分線與長(zhǎng)軸交點(diǎn)分別稱為內(nèi)、外點(diǎn) . )17、橢圓焦三角形中 , 內(nèi)心將內(nèi)點(diǎn)與非焦頂點(diǎn)連線段分成定比e.18、橢圓焦三角形中 , 半焦距必為內(nèi)、外點(diǎn)到橢圓中心的比例中項(xiàng)二

16、、雙曲線的常用結(jié)論：1、點(diǎn) P處的切線 PT平分 PF1F2在點(diǎn) P處的內(nèi)角.除去2、PT平分 PF1F2在點(diǎn) P處的內(nèi)角， 則焦點(diǎn)在直線 PT上的射影 H點(diǎn)的軌跡是以長(zhǎng)軸為直徑的圓，長(zhǎng)軸的兩個(gè)端點(diǎn) .3、以焦點(diǎn)弦 PQ為直徑的圓必與對(duì)應(yīng)準(zhǔn)線 相交 .P在左支)4、以焦點(diǎn)半徑 PF1為直徑的圓必與以實(shí)軸為直徑的圓 相切. (內(nèi)切： P在右支；外切：2 x2 y22ab222xy22ab2x0xy0y22ab25、若 P0(x0,y0) 在雙曲線16、若 P0(x0,y0) 在雙曲線11.點(diǎn)弦 P1P2 的直線方程是a>0,b >0)上，則過 P0的雙曲線的切線方程是 x0xa>

17、;0,b >0)外 ，則過 Po作雙曲線的兩條切線切點(diǎn)為y0yb21.P1、P2，則切227、雙曲線 x2 y2 1(a>0,b >o)ab的左右焦點(diǎn)分別為 F1，F(xiàn) 2，點(diǎn) P 為雙曲線上任意一點(diǎn)F1PF2，則雙曲線的焦點(diǎn)角形的面積為 S F1PF22b cot .222的焦半徑公式： ( F1( c,0) , F2(c,0)當(dāng) M(x0,y0)在右支上時(shí)，8、雙曲線 x2 y2 1(a>0,b >o)ab|MF1| ex0 a, |MF2| ex0 a；當(dāng) M ( x0 , y0)在左支上時(shí)， |MF1| ex0 a, |MF2| ex0 a。9、設(shè)過雙曲線焦

18、點(diǎn) F作直線與雙曲線相交 P 、Q兩點(diǎn)， A為雙曲線長(zhǎng)軸上一個(gè)頂點(diǎn)，連結(jié) AP 和 AQ分 別交相應(yīng)于焦點(diǎn) F 的雙曲線準(zhǔn)線于 M、 N兩點(diǎn)，則 MFNF.10、過雙曲線一個(gè)焦點(diǎn) F的直線與雙曲線交于兩點(diǎn) P、Q, A1、A2為雙曲線實(shí)軸上的頂點(diǎn)， A1P和 A2Q交于點(diǎn) M，A2P 和 A1Q交于點(diǎn) N，則 MF NF.11、AB是雙曲線2x2a2 y b21(a>0,b>0)的不平行于對(duì)稱軸的弦， M(x0,y0)為 AB的中點(diǎn)，則KOM KAB b2x0 ， a y0即KABb2x0 。a y012、若 P0(x0,y0) 在雙曲線2x2ay2 1(a>0,b >

19、0)內(nèi)，則被 Po所平分的中點(diǎn)弦的方程是 bx0x2ay0yb22x02a2 y0 b213、若 P0(x0, y0) 在雙曲線 2 a2y2 1 ( a>0,b > 0)內(nèi)，則過 Po的弦中點(diǎn)的軌跡方程是 b2x2a2 y b2x0x2ay0yb221、雙曲線 x2aP1、P2推論】：2y2 1( a> 0,b > 0)的兩個(gè)頂點(diǎn)為 A1( a,0), A2(a,0) ，與 y 軸平行的直線交雙曲線于 bv1.0 可編輯可修改22 時(shí) A1P1與 A2P2 交點(diǎn)的軌跡方程是 x2 y2 1.ab222、過雙曲線 x2 y2 1（a>0,b >o）上任一點(diǎn)

20、A（x0,y0）任意作兩條傾斜角互補(bǔ)的直線交雙曲線于B,C 兩ab2 點(diǎn)，則直線 BC有定向且 kBC b2x0 （常數(shù)） .a2y0223、若 P為雙曲線 x2 y2 1（a>0,b>0）右（或左）支上除頂點(diǎn)外的任一點(diǎn) ,F1, F2是焦點(diǎn) , PF1F2 abPF2F1，則 c a tan cot （或 c a tan cot ）.2 1 c a 2 2 c a 2 2224、設(shè)雙曲線 x2 y2 1（a>0,b >0）的兩個(gè)焦點(diǎn)為 F1、F2,P（異于長(zhǎng)軸端點(diǎn)）為雙曲線上任意一點(diǎn)， ab在 PF1F2 中，記 F1PF2PF1F2F1F2P，則有sin(sin s

21、in )ce. a225、若雙曲線 x2 y2 1（a>0,b >0）的左、右焦點(diǎn)分別為 F1、F2，左準(zhǔn)線為 L，則當(dāng) 1<e 2 1時(shí)， ab可在雙曲線上求一點(diǎn) P，使得 PF1是 P到對(duì)應(yīng)準(zhǔn)線距離 d與 PF2的比例中項(xiàng) .226、P 為雙曲線 x2 y2 1aba>0,b >0）上任一點(diǎn) ,F 1,F 2為二焦點(diǎn)， A為雙曲線內(nèi)一定點(diǎn)，則| AF2 | 2a |PA|PF1|,當(dāng)且僅當(dāng) A, F2 , P三點(diǎn)共線且 P和A,F2在 y 軸同側(cè)時(shí)，等號(hào)成立 .27、雙曲線 x2a2y2 1（ a> 0,b > 0）與直線 Ax By C 0 有公

22、共點(diǎn)的充要條件是 A2a2 bB2b2 C2 .228、已知雙曲線 ax2 by21（ b>a > 0）， O為坐標(biāo)原點(diǎn)， P、Q為雙曲線上兩動(dòng)點(diǎn)，且OP OQ .1) |O1P |2|OQ1 |2a1212 ; ( 2) |OP| 2+|OQ|2的最小值為42a b 2 ; (3) S OPQ 的最小值是 a22a b .22ba229、過雙曲線 ax22 by22 1(1) |PF1|PF2 |2b21 cos.(2)S PF1F2b2 cot .22212、設(shè) A、 B是雙曲線 x2 y2 1 （ a>0,b > 0）的長(zhǎng)軸兩端點(diǎn)， P 是雙曲線上的一點(diǎn)， abPABa>0,b >0）的右焦點(diǎn) F 作直線交該雙曲線的右支于 M,N兩點(diǎn)，弦 MN的垂直平分線交 x 軸于 P，則 |PF | e.|MN | 22210、已知雙曲線 x2 y2 1（a>0,b >0）,A、B是雙曲線上的兩點(diǎn)，線段 AB的垂直平分線與 x軸相交 ab2 2 2 2于點(diǎn) P（x0,0） , 則 x0 a b 或 x0 a b .a