1、平面向量基礎知識復習平面向量知識點小結一、向量的基本概念1. 向量的概念 ：既有大小又有方向的量， 注意向量和數量的區別 . 向量常用有向線段來表示 .注意：不能說向量就是有向線段，為什么？ 提示：向量可以平移 .uuur舉例 1 已知 A（1,2） ， B（4,2） ，則把向量 AB 按向量 ar （ 1,3） 平移后得到的向量是 . 結果： （3,0）r2. 零向量 ：長度為 0 的向量叫零向量，記作： 0 ，規定：零向量的方向是任意的；uuur uuur AB3. 單位向量 ：長度為一個單位長度的向量叫做單位向量 （與 AB 共線的單位向量是uAuBur ）；| AB |4. 相等向量

2、：長度相等且方向相同的兩個向量叫相等向量，相等向量有r 傳遞性；r 5. 平行向量（也叫共線向量） ：方向相同或相反的非零向量 ar 、 b 叫做平行向量，記作： ar br ，規定： 零向量和任何向量平行 .注：相等向量一定是共線向量，但共線向量不一定相等；兩個向量平行與與兩條直線平行是r 不同的兩個概念： 兩個向量平行包含兩個向量共線， 但兩條直線平行不包含兩條直線重合； 平行向量無傳遞性！ （因為有 r0） ；uuur uuur三點 A、B、C 共線 AB、AC 共線 .6. 相反向量 ：長度相等方向r 相反的向r 量叫做相反向量. ar 的相反向量記作ar .舉例 2 如下列命題：（

3、1）若 |ar|br|，則ar br .（ 2）兩個向量相等的充要條件是它們的起點相同，終點相同 .uuur uuuur（ 3）若 AB DC ，則 ABCD 是平行四邊形 .uuur uuur（ 4）若 ABCD 是平行四邊形，則 AB DC .（ 5）若 ar b ， b rc ，則 ar cr .（6）若 ar/br， br/cr 則ar /cr .其中正確的是.結果：（4）（ 5）二、向量的表示方法 uuur1. 幾何表示 ：用帶箭頭的有向線段表示，如uAuuBr ，注意起點在前，終點在后；r2. 符號表示 ：用一個小寫的英文字母來表示，如 ar ， b ， cr 等；r r3. 坐標

4、表示 ：在平面內建立直角坐標系， r 以與r x 軸、 y 軸方向相同的兩個單位向量ir , rj 為基底，則平面內的任一向量 ar 可表示為 ar xi yj （x,y） ，稱（x, y）為向量 ar的坐標， ar （x,y） 叫 做向量 ar 的坐標表示 .結論：如果向量的起點在原點，那么向量的坐標與向量的終點坐標相同 .三、平面向量的基本定理定理 設 er1,er2同一平面內的一組基底向量，ar 是該平面內任一向量，則存在唯一實數對（ 1, 2），使 ar 1er1 2er2 .（1 ）定理核心： ar 1er1 2er2 ；（2 ）從左向右看，是對向量 ar 的分解，且表達式唯一；反之

5、，是對向量 ar 的合成 . （3）向量的正交分解：當 er1 ,er2 時，就說 ar 1er1 2 er2 為對向量 ar 的正交分解舉例 3 （1）若 ar （1,1）， br （1, 1），cr （ 1,2） ，則 cr. 結果： 1ar 3br .22（ 2）下列向量組中，能作為平面內所有向量基底的是Brrrrrrrr1 3A. e1（0,0） ， e2（1,2）B.e1（1,2） ， e2（5,7）C.e1（3,5） ， e2（6,10）D.e1 （2, 3） ， e2,24 uuur uuuruuurruuurruuurr r（3）已知 AD,BE 分別是 ABC 的邊 BC，A

6、C 上的中線 ,且 ADar，BEb ,則BC 可用向量ar ,b表示為.結果：2ar 4br .33uuur uuur uuur uuur uuur（4）已知 ABC 中，點 D 在 BC 邊上，且 CD 2DB ， CD rAB sAC ，則 r s 的值是 . 結果： 0.四、實數與向量的積實數 與向量 ar 的積是一個向量，記作ar ，它的長度和方向規定如下：（ 1）模： | ar | | | |ar |；（ 2）方向：當0 時， ar 的方向與 ar 的方向相同，當0 時， ar 的方向與 ar 的方向相平面向量基礎知識復習反，當0時， ar 0 ，注意： ar 0.五、平面向量的數

7、量積r r uuur r uuur r1. 兩個向量的夾角 ：對于非零向量 ar ，b，作OA ar ，OB b，則把 AOB （0 為向量 ar ，br 的夾角 .當0 時， ar ， b 同向；當時， ar ， b反向；當 2 時， ar ， br 垂直 .它們的夾角為 ，我們把數量 |ar |br |cos rr即 ar b |ar | |b |cos .規定：零向量與任一向量的數量積是 注：數量積是一個實數，不再是一個向量 .uuur uuur舉例 4 （1） ABC 中， |AB| 3 ，|AC| 4 ，0.uuur uuur uuur|BC | 5 ，則 AB BC 結果： 9.2

8、. 平面向量的數量積 ：如果兩個非零向量 ar ， 叫做 ar 與 br 的數量積（或內積或點積） ，記作： arr1 r 1 rrr rrr r r（ 2）已知 ar1,1， b0, 1， rcarkb ， darb ， cr 與 d 的夾角為，則 k . 結果： 1.2 2 4r r r （3）已知 |ar| 2， |b| 5， ar b 3，則|ar b| . 結果： 23 .（4）已知 ra,br是兩個非零向量，且 |ar|br| |ar br|，則 ar 與ar br 的夾角為. 結果： 30o.3. 向量 br 在向量 ar上的投影： |br |cos ，它是一個實數，但不一定大于

9、 0.r r r r r r 12舉例 5 已知|ar| 3，|b| 5，且ar b 12 ，則向量 ar 在向量 b 上的投影為 . 結果： 12 .54. ar br 的幾何意義 ：數量積 ar br 等于 ar 的模 |ar|與br 在 ar 上的投影的積 .5. 向量數量r積的性質r ：設兩個非零向量 ar ，br ， （ 1） ar b ar b 0 ；（ 2）當 ar 、 br 同向時， ar br |ar | |br | ，特別地， r r rar b |ar | |b|是 ar 、b同向的 充要分條件 ； 當 ar 、br 反向時， ar br|ar| |br |， ar br

10、|ar |當 為銳角時， ar brr 0 ，且 ar 、 brr 不同向， ar brr 當 為鈍角時， ar br 0 ，且 ar 、 br 不反向； ar br （ 3）非零向量 ar ， b 夾角 的計算公式： cos其夾角為 ，則：ar2 ar ar |ar |2 |ar | ar2 ；|b | 是 ar 、 br 反向的 充要分條件 ； 0 是 為銳角的 必要不充分條件0是rra br|ar |br |為鈍角的rbra必要不充分條件 | ar | br |.舉例 6 （ 1）已知 ar （ ,2 ）br （3 ,2） ，如果 ar 與 br 的夾角為銳角，則的取值范圍是 結果：0且

11、（2）已知OFQ 的面積為 S ，且OuuFur uFuQur 1，若 1 S 3 ，則uOuFur ， uFuQur 夾角 的取值范圍是 . 結果： ,2 2 4 3（3）已知 ar （cosx,sin x） ， b （cosy,sin y） ，且滿足 |kra br | 3|ar kbr | （其中 k 0 ）.用 k 表示 ar br ；求 ar br 的最小值，并求此時 ar 與rb的夾角 的大小.結果： ar br k 1（k 0） ；最小值為 1 ，4k 260o .六、向量的運算1. 幾何運算（ 1）向量加法運算法則：平行四邊形法則；三角形法則 . r運算形式：若uAuuBrar

12、 ， uBuCurbr ，則向量uAuuCr 叫做 ar 與br的和，即 arbruAuBuruBuuCruAuCur ；作圖：略 .注：平行四邊形法則只適用于不共線的向量 .平面向量基礎知識復習2)向量的減法運算法則：三角形法則 .uuur r uuur r運算形式：若 AB ar ， AC b ， 的終點 .作圖：略 .注：減向量與被減向量的起點相同 .uuur uuur uuur舉例 7 (1)化簡： AB BC CDuuur r CB ； 0 ；uuur r( 2)若正方形 ABCD 的邊長為 1， AB ar ，(3)若 O是ABC 所在平面內一點，且滿足則 ar br uAuuBr

13、 uAuCur CuuAur ，即由減向量的終點指向被減向量4)若 D 為 ABC 的邊 BC 的中點， ABCuuur uuur uuur AB AD DCuuur uuur uuur uuur ； (AB CD) (AC BD)uuur. 結果： AD ；uuur r uuur rrrrBC b ， AC c，則|ar b cr|. 結果：22uuur uuur uuuruuuruuurOB OC OBOC2OA ，則 ABC 的形狀為 .結果：直角三角形；uuur所在平面內有一點Puuur，滿足 PAuuur uuur rBP CP 0 ，設| AP | uuur，則的值為 .|PD |

14、結果： 120o .結果： 2；2. 坐標運算 ：設 ar (x1,y1)r，b(x2, y2 ) ，則(1)向量的加減法運算 ：rrab(x1 x2, y1y2 ) ，r a舉例 8( 1)已知點 A(2,3) ， B(5,4)uuur uuur， C(7,10) ，若 AP ABuuurAC(R)，則當uuur uuur uuur r ( 5)若點 O 是 ABC 的外心，且 OA OB CO 0則 ABC 的內角 C 為x1 rbx2,y1 y2)._時，點 P 在第一、三象限的角平分線上 . 結果： 1 ；2uuur(2)已知 A(2,3) ， B(1,4) ，且 1AB (sin x

15、,cos y) ， x,y ( , )，則 x y . 結果： 或 ；2 2 2 6 2( 3)已知作用在點 A(1,1)的三個力uFur1(3,4) ，uFur2(2, 5) ，uFur3(3,1) ，則合力FuruFur1uFur2uFur3 的終點坐標是.結果：(9,1) .( 2)實數與向量的積 ： ar(x1,y1) ( x1, y1 ).(3)若 A( x1 , y1) ， B(x2,y2) ，則 AB (x2 x1, y2 y1 ) ，即一個向量的坐標等于表示這個向 量的有向線段的終點坐標減去起點坐標 .uuur 1uuuruuur uuur 11舉例 9 設 A(2,3) ，

16、B( 1,5) ，且 AC 1 AB ， AD 3AB ，則 C,D 的坐標分別是 . 結果： (1,11),( 7,9) .33( 4)平面向量數量積 ： ar br x1x2 y1y2 .舉例 10 已知向量 ar (sin x,cos x) ， b (sin x,sin x) ， rc ( 1,0) .(1)若 x，求向量 ar 、 cr 的夾角；33 rr1 1(2)若 x 3, ，函數 f(x) arb的最大值為1，求 的值.結果：(1)150o；(2) 1或2 1.( 5)向量的模 ： ar 2 |ar |2 x2 y2|ar |x2 y2 .舉例 11 已知 ar,br均為單位向

17、量，它們的夾角為 60o ，那么 |ar 3br| . 結果： 13 .6)兩點間的距離 ：若 A(x1,y1) ，B(x2,y2)，則 |AB| (x2 x1)2 (y2 y1)2 .舉例 12 如圖，在平面斜坐標系 xOy中， xOy 60o ，平面上任一點 P 關于斜坐標系 的斜坐標是這樣定義的：若 uOuuPr xre1 yer2，其中 re1,er2分別為與 x 軸、 y軸同方向的單 位向量，則 P 點斜坐標為 (x,y) .(1)若點 P 的斜坐標為 (2, 2) ，求 P 到 O的距離 |PO| ；( 2)求以 O 為圓心， 1 為半徑的圓在斜坐標系 xOy 中的方程 .結果：(

18、 1)2；(2) x2 y2 xy 1 0 .七、向量的運算律 r1. 交換律： ar br2. 結合律： ar br3. 分配律： (舉例 13 給出下列命題：ra)rrc)rar(brc)rarb ra 若rb或r0ra，則00 ；若 ar平面向量基礎知識復習ra 則 rb rcrbr2ra2) rb rarr其中正確的是 . 結果： .說明：( 1)向量運算和實數運算有類似的地方也有區別：對于一個向量等式，可以移項，兩邊平方、兩邊同乘以一個實數，兩邊同時取模，兩邊同乘以一個向量，但不能兩邊同除以一個向量，即兩邊不能約去一個向量，切記兩向量不能相除( 相約) ；(2)向量的“乘法”不滿足結

19、合律，即 ar (br cr) (ar br) cr ，為什么？八、向量平行 ( 共線 ) 的充要條件r rr rr r 2 r r 2a/ba b(a b)2 (|a |b|)2舉例 14 (1) 若向量 ar (x,1) ， br (4,x) ，當 x (2)已知 ar (1,1) ， b (4,x) ， ur ar 2b ， vr (3)設 uPuuAr (k,12) ， uPuBur (4,5) ， uPuCur (10,k) ，x1y2時，且則ky1x2 0.ar 與 br 共線且方向相同 .結果： 2.ur / /vr ，則 x . 結果： 4. _時， A,B,C 共線.結果：

20、2或 11.九、ar bar b0 |aruuuruuur特別地ABAC|AB | AC |向r量垂r直的r充要r 條件(3,m) ，x2x1 .|uurCuurrb|uuAuu2y13m 32 ；的坐標是uuurOB15 (1) 以原點 已知 nruuur uuur若 OA OB ，則 mO和A(4,2) 為兩個頂點作等腰直角三角形 OAB，(a,b) 向量 nr mr ，且 |nr| |mr | ，則 mr 的坐標是十、線段的定比分點1.定義：設點 P是直線 P1P2上異于 P1 、P2的任意一點， 若存在一個實數 則實數 叫做點 P 分有向線段 uPu1uPu2r所成的比 點.2.舉例2

21、)3)uuur 已知 OA( 1,2) ，結果：B 90 ，則點 B 結果： (b, a) 或 ( b,a).結果：(1,3) 或( 3，uuur 使 P1P1)；uuurPP2 ，uuuur，P 點叫做有向線段 uP1uuPur2的以定比為 的定比分P 的位置之間的關系uuuurP1P2 ，即點 P 在線段 P1P2上0；uPu1uPur2 時，點 P 在線段 P1P2 的延長線上 0.的符號與分點(1) P內分線段(2)P 外分線段 向延長線上 1注：若點P分有向線段 uPu1Puur2所成的比為 ，則點 P分有向線段1，點 P在線段 P1P2 的反uuuurP2P1所成的比為 1 .舉例

22、 16 若點 P 分 uAuuBr 所成的比為 3 ，則 A 分 uBuPur 所成的比為43. 線段的定比分點坐標公式 ：結果：設 P1(x1,y1)uuuurP2(x2,y2)，點 P(x,y)分有向線段 P1P2所成的比為，則定比分點坐標公式為x1x2x,y1 y (y1y2y.11).x1 x2 ,2, y1 y2 .2說明：(1)在使用定比分點的坐標公式時，應明確(x,y) ，(x1,y1) 、(x2,y2)的意義，即分別為分點，起點，終點的坐標(2)舉例特別地，當x1時，就得到線段 P1P2 的中點坐標公式y在具體計算時應根據題設條件，靈活地確定起點，分點和終點，并根據這些點確定對

23、應的定比 的坐標為 .uuuur17 (1)若 M ( 3, 2) ， N(6, 1) ，且 MP1 uuuur13MN ，則點結果：2)1已知 A(a,0) ， B(3,2 a) ，直線 y ax 與線段 AB 交于 Muuuur uuur r 且 AM 2MB ，則 a7( 6, 73) ；結果：或 4.平面向量基礎知識復習一、平移公式如果點 P(x,y)按向量 ar (h,k)平移至 P(x ,y )，則 x x yh,；曲線 f(x,y) 0按向量 ar (h,k) y k.平移得曲線 f (x h,y k) 0.說明：(1)函數按向量平移與平常“左加右減”有何聯系？(2)向量平移具有

24、坐標不變性，可別忘了啊！舉例 18 ( 1)按向量 ar 把 (2, 3) 平移到 (1, 2) ，則按向量 ar 把點 ( 7,2) 平移到點 . 結果：(2)函數 y sin 2x的圖象按向量 ar 平移后，所得函數的解析式是 y cos2x 1，則 ar .( 8,3) ；結果： (,1) .42. 模的性質：|a| |b|ab|a| |b|.( 1)右邊等號成立條件：ar、brr r r 同向或 ar 、b 中有 0|arr b|ar |r|b( 2)左邊等號成立條件：ar、brr r r 反向或 a、b 中有 0|arr b|ar |r|b(3)當 ar、br 不共線|ar|r |brr| |ar b| |ar | |