1、精選優質文檔-傾情為你奉上解析函數的孤立奇點類型判斷及應用 摘 要 孤立奇點的應用在解析函數的學習和對其性質分析研究中有著重要作用，而留數計算是復變函數中經常碰到的問題。解析函數在不同類型的孤立奇點處的計算方法不同，關鍵我們要先判斷其類型。本文在分析整理了相關資料的基礎上，首先給出了孤立奇點的定義、分類及其類型的判別定理和相關推及引理，其中在考慮極點處的留數求法時，又根據單極點、二階極點，m階極點的求法不同，結合例子給出極點階數的判斷方法。并通過有限孤立奇點的判別對解析函數無窮遠點的性態進行研究，分析能否把有限孤立奇點的特征應用到無窮遠點，進而探討了孤立奇點在留數計算中的應用，使得孤立奇點的知

2、識更加系統、全面。關鍵詞 孤立奇點 可去奇點 極點 本質奇點 判斷 留數計算前言在復變函數論中，留數是非常重要的，而解析函數的孤立奇點是學習留數的基礎，只有掌握了孤立奇點的相關性質，才能更好的學好留數。目前，在相關資料中，對孤立奇點的判別及應用已較為完備，如在許多版本的復變函數論中對孤立奇點的判別做了詳細的說明和解釋，使我們對孤立奇點的了解更透徹。但在現實中有時我們遇到的留數計算具體例子，運用定理判別會比較麻煩，還需要前后知識的銜接，這為留數計算增加了障礙。本文就是在此基礎上作進一步的探討，將判斷這一工作拿出來單獨討論，通過對論文的撰寫，將把孤立奇點類型的判別及在留數運算中的應用更全面化、系統

3、化。此項研究內容可以對以后學習此部分內容的同學提供一定的幫助，使其對孤立奇點的理解更加清晰，應用得更加自如。在復變函數課程上我們已學過了孤立奇點的分類及其類型的判別和其在留數計算中的應用，為對其作進一步的研究奠定了基礎。在此基礎上查閱大量書籍，搜集相關資料，并對所搜集資料進行分析、研究、篩選和處理。通過指導教師的耐心指導，已具備了研究解析函數類型的判別及其在留數計算中的應用這一課題的初步能力，并能解決現實生活中的相關例題，使理論和實踐達到真正的結合和統一。本文通過對已學知識的回顧總結，和相關資料的查閱，在老師的指導下自擬題目，將對孤立奇點的類型判別及應用進行說明，通過分析、整理、歸納、總結，對

4、其進行更深入的研究。正文一、孤立奇點的定義及類型（一）定義如果函數在點的某一去心鄰域(即除去圓心a的某圓)內解析，點是的奇點，則稱為的一個孤立奇點。如果為函數的一個孤立奇點，則必存在正數 ，使得在點的去心鄰域 內可展成洛朗級數。（二）孤立奇點的類型如為的孤立奇點，則在點的去心鄰域 內可展成洛朗級數。其中稱負冪部分為在點的主要部分。 孤立奇點按函數在的去心鄰域內的洛朗展開式中負冪項的個數分類： 1.可去奇點：展開式中不含的負冪項；2.極點：展開式中含有限項的負冪項； 其中在解析，且；3.本性奇點：展開式中含無窮多項的負冪項； 二、孤立奇點類型的判別方法（一）可去奇點如果在的洛朗級數中不含的負冪項

5、，則稱孤立奇點是的可去奇點。以下三個條件是等價的：（1）是的可去奇點在的洛朗級數不含的負冪項；（2）是的可去奇點存在；（3）是的可去奇點在的某去心鄰域內有界.（二）極點如果在的洛朗級數中只有（）的有限個負冪項，則孤立奇點稱為極點。若負冪的最高項為，則稱為級極點。與之等價的條件是：是的極點.零點和極點的關系： 不恒等于零的解析函數若能表示為 ，其中在解析，且，為一正整數，則稱為的級零點.（1） 若在解析，則為的級零點的充要條件是 ， ；.（2） 一個不恒為零的解析函數的零點是孤立的.（3） 若是的級極點，則是的級零點.反之也成立.下面的定理說明了怎樣由級零點得到級極點.定理1 假設 （i）兩個函

6、數和在點解析； （ii）,是的級零點. 則是 的級極點.定理2 設兩個函數和在解析.如果 ， 和 ， 則是商的簡單極點且 .（三）本質奇點如果在的洛朗級數中含有（）的無窮多個負冪項，則孤立奇點稱為本質奇點。與之等價的條件是：是的本質奇點不存在且不等于.在本質奇點的鄰域內，復變函數具有以下性質：（1）維爾斯特拉斯定理 若是的本質奇點，則對于任一復數及任給的，任意的，在區域中必存在一點，使得.推論 在任意一個圓環域中，必存在序列，使得.（2）皮卡定理 解析函數在本質奇點的任何鄰域內，能夠取任意一個有限值（復數）無窮次，至多有一個值例外.（四）函數在無窮遠點的性態如果在無窮遠點的去心鄰域內解析，則稱

7、點是的孤立奇點.作變換（規定把擴充z平面上的無窮遠點映射為擴充t平面上的點），把擴充z平面上的鄰域映射成擴充t平面的去心鄰域，且有=.于是，可以把在上對的研究化為在內對的研究.（1）如果是的可去奇點、級極點或本質奇點，則是的可去奇點、級極點或本質奇點.（2）若在內可以展開為洛朗級數，那么，在的洛朗級數中，如果：不含正冪項，則為的可去奇點；含有限個正冪項，則為的極點；含無窮多正冪項，則為的本質奇點.三、留數定理及留數計算方法（一）留數定義 若是解析函數的一個孤立奇點，在的去心鄰域內解析，為鄰域內任一簡單閉曲線，則稱為在處的留數，記作，即 .是在以為中心的圓環域內的洛朗級數中項的系數.（二）留數定

8、理 設函數在區域內除有限個孤立奇點，外處處解析，是內包圍諸奇點的一條簡單閉曲線，則 .利用定理，可以將求沿封閉曲線的積分，轉化為求被積函數在內各孤立奇點處的留數.（三）留數的計算與極點處留數的計算規則.計算留數最基礎的依據是定義 ,為某去心鄰域內一條簡單閉曲線，是以為中心某鄰域內洛朗級數項的系數.即，可通過求積分的值或求洛朗級數項系數來計算留數，所以若為的可去奇點，則.若為的本質奇點，則.若為的極點，則有以下規則：規則I 若是的一級極點，有 .規則II 若是的級極點，有 .規則III 當，和都在解析，如果，則為的一級極點，且有 .實際計算時，可以用規則，也可以用定義求洛朗級數的，或計算.（四）

9、若函數在解析，為圓環域內繞原點的任何一條正向簡單閉曲線，則稱積分為在點的留數，記為 .定理 如果函數在擴充的復平面內只有有限個孤立奇點，則在所有各奇點（包括點）的留數總和比等于零.規則IV .以上定理和規則提供了計算復變函數沿閉曲線積分的一種方法，這些方法使用恰當的話會使計算更簡便.四、孤立奇點類型的判別及其在留數計算中的應用相關例題例1 指出下列函數在零點z=0的級：（1） （2）. 解（1）用求導數驗證：記，不難計算 即 故為函數的四階零點.由泰勒展式：由展開式 可知 其中內解析，.故為函數的四階零點.（2）由展開式 可知 其中 在內解析，.故是函數的15階零點.例2 判斷下列函數的奇點類

10、型？如果是極點，指出它的級數.（1） ； （2）； （3）；（4） ； （5）； （6）；（7） ； （8）（n為正整數）.解 （1）令，得。因函數在點及處無定義，所以是此函數的奇點，且都是孤立奇點。又由分別是函數 的一級零點，二級零點，故與分別是的一級極點與二級極點。 （2）顯然是的孤立奇點。 由于在點處的洛朗展開式為 故是的二級極點。 （3）令，即，得為的奇點，且均為孤立奇點。由于與分別是函數的一級與二級零點，故與分別為的一級與二級極點。（4） 顯然是的孤立奇點。且由知，是的可去奇點。另外，也是的奇點，但它不是孤立奇點。因為在負實軸（的左側）上處處不解析（即在的無論多小的鄰域內總有的不解析

11、點）。（5） 令，即或，得 （）。故的奇點分別為（）。對于，由于是的零點，且 所以是的一級零點，從而可知是的二級零點，故是的二級極點。對于，用類似的方法可知，它也是的二級極點。對于（），由于 所以（）都是的一級零點，故它們都是的一級極點。（6）顯然只有一個奇點。由于在的去心鄰域內的洛朗展開式為其中含有無數多個的負冪項，故是的本質奇點。（7）令，得因此，的奇點分別是，且是孤立奇點。對于，由于它是的零點，且 所以是的一級零點，從而可知是的三級零點，故是的三級極點。（8） 令，即，得 ，故共有個孤立奇點。 由于它們都是函數的零點，且易知 所以它們都是的一級零點，因此可知它們都是的一級極點。例3 證明

12、不恒為零的解析函數的零點是孤立的.即若不恒為零的函數在內解析，則必有a的一個領域，使得在其中無異于a的零點（解析函數零點的孤立性）. 分析 由于解析函數不恒為零且，所以利用在點a的泰勒展開式可知，總存在自然數，使，（否則獨所有m，由泰勒定理矛盾）.于是可設a為的m階零點，然后由零點的特征來討論. 證 （不妨設）a為的m階零點，其中內解析，. 因在a 處解析，則有，可取，存在著，當時，由三角不等式 便知當時 即有，故在a的鄰域內使.例4 判斷點是不是下列函數的奇點：（1） ； （2）； （3）； （4）.解 （1），（）是的一級極點.當時，所以是的極點的極限點，不是孤立奇點.（2） 函數在復平面

13、除去，和連接它們的線段外單值解析.又，所以是的可去奇點.（3） 是的本質奇點，又是的可去奇點，所以是的本質奇點.（4） 因為不存在，所以是的本質奇點.例5 求下列函數的有限奇點處的留數：（1） ；（2）；（3）；（4）；（5）；（6）；（7）；（8）.解： （1）因為，所以為的一級極點，故依規則I，有 ， . (2)是分母四級零點，分子一級零點，因而是的三級極點，于是依規則II，有 . (3)因，所以為的三級極點，于是，依規則II，有 . . (4)是一級零點，所以是的一級極點，于是依規則III，有 . (5)因為，在內，有 ，故 . (6)因為，在內，有 ,故 . （7）是二級極點，是一級極

14、點.依規則II和規則III，有 ， （8）為一級極點，依規則III，有 . 例6 用多種方法求的留數.解 和是的一級極點.方法1 用洛朗展開法.，. ，. ，.所以 ， ， .方法2 用極限法（規則I）. ， .由留數和定理知 .方法3 用柯西公式（積分）.， .同極限法，有.注意，內只有一個奇點.方法4 用求導法（規則III）. ， .同極限法，有.例7 求下列函數在的留數.（1） ； （2）； （3）； （4）；（5） .解 （1），不含正冪項，因而點是可去奇點，所以 （2），含無窮多正冪項，所以點本質奇點，有 （3） ，.所以 .（4） 因為是的一級極點，且 ， ，所以 .（5） 只有三個有限遠奇點，是一級極點，是四級極點，其留數分別為 故 結論本文通過對資料，及相關文獻的研究分析，總結了解析函數孤立奇點的判別方法并對函數在無窮遠處的性態進行分析，并通過對具體實例的研究分析進一步論述了孤立奇點在留數計算中的應用使得孤立奇點的知識更加系統、全面，對以后學習此部分內容的同學提供一定的幫助，使其對孤立奇點的理解更加清晰，應用得更加自如。但本文中的例題并未包含此部分的全部類型，如不能求出極點的級數的類型