1、切換系統來源于實際控制系統，所以對其研究不但是現代控制理論發展的需 要，更是試圖解決大量實際問題的迫切需求不同于一般系統，切換系統在運行過程中，切換規則起著重要作用，不同的切換規則將導致完全不同的動態特征：若干 個穩定的子系統在某一切換規則下可導致整個系統不穩定.而若干個不穩定的子 系統在適當的切換下可使整個系統穩定，即其子系統的穩定性不等價于整個系統 的穩定性.1999年Daniel Liberzon和A. Stephen Morse發表了一篇切換系統穩定性分析 的綜述文章，并歸結為如下三個基本問題：問題1:切換系統在任意切換下漸近穩定的條件；問題2:切換系統在受限切換下是否漸近穩定；問題3

2、:如何設計切換信號，使得切換系統在該切換信號下漸近穩定.以上三個問題是在研究切換系統穩定時密不可分的。我們在研究切換系統穩定性的時候，大多圍繞這三個問題展開.在對控制系統進行分析的過程中，已經有了很多的研究方法，在研究切換系統的穩定性時， 我們經常用到的方法有：單 Ly apunov函數方法，共同Ly apu nov函數方法，多 Lyapunov函數方法，共同控制 Lyapunov函數方法，backstepping方法，LMI等。切換系統基本知識定義1一個切換系統被描述成以下微分方程的形式x?= f 八 x)(1)其中這里fp : p P是一族Rn - Rn的充分正則函數，(T： 0,+x)

3、- p是關 于時間的分段.常值函數，稱為切換新號。帝可能取決于時間t或狀態x(t)，或兩者都有。P是某個指標集。以下非特別指明假設 P都是有限集。如果這里所有 的子系統都是線性的，我們就得到一個線性切換系統，x?= Ax)(2)1任意切換下穩定很明顯，為了研究切換系統在任意切換下的穩定性， 我們必須假設所有系統 都是穩定的，這點對于切換系統的穩定只是必要條件。我們要研究的是為了使切 換系統在任意切換下穩定還需要什么條件。存在共同Lyapunov函數是系統在任意切換下漸近穩定的充要條件，因而尋求共同Lyapunov函數存在的條件是解決穩定性問題的一個途徑。共同Lyapunov函數法與傳統的Lap

4、unov直接法基本是一致的。其主要思想是：對于切換系統， 如果各子系統存在共同Lyapu nov函數，那么系統對于任意的切換序列都是穩定 的。定理1 Lapu nov穩定性定理為研究切換系統的穩定性提供了一個基本工具， 具體如下：對于切換系統(1)，如果存在正定連續可微的函數 V: Rn -Rn，正定連續 的函數W: Rn - Rn，滿足?VV(x) = ?p(x)三-W (x)?x, ?p P那么顯然系統是穩定(漸近穩定)的。如果V(x)是徑向無界的，則結果是全局 的。因此，這樣一個Lapunov函數(稱為共同Lyapunov函數)是研究切換系統的一 個重要課題。對于線性系統 (1)，一般要

5、找的是二次Lyapunov函數。定義2給定一組穩定矩A, i Q,若存在一個正定矩陣P>0使得AT P + PAi < 0, ?i Q則稱它為Ai, i 0的一個共同二次Lyapunov函數。引理 1 如果切換系統的子系統存在不穩定的凸組合，nx?=刀叮(x)i=1其中，n > 0 , 3=1 pi = 1,那么該切換系統不具有共同 Lyapunov函數。 由以上引理可見，切換系統存在共同 Lyapu nov函數V(x)的必要條件為切換系統 的子系統的凸組合均穩定。另外,對于下列一對二階漸近穩定的線性系統還有以下充分必要條件。x?= Ai(x) , Ai R2x2, i =

6、1,2考慮兩個子系統的矩陣凸組合Ya(A1 , A2) ? aA + (1 - a)A2 , a (0,1)定理2 一對二階漸近穩定的線性切換系統具有共同二次Lyapunov函數當且僅當丫“1, A2)和丫“1, A21 )中的矩陣都穩定。定理3如果Ap: p P是由一些可交換的Hurwitz矩陣組成的有限集，那 么這個相應的線性切換系統( 2)是全局一致指數穩定的。令A1,A2,.，Am是一個給定的由交換的Hurwitz矩陣構成的集合，令R是 下面的Lyapunov方程的唯一的正定解AT1 P1 + P1 A1 = -I對于i=1,m ,令P是下面的Lyapunov方程的唯一的正定解ATi

7、Pi + Pi Ai = -P i-1然后函數V(x) = xT Pm x是所期望的給定的線性切換系統 (2)的一個二次共同Lyapunov函數。Pm由以下 公式給出乂OOPm = / eAmtm ( / eATt1 eA1t1dt1) eAmtmdtm 00由于A , i = 1,m是可交換的，所以我們可以將上式可以重新寫成下面的形式OOPm = / eATtiQieAitidti0這里Qi > 0定理4如果fp： p P是由可交換的一次連續可微的斜向量場組成的有限 集，并且所有的子系統的原點是一個全局漸進穩定的平衡點，那么交換的切換系統(1)是全局一致漸進穩定的。這里沒有給出共同Ly

8、apunov函數的明確結構，有兩種方法能夠構造這樣的 一個函數，但是，他們都要依靠更強的條件：系統(1)的各子系統是指數穩定 的。并且僅僅給出一個局部的共同 Lyap u nov函數。方法一考慮這樣一個線性化的矩陣?f pAp： =莎(0)，p P.如果非線性的斜向量場可交換，那么線性化的矩陣Ap也可交換。(假設fp C1，fp(0) = 0，?p P)。線性化的矩陣可交換是一個弱解條件。矩陣Ap是Hurwitz的當且僅當斜向量場fp是指數穩定的。這樣對于線性化的系統的一個二次共同Lyapunov函數，就可以作為這個有限子族非線性系統原點處的一個局部的共同Lyapu nov函數。方法二 令P=

9、 1,m，系統(1)的各子系統fp是指數穩定的。對于任意的p P,令如(t，z)表示系統x?= fp (x)滿足初始條件x(0) = z的解，定義T 2V (x)?/ | 咖(T z) | d T0V (x) ?彳 V-1 ( ©i ( T z) d Ti=2,m這里T是一個足夠大的正常數。那么Vm是一個各子系統的局部共同Lyapunov函 數。如果函數fp: p 卩滿足全局Lipschitz條件，那么我們就得到一個全局的共 同Lyapunov函數。定理5 (共同Lyapunov存在逆定理)假設切換系統(1)是全局一致漸進穩 定的，集合fp (x): p P對?x有界，函數fp (x

10、)對于x和一致的p滿足局部 Lipschitz條件，那么這個系統的各子系統有一個徑向無界的光滑的共同Lyapunov函數。2受限切換穩定多Lyapunov函數法是Branicky從切換系統的特點出發提出的，這是因為共 同Lyapunov要滿足的條件往往過強，實際系統中存在共同Lyapunov函數的情形并不多見，而且很多切換系統雖然不存在共同Lyapu nov函數，卻可以選擇適當的切換信號使系統漸近穩定。對于這樣的系統，多Lyapu nov函數法是一種有效的方法。多Lyapunov函數:為切換系統定義一組 Lyapunov-like函數V,i= 1,2,m，然后 判定切換系統穩定性。對于系統(1

11、),假設各個子系統切換時狀態不發生跳變，平衡點為? Qi ? Rn, fi (x)是全局Lipschiz連續的，所謂Lyapunov-like函數V是定義在區域僦上的一個連續可微的實值函數，且滿足以下條件正定性：V(?) = 0，?x 結，當x工?，V (x) >0 導數負定：當切換到子系統fi (x (t)時，其相應的Lyapunov函數V單調遞 減，即卩?V?x 禽，V(x) = fi(x) < 0。共同Lyapunov函數法研究切換系統對于任意切換序列是否穩定，而多 Lyapu nov函數法研究系統對于一類切換序列是否穩定。定理6若切換系統(1)的各子系統都是全局漸進穩定的，

12、 令Vp，p P是相 應的各子系統的徑向無界的Lyapunov函數，若存在一族正定的連續函數 Wp，p P,滿足對于每一對切換時刻(ti，tj)，i < ?滿足o(ti) =(T (t) = p P，并且o(tk)工 p，ti < tk < tj，Vp (x(t j) - Vp(x(ti) < -Wp (x(ti)則切換系統(1)是全局漸進穩定的。基于逗留時間的穩定性對于切換系統，即使各個子系統均漸近穩定，如果切換不當，也可能使這個 系統不穩定。直觀地說，這是由于切換引起的“系統能量”增長趨勢超過了各穩 定子系統對“系統能量”的衰減作用。一個自然的想法是，如果在各穩定子

13、系統 內停留的時間足夠長，以對消并超過切換引起的“系統能量”增長趨勢，那么切 換系統就可以穩定了。這一方法被稱為“長駐留時間”。衡量逗留時間長短的最簡單直接的方法就是引入一個正常數T> 0，假設相鄰切換時刻相差不小于T勺切換信號(即每次在子系統的逗留時間不小于 T，我們 考慮在這樣一類切換信號下系統的穩定性。對于線性切換系統，如果各個子系統 均漸近穩定，那么只要切換信號滿足在各個子系統內的逗留時間足夠長，即只要雄夠大，就可以保證線性切換系統全局指數穩定，并且還可以定量計算出逗留 時間的下限。在一定條件下，還可以將上述結論推廣到非線性切換系統。在這里，我們僅以一組全局指數穩定的非線性系統為

14、例來說明基于逗留時間 的穩定性條件。假設切換系統(1)的各子系統是全局指數穩定的，對于任意的 p P，都存在對應的Lyapunov函數Vp滿足(4)?v2?7 fp (x) < -c p|x| ( M + 入2)° a1 a2平均駐留時間平均駐留時間是將所考慮的切換信號擴充到只要隨著時間區段的增長切換次數不會增加太快的切換信號。或者是線性增長N/T,t) w No + T-L，則T稱為是T平均駐留時間。定理7對于切換系統(1)，如果各子系統都存在連續可謂的函數Vp：Rn -R, p P, a , a2是兩個K乂類函數，?o ,保正常數，若滿足a(|x|) w Vp(x) w a

15、2(|x|) , ?x, ?p P?V?fp(x) w -2 入oW(x), ?x ?p PVp(x) w uV(x) ?x ,?p q P則系統(1)對于有平均駐留時間t>號y的任意切換信號是全局漸進穩定的2入o其中ap, bp, 9是正常數。由(3)和(4)我們能夠得到?V?fp(x) < -2 ApVp(x), p P 這里召？ J， p P。bp這樣 vp(x (to+ T ) < e-2 心 Tvp(x (to)當t to,to + T，o- (t) = p。F面我們考慮以下兩個子系統的情況P=1,2, 0=1, t to,ti), 0=2, t ti我2), t

16、i+1 - tiT, i = 0,1。由以上不等式我們知道 b2b2 -2 、 TV2 (t1) w V1 (11) < e log叱)，就可以保證切換系統全局漸近穩定。 Vi(to)a1a1M (t2) < b1V2 (t2) wb1e-2 入2T2(t1)w池 e-2 (入 1+入2)"(to)a?a?a a?只要 足夠大，就可以保證V1(t2)< V1(to),引用多Lapunov函數穩定性條件可見，只要切換信號滿足在各個子系統內的駐留時間雄夠大(其實只需T>單 Lyapunov 方法單 Lyapunov 函數作為一種特殊的多 Lyapunov 函數是針

17、對每個子系統都 不穩定提出的 ,一般結合凸組合技術來使用。 單 Lyapunov 方法為首先的選用方法。 令 V 是切換系統所對應的 Lyapunov 函數，單 Lyapunov 的本質可描述為： 1） 當第 i 個子系統被激活時， V 遞減； 2） 第 i 個子系統激活時 V 的末端值作為 下一個被激活系統時 V 的初始值。它與多 Lyapunov 函數不同的是不要求 Lyapunov 函數在整個空間上都是遞減的。3 穩定的切換信號從應用角度看， 這方面的內容意義最大， 因為切換系統的精華在于 “切換”， 即設計一組切換信號使切換系統在這組切換信號下穩定。 這是切換系統研究的重 要內容。雖然

18、切換系統是由若干子系統和一組切換信號組成， 但絕不是各個子系 統簡單的疊加，切換信號的作用同樣相當重要。其中，線性矩陣不等式方法，凸 組合技術，線性化手段以及完備集概念都被應用到此領域中。這部分主要講的是依賴于狀態的穩定， 書中所研究的也主要是線性矩陣， 用 到的關鍵技術是凸組合。下僅以子系統為 2 的情況說明。定理8若矩陣A1 , A2存在一個Hurwitz的凸組合，那么就存在一個依賴于 狀態的策略使得 P= 1,2 的線性切換系統（ 2）二次穩定。（它的逆也成立）?，F在的切換系統研究也主要集中于研究具有特定結構的系統， 設計一組切換 信號使系統穩定?？v觀近年來的切換系統發展， 隨著計算機技術的飛速進步和普及應用為切換 系統實施控制提供了堅實的物質基礎和廣闊