1、梯度、散度和旋度   梯度、散度和旋度是矢量分析里的重要概念。之所以是“分析”，因為三者是三種偏導數計算形式。這里假設讀者已經了解了三者的定義。它們的符號分別記作如下：                                 

2、60;                                                 

3、60;              從符號中可以獲得這樣的信息：求梯度是針對一個標量函數，求梯度的結果是得到一個矢量函數。這里稱為勢函數；求散度則是針對一個矢量函數，得到的結果是一個標量函數，跟求梯度是反一下的；求旋度是針對一個矢量函數，得到的還是一個矢量函數。這三種關系可以從定義式很直觀地看出，因此可以求“梯度的散度”、“散度的梯度”、“梯度的旋度”、“旋度的散度”和“旋度的旋度”，只有旋度可以連續作用兩次，而一維波動方程具有如下的形式 

4、0;                             (1)其中a為一實數，于是可以設想，對于一個矢量函數來說，要求得它的波動方程，只有求它的“旋度的旋度”才能得到。下面先給出梯度、散度和旋度的計算式：        &#

5、160;                (2)                          (3)      &#

6、160;                    (4)旋度公式略顯復雜。這里結合麥克斯韋電磁場理論，來討論前面幾個“X度的X度”。 I.梯度的散度：根據麥克斯韋方程有：                  

7、60;               而                                  (5

8、)則電勢的梯度的散度為                            這是一個三維空間上的標量函數，常記作                 &

9、#160;               (6)稱為泊松方程，而算符2稱為拉普拉斯算符。事實上因為定義                             &

10、#160;  所以有                               當然，這只是一種記憶方式。當空間內無電荷分布時，即=0，則稱為拉普拉斯方程         

11、60;                            當我們僅需要考慮一維情況時，比如電荷均勻分布的無限大平行板電容器之間（不包含極板）的電場，我們知道該電場只有一個指向，場強處處相等，于是該電場滿足一維拉普拉斯方程，即       

12、0;                             這就是說如果那邊平行板電容器的負極板接地，則板間一點處的電壓與該點距負極板的距離呈線性關系。 II.散度的梯度：散度的梯度，從上面的公式中可以看到結果會比較復雜，但是它的物理意義卻是很明確的，因為從麥克斯韋方程可以看出空間某點處電場的散度

13、是該點處的電荷密度，那么再求梯度就是空間中電荷密度的梯度。這就好比說清水中滴入一滴紅墨水，起初水面紅色濃度最高，杯底濃度最低，這樣水面與杯底形成一個濃度梯度，紅墨水由水面向杯底擴散，最后均勻。在半導體中，載流子分布的不均勻會導致擴散電流。散度的梯度這個概念其實不常用，因為計算復雜，但在后面講用它來推導一個矢量恒等式。 III.梯度的旋度：對于梯度的旋度，直接把(2)式代入(4)式中，有由于勢函數在空間一點的領域內往往是有二階連續混合偏導數的，因此上式的結果為0.所以說梯度的旋度為零，它的物理意義也是很明確的。比如一個人從海平面爬到一座山上，無論它是從山的陡坡爬上去還是從緩坡爬上去，亦

14、或者坐直升機上去，重力對他所做的功總是相等的，即力場的做工只與位移有關，而與路徑無關，這樣的場稱為保守場，而保守場是無旋場。再比如繪有等高線的地圖，如果某點只有一個一根等高線穿過，那么該點有一個確定的相對高度。如果該點有兩條或以上的等高線穿過，則這個點處在懸崖邊上，這個點處是不可微，也就沒有求梯度的意義。 IV.旋度的散度：求旋度的散度也是將(4)式代入(3)式即可。若令                  

15、          (7)則                                       &#

16、160;                                                 &#

17、160;            從而                                     

18、                                                  

19、      將上面三式相加結果也為零。所以說旋度的散度為零，這就意味著一個散度場任意疊加上一個有旋場不會改變其散度，也就是說光憑矢量場的散度無法唯一地確定這個矢量場。而光憑矢量場的旋度也無法唯一地確定這個矢量，這是因為有旋場可以疊加上這么一個矢量場而不改變其旋度，而這個矢量場是一個標量函數的梯度。 V.旋度的旋度：旋度的旋度將是本文的重點。若所研究的空間范圍內是無源的，即=0，J=0，則根據麥克斯韋方程有：          

20、                      (8)                           

21、60; (9)                                   (10)            &#

22、160;                  (11)對(9)式兩端取旋度                          (12)再將(8)式代入(12)式有

23、                             (13)看到這里容易讓人想到式(1)，前面說式(1)的方程為一維波動方程，那么跟(13)式有什么聯系呢？棘手的問題是算旋度已經夠復雜了，算旋度的旋度豈不是更費周折？幸好有矢量恒等式可以利用來幫助簡化計算，這里要用到前面所講的散度的梯度。即有： 

24、;                         (14)這里拉普拉斯算子作用于一個矢量函數時，意義變得不明確了，它和前面的幾個“X度的X度”都不一樣，實際上它有這樣的定義：              

25、60;         (15)為了驗證式(14)還是要對計算“旋度的旋度”，但以后可以直接利用該式。還是做(7)式那樣的處理，即令                               

26、60;則                                                 &#

27、160;                                              于是   

28、            (16)而令                                     

29、             (17)兩式相減有               (18)類似地有                   &

30、#160;                                                 &

31、#160;  由于所關心的空間內是無源的，所以式(13)變成                             (19)這個方程很重要，稱為三維波動方程，這也從理論上揭示了電磁波的存在。它的各分量展開后比較復雜，實際上我們無法繪制出一個向四面八方傳播的波的振動圖像，但好在可以畫出一維

32、和二維的波，從而了解波的性質。有些事物我們無法在現實世界中呈現，或繪制出圖形，但是數學上卻可以計算且有確切的物理意義，比如高于三維的空間，不得不感嘆數學的神奇，感嘆我們生活的世界的神奇。 VI.幾個矢量恒等式：前面已經介紹了一個矢量恒等式，還有其他幾個重要的恒等式。由于三種“度”是三種不同微分算法，雖然有些場合可以把當做一個普通的矢量來處理，但并不總是正確的，這一點需要引起注意。   這里“×”乘的優先級高于“·”乘對于普通三個不共面的矢量A、B、C則有A·B×C=C·A×B=B·C&

33、#215;A。得到的結果是令三個矢量共起點，以三個矢量的模為棱構成的六面體的體積或它的負值。但是對于算子，則一般                                   但是一般有     

34、;                           實際上上面的矢量恒等式就是上式的擴展梯度、散度和旋度  (2011-09-12 20:36:08)轉載標簽： 旋度 散度 梯度 矢量場 拉普拉斯算子 波動方程分類： 電子技術 

35、0; 梯度、散度和旋度是矢量分析里的重要概念。之所以是“分析”，因為三者是三種偏導數計算形式。這里假設讀者已經了解了三者的定義。它們的符號分別記作如下：                                    

36、60;                                                 

37、60;           從符號中可以獲得這樣的信息：求梯度是針對一個標量函數，求梯度的結果是得到一個矢量函數。這里稱為勢函數；求散度則是針對一個矢量函數，得到的結果是一個標量函數，跟求梯度是反一下的；求旋度是針對一個矢量函數，得到的還是一個矢量函數。這三種關系可以從定義式很直觀地看出，因此可以求“梯度的散度”、“散度的梯度”、“梯度的旋度”、“旋度的散度”和“旋度的旋度”，只有旋度可以連續作用兩次，而一維波動方程具有如下的形式    

38、0;                          (1)其中a為一實數，于是可以設想，對于一個矢量函數來說，要求得它的波動方程，只有求它的“旋度的旋度”才能得到。下面先給出梯度、散度和旋度的計算式：           &#

39、160;             (2)                          (3)         &#

40、160;                 (4)旋度公式略顯復雜。這里結合麥克斯韋電磁場理論，來討論前面幾個“X度的X度”。 I.梯度的散度：根據麥克斯韋方程有：                     

41、60;            而                                  (5)則電勢的梯度的散度為 &

42、#160;                          這是一個三維空間上的標量函數，常記作                    &

43、#160;            (6)稱為泊松方程，而算符2稱為拉普拉斯算符。事實上因為定義                                所

44、以有                               當然，這只是一種記憶方式。當空間內無電荷分布時，即=0，則稱為拉普拉斯方程            

45、60;                         當我們僅需要考慮一維情況時，比如電荷均勻分布的無限大平行板電容器之間（不包含極板）的電場，我們知道該電場只有一個指向，場強處處相等，于是該電場滿足一維拉普拉斯方程，即          

46、0;                          這就是說如果那邊平行板電容器的負極板接地，則板間一點處的電壓與該點距負極板的距離呈線性關系。 II.散度的梯度：散度的梯度，從上面的公式中可以看到結果會比較復雜，但是它的物理意義卻是很明確的，因為從麥克斯韋方程可以看出空間某點處電場的散度是該點處的電荷密度，那么再求梯度就是

47、空間中電荷密度的梯度。這就好比說清水中滴入一滴紅墨水，起初水面紅色濃度最高，杯底濃度最低，這樣水面與杯底形成一個濃度梯度，紅墨水由水面向杯底擴散，最后均勻。在半導體中，載流子分布的不均勻會導致擴散電流。散度的梯度這個概念其實不常用，因為計算復雜，但在后面講用它來推導一個矢量恒等式。 III.梯度的旋度：對于梯度的旋度，直接把(2)式代入(4)式中，有由于勢函數在空間一點的領域內往往是有二階連續混合偏導數的，因此上式的結果為0.所以說梯度的旋度為零，它的物理意義也是很明確的。比如一個人從海平面爬到一座山上，無論它是從山的陡坡爬上去還是從緩坡爬上去，亦或者坐直升機上去，重力對他所做的功總

48、是相等的，即力場的做工只與位移有關，而與路徑無關，這樣的場稱為保守場，而保守場是無旋場。再比如繪有等高線的地圖，如果某點只有一個一根等高線穿過，那么該點有一個確定的相對高度。如果該點有兩條或以上的等高線穿過，則這個點處在懸崖邊上，這個點處是不可微，也就沒有求梯度的意義。 IV.旋度的散度：求旋度的散度也是將(4)式代入(3)式即可。若令                     

49、       (7)則                                          &#

50、160;                                                 &#

51、160;         從而                                        

52、                                                  

53、   將上面三式相加結果也為零。所以說旋度的散度為零，這就意味著一個散度場任意疊加上一個有旋場不會改變其散度，也就是說光憑矢量場的散度無法唯一地確定這個矢量場。而光憑矢量場的旋度也無法唯一地確定這個矢量，這是因為有旋場可以疊加上這么一個矢量場而不改變其旋度，而這個矢量場是一個標量函數的梯度。 V.旋度的旋度：旋度的旋度將是本文的重點。若所研究的空間范圍內是無源的，即=0，J=0，則根據麥克斯韋方程有：             

54、                   (8)                             (9) 

55、                                  (10)               &#

56、160;               (11)對(9)式兩端取旋度                          (12)再將(8)式代入(12)式有   

57、                          (13)看到這里容易讓人想到式(1)，前面說式(1)的方程為一維波動方程，那么跟(13)式有什么聯系呢？棘手的問題是算旋度已經夠復雜了，算旋度的旋度豈不是更費周折？幸好有矢量恒等式可以利用來幫助簡化計算，這里要用到前面所講的散度的梯度。即有：    

58、;                      (14)這里拉普拉斯算子作用于一個矢量函數時，意義變得不明確了，它和前面的幾個“X度的X度”都不一樣，實際上它有這樣的定義：                 

59、60;      (15)為了驗證式(14)還是要對計算“旋度的旋度”，但以后可以直接利用該式。還是做(7)式那樣的處理，即令                                則  &#

60、160;                                                 &#

61、160;                                           于是      

62、         (16)而令                                        

63、          (17)兩式相減有               (18)類似地有                      &

64、#160;                                                 由

65、于所關心的空間內是無源的，所以式(13)變成                             (19)這個方程很重要，稱為三維波動方程，這也從理論上揭示了電磁波的存在。它的各分量展開后比較復雜，實際上我們無法繪制出一個向四面八方傳播的波的振動圖像，但好在可以畫出一維和二維的波，從而了解波的性質。有些事

66、物我們無法在現實世界中呈現，或繪制出圖形，但是數學上卻可以計算且有確切的物理意義，比如高于三維的空間，不得不感嘆數學的神奇，感嘆我們生活的世界的神奇。 VI.幾個矢量恒等式：前面已經介紹了一個矢量恒等式，還有其他幾個重要的恒等式。由于三種“度”是三種不同微分算法，雖然有些場合可以把當做一個普通的矢量來處理，但并不總是正確的，這一點需要引起注意。   這里“×”乘的優先級高于“·”乘對于普通三個不共面的矢量A、B、C則有A·B×C=C·A×B=B·C×A。得到的結果是令三個矢量

67、共起點，以三個矢量的模為棱構成的六面體的體積或它的負值。但是對于算子，則一般                                   但是一般有        

68、;                        實際上上面的矢量恒等式就是上式的擴展上兩式相減有記憶上式的方法是記住下標的順序是xyz，yzx和zxy。  這個等式相對容易證明，但前提是要在直角坐標下。 上兩式相減有記憶上式的方法是記住下標的順序是xyz，yzx和zxy。  這個等式相對容易證明，但前提是要

69、在直角坐標下。再談梯度直角坐標上的梯度公式為                                              &#

70、160;                       這實際上是一個定義式。也就是說梯度就是這么定義來著，不是以其他數學定理為基礎推導出來的。而這里就講一講梯度的幾何意義。實際上梯度幾何意義是很簡單的，看一維的情況，它就是一個模為曲線(x)上某點處導數的一維向量。那么二維情況時，若以XOY平面為參考面，即     &#

71、160;                         則梯度的幾何意義是曲面(x,y)上某點處的切平面關于XOY平面的斜率。而三維以上則變得抽象了，但仍可以此類推。事實是否如此？一般的教材都是先從方向導數的概念引出梯度。但實際上求梯度，比求方向導數容易，并且通過求梯度再得到方向導數比通過定義求方向導數要容易得多。因為有  &

72、#160;                        這里el是l方向的單位向量。注意方向導數不是向量。這里關于二維情況作一個討論。在我的前一篇文章曲面積分的求法中指出其過程是：先將曲面用垂直于x軸和y軸的平面，將曲面分割成無數片；每片曲面用平行四邊形近似；再根據平行四邊形與其對應的XOY平面上的矩形的映射關系，將曲面積分的問題轉化為關于平面求積分的問題

73、。圖1這里求梯度是得到微分方程，但是跟上述步驟是相似的。見圖1通過對曲面的微分和近似，得到了圖中所示的平行四邊形ABCD，通過平移，把D點移到坐標原點。且映射到XOY平面上的矩形PQRD。這里平面ABCD與平面XOY之間的夾角是銳角。由于微分的任意性，只要我們選取適當的dx和dy可以確保BDG等于平面ABCD與平面XOY的夾角。而此時正是BDG取得最大值的情況。那么按前面的假設應該有                  

74、;                 而正是由于dx和dy的任意性，使得值得難以直觀地驗證上述關系。而通過方向導數去驗證上述關系顯然不是想要的，今天我們要另辟新路。想到平面法向量與平面夾角之間的關系，顯然我們可以通過求法向量的方法來解決問題。而平面的法向量的求法，我已在曲面積分的求法一文中闡述。對于圖1的這種曲面，曲面方程可表示為        &#

75、160;                         則作輔助函數