1、幾何畫板迭代與深度迭代迭代是幾何畫板中一個很有趣的功能，它相當于程序設計的遞歸算法。通俗的講就是用自身的結構來描述自身。遞歸算法的特點是書寫簡單，容易理解，但是運算消耗內存較大。迭代：按一定的迭代規則，從原象到初象的反復映射過程。原象：產生迭代序列的初始對象，通常稱為“種子”。 初象：原象經過一系列變換操作而得到的象。與原象是相對概念。更具體一點，在代數學中，如計算數列1，3，5，7，9.的第n項。我們知道，所以迭代的規則就是后一項等于前一項加2。以1作為原像，3作為初像，迭代一次后得到5，再迭代一次得到7，以此類推。在幾何學中，迭代使一組對象產生一組新的對象。上圖中A、B、C、D、

2、E、F，各點相距1.88cm，那么怎么由A點和B點得到其它各點呢？我們可以發現其中的規律就是從左到右，每一個點相當于前面一個點向右平移了1.88cm。所以我們以A點作為原像，B點作為初像，迭代一次得到B點，二次為C點，以此類推。迭代像就是迭代操作產生的象的序列，而迭代深度是指迭代的次數。利用幾何畫板的深度迭代功能可以畫出許多美妙的分形圖形，并以幾何畫板為基礎來研究分刑圖形面積，周長的變化。一、 謝爾賓斯基三角形利用幾何畫板畫法流程：（1）先任意畫好一個三角形ABC，接著構造線段AB，BC，CA的中點D，E，F，選擇點D，E，F，再選擇菜單“構造”、“三角形內部”。(2)在“圖表”中“新建參數”

3、為n=3依次選擇點A，8，C和參數n，按住shift鍵不放后選擇“變換”中的“深度迭代”。(3)在初象中依次選A，D和F點，再添加新的映射(按Ctrl+A)，映像2中依次選D，B和E點，再按Ctrl+A，依次選F，E和C點。最后選“迭代”，得到謝爾賓斯基三角形。選擇n按“+”或“一”，三角形就進行了迭代變化。n=1 n=2 n=3 n=4n=5隨著有色三角形越來越多，空白三角形越來越少。 我們若用有色三角形表示去掉的部分,，則剩下的面積可能趨向于0，而剩下部分的周長呢,，設分形級數為n，初始邊長為1, 新產生的小三角形數量為,一個新小三角形邊長為,1謝爾賓斯基三角形周長為, 謝爾賓斯基三角形面

4、積為;當n時,顯然其周長趨向于無窮大, 面積趨向于零。著名的埃菲爾鐵塔正是以它作為平面圖的. 因為這種三角形結構可以節省材料而且強度大, 雖然鐵塔并沒有把分形進行到無窮, 但是它已經能在這種條件下完成了重力的轉移, 充分體現了這項工程的精彩, 同時也顯示了謝爾賓斯基三角形無盡的魅力.二、 分形樹分形樹制作流程：(1)畫好線段AB，取中點C，雙擊B點，以B為旋轉中心將C旋轉120。得E點，旋轉一120。得D點。(2)新建參數n=3，依次選點A，B和n，用“深度迭代”將 ，B映射到B，E和B，D就可以了然后可以改變參數，觀看分形樹的生長。n=2n=3n=101.在垂直方向上畫線段AB，在AB左上區

5、域任取一點C。2.度量CB，BA的長度，計算CB/BA；度量CBA的大小。3.雙擊C點作為旋轉中心，旋轉角度為CBA，旋轉B得到點E；繼續以CB/BA為縮放比例，E點縮為F點；雙擊線段CB作為標記鏡面，得到F點關于線段CB的對稱點G。連接GC，FC。4.雙擊線段AB作為標記鏡面，得到C、F、G關于線段AB的對稱點D、H、I，連接BD、HD、ID。5.新建參數n=3。順次選擇A、B、C三點和參數n，作深度迭代，(A,B,C) (B,C,G),(B,C,F),(B,D,H),(B,D,I)。n=2n=3n=4n=5畢達哥拉斯樹【步驟】1.在屏幕上以任取兩點A和B，作正方形ABCD，以CD為直徑作圓

6、O，取半圓弧OCD，在該弧上任取一點E，接CE，DE。隱藏不必要的對象。 2填充四邊形ABCD，度量ABCD的面積。選擇四邊形和度量結果，單擊【顯示】【顏色】【參數】。則四邊形的顏色會隨它的面積變化而變化。3.新建參數n4，選擇A、B和n，作深度迭代，(A,B)(D,E),(E,C)。n=3n=4n=5n=10n=20L分形樹1、構造初始元作始元豎直線段AB，在AB上作兩點A1，A4，以A1為中心分別按角度36度旋轉B得到B1，按角度126度旋轉A4得到B4，以B為中心分別按角度-171度旋轉A1為B2，按角度144度旋轉A1為B3，連接A1B1、BB2、BB3、A4B4、得到以下生成元生成元

7、2、刪除生成元中的四枝杈線段，顯示出初始元AB，新建參數n=5，以n為深度，將生成元AB分別在A1B1，BB2，BB3,A4B4上執行深度迭代，隱藏各點得到L分形樹。n=6（L分形樹）以上方法所作的分形樹是線性（自相似）分形樹，其變換是相似變換，屬于確定型L分形，不能得到生動逼真的植物擬態圖形。要模擬出栩栩如生的植物形態，就要引入隨機L分形。1、 作始元做初始元豎直線段AB和線段CD，在CD上作點P，度量出點P在線段CD上的值，按下圖左側公式計算度量值。標記m1，以A為縮放中心B得A1，以B為縮放中心A得A4。標記m2，以A1為中心旋轉B得B1。標記m3，以B為中心旋轉A4得B2。標記m4，以

8、B為旋轉中心旋轉A1得B3；標記m5，以A4為標記中心旋轉A得B4，連接連接A1B1、BB2、BB3、A4B4、得到以下生成元生成元：2、刪除生成元中的四枝杈線段，顯示出初始元AB，新建參數n=5，以n為深度，將生成元AB分別在A1B1，BB2，BB3,A4B4上執行深度迭代，隱藏各點得到隨機分形樹。n=6（隨機分形下的L分形樹）檜樹分形小枝繪制檜樹分形小枝的生成元同Koch 曲線生成元的構造類似，檜樹分形小枝生成元的構造也是通過一定的規則對單位長線段F0 進行修改變換而得到。具體變換規則如下：如下圖 所示，檜樹分形小枝的生成元由五條長度相等的線段組成，設每條線段長度為r，第一條線段AC 和最

9、后一條線段EB 與水平線的夾角相等，都是10°，AC 左端點A 與F0 左端點重合，EB 右端點B 與F0 右端點重合，CD與CE 成 60°角，EF 與EB 成60°角。具體C+程序設計語言如下：#include<graphics.h>/*添加繪圖函數頭文件*/ #include<cmath>/*添加數學函數頭文件*/ #include<iostream>#include<conio.h>using namespace std;#define pi 3.1415926 void huishu(double x0,

10、double y0, double x1, double y1, int k);int main(void)int n, gdriver = DETECT, gmode;/*定義迭代次數n*/printf("Please input the value of the positive integer n (n<9):");cin>>n;/*輸入迭代次數n*/initgraph(&gdriver, &gmode, "");/*圖形系統初始化*/setcolor(GREEN);huishu(50, 250, 550, 250

11、, n); /*畫檜樹分形小枝*/getch();closegraph();return 0;void huishu(double x0, double y0, double x1, double y1, int k)double x2, y2, x3, y3, x4, y4, x5, y5, x11, y11, x22, y22;double r, t;t = pi / 18;r = (2 * cos(t) - sqrt(4 * cos(t) *cos(t) - 3.0) / 3.0; /* r的計算式*/x11 = r*x1 + (1 - r)*x0;y11 = r*y1 + (1 - r

12、)*y0;x22 = r*x0 + (1 - r)*x1;y22 = r*y0 + (1 - r)*y1;x2 = (x11 - x0)*cos(t) - (y11 - y0)*sin(t) + x0;y2 = (x11 - x0)*sin(t) + (y11 - y0)*cos(t) + y0;x4 = (x22 - x1)*cos(t) - (y22 - y1)*sin(t) + x1;y4 = (x22 - x1)*sin(t) + (y22 - y1)*cos(t) + y1;x3 = (x4 - x2)*cos(6 * t) - (y4 - y2)*sin(6 * t) + x2;y3 = (x4 - x2)*sin(6 * t) + (y4 - y2)*cos(6 * t) + y2;x5 = (x1 - x4)*cos(-6 * t) - (y1 - y4)*sin(-6 * t) + x4;y5 = (x1 - x4)*sin(-6 * t) + (y1 - y4)*cos(-6 * t) + y4;if (k > 1) huishu(x0, y0, x2, y2, k - 1); huishu(x2, y2, x3, y3, k - 1);huishu(x2, y2, x4, y4,