1、2018線性代數(shù)考前沖刺復(fù)習(xí)要點(diǎn)：一、行列式的計(jì)算1、數(shù)字型行列式（根據(jù)性質(zhì)）2、抽象型行列式爪型行列式（例1、例2）對于低階(4階(含）以下）行列式，標(biāo)準(zhǔn)爪形利用對角線元素把第一行（列）化為只有一個(gè)非零元素，非標(biāo)準(zhǔn)的爪形按照非零行（列)展開; 高階的利用遞推法或數(shù)學(xué)歸納法。三條對角線型（例3）對于三對角線行列式，通過行列式性質(zhì)可以利用對角線元素把對角線下方的元素劃為0，把行列式化成上三角行列式；或者利用遞推和數(shù)學(xué)歸納法來證明。每行（列）元素和相等的行列式對于行（列）和相等的行列式，把所有行（列）加到第1行（列），提取公因子，然后通過第1列（行）把行列式變成下（上）三角行列式進(jìn)行計(jì)算。范德蒙型

2、行列式通過行列式性質(zhì)進(jìn)行變形，把行列式變成范德蒙行列式進(jìn)行計(jì)算。拉普拉斯型行列式（例4）此行列式適合比較多的類型，通過行列互換，把原行列式化成拉普拉斯型行列式。3、矩陣行列式（例7）結(jié)合矩陣的運(yùn)算，以及初等變換，來求行列式4、已知特征值的矩陣行列式（例6），相似矩陣行列式相等若 與相似，則，故可將A的行列式的計(jì)算轉(zhuǎn)化為與其相似矩陣的行列式進(jìn)行計(jì)算.一般地，其中為矩陣的多項(xiàng)式。5、拉普拉斯矩陣的行列式 其中分別是兩個(gè)方陣二、矩陣1、矩陣的加法、數(shù)乘、乘法運(yùn)算法則，方陣行列式的計(jì)算 注：對于階矩陣 ， 乘法不滿足交換律2、特殊向量的乘法 ，若，的一個(gè)非零特征值為；（因）特別的：的唯一一個(gè)非零特征值

3、，又因?yàn)槭菍ΨQ矩陣，因此相似對角矩陣，且，故的特征值為和重）；單位矩陣的特征值為1（重），因此若為單位向量，則的特征值為0，1（重）；的特征值為2，1（重），3、轉(zhuǎn)置、可逆、伴隨矩陣的性質(zhì)，4、矩陣的初等變換經(jīng)過有限步初等變換得到的矩陣是等價(jià)的。熟悉行階梯形矩陣、行最簡形矩陣的特點(diǎn)，主要用于解方程組、求極大無關(guān)組、求秩5、矩陣的秩存在階子式不等于0，對于所有的（若存在）階子式等于0；存在階子式不等于0；對于所有的階子式等于0；列秩的行秩 6、矩陣秩的性質(zhì)，（方程組同解）為維非零列向量，若，則若為可逆矩陣，則若，則為階方陣，為的伴隨矩陣，則7、初等矩陣初等矩陣是單位矩陣經(jīng)過一次初等變換得到的矩陣

4、；初等矩陣是可逆的，其逆矩陣仍然是初等矩陣；可逆矩陣可以表示成有限個(gè)初等矩陣的乘積；矩陣左乘初等矩陣，相當(dāng)于對矩陣實(shí)施一次相應(yīng)的初等行變換，右乘初等矩陣，相當(dāng)于對矩陣實(shí)施一次相應(yīng)的列變換；利用初等變換求逆矩陣；三、線性方程組1、齊次線性方程組解的判定：2、齊次線性方程組解的性質(zhì)：是的解，則也是的解； 會(huì)求基礎(chǔ)解系； 若，則基礎(chǔ)解系解向量的個(gè)數(shù)為 3、非齊次線性方程組的解的判定：4、非齊次線性方程組解的性質(zhì)及結(jié)構(gòu) 若是的解，則當(dāng)時(shí)，是的解，當(dāng)時(shí)，是的解非齊次方程的通解是對應(yīng)齊次方程的通解加上非齊次方程的特解構(gòu)成。5、矩陣方程的列向量就是的基礎(chǔ)解系 矩陣方程，即6、公共解問題 求兩個(gè)方程組的公共解

5、，也就是要找到一個(gè)解既是方程組（1）的解，也是方程組（2）的解，因此對于這類題目就是聯(lián)立兩個(gè)方程組，組成一個(gè)新的方程組求通解四、向量1、線性表示 向量可以由向量組線性表示有解向量組可以由向量組線性表示，即向量組中每個(gè)向量都可以由向量組線性表示向量組等價(jià)：向量組與向量組可以相互線性表示若，則的列向量可以由的列向量線性表示；的行向量可以由的行向量線性表示2、線性相（無）關(guān) 對于向量組，若存在一組不全為0的數(shù)，使得成立，則線性相關(guān)，否則線性無關(guān)線性相關(guān)有非零解線性無關(guān)只有零解若向量組線性無關(guān)，向量組線性相關(guān)，則向量可以由向量組線性表示，且表示唯一3、極大無關(guān)組極大無關(guān)組的定義，求法向量組的秩的定義4

6、、向量空間向量空間、基、維數(shù)的定義基變換和坐標(biāo)變換標(biāo)準(zhǔn)正交基（施密特正交化）正交矩陣的行（列）向量是單位正交的向量組五、特征值與特征向量1、定義：，是特征值，是特征值對應(yīng)的特征向量2、求法：，解出個(gè)（含重根）特征值 解 得的基礎(chǔ)解系 注：若是重根，則，即特征向量的個(gè)數(shù)小于等于個(gè)；若，矩陣可以相似對角化，否則不能。3、相似的定義：，則相似于 相似對角化充要條件存在個(gè)線性無關(guān)的特征向量。 對任意對稱矩陣存在正交矩陣，使得相似矩陣的特征值、行列式、秩、對角線元素和均相等，反之不成立。兩個(gè)對稱矩陣如果特征值相等，則必相似。4、特征值的性質(zhì) 不同特征值對應(yīng)的特征向量線性無關(guān)；特殊地，對稱矩陣不同特征值對

7、應(yīng)的特征向量正交對于階矩陣，；特殊地，若矩陣可逆，則矩陣的所有特征值不為0若是矩陣的特征值對應(yīng)的特征向量，則若，則 若矩陣可逆，則 對稱矩陣非零特征值的個(gè)數(shù)等于，的唯一的非零特征值為5、對稱矩陣的相似對角化步驟 求出的特征值、特征向量： 對于任意一個(gè)重特征值，其特征向量為先正交化，得；再把所有特征向量單位化，得存在正交矩陣，使得，其中六、二次型1、二次型矩陣 對稱矩陣2、把二次型利用正交變換化為標(biāo)準(zhǔn)型也就是對稱矩陣相似對角化的過程3、正慣性指數(shù) 二次型對任意可逆變換，其正慣性指數(shù)的個(gè)數(shù)不變，即大于0的特征值的個(gè)數(shù)不變。4、正定矩陣的判定：順序主子式大于0；特征值大于05、矩陣的等價(jià)、相似、合同

8、兩個(gè)階矩陣存在常見的幾個(gè)關(guān)系：等價(jià)、相似和合同（1）與等價(jià)經(jīng)過一系列初等變換得到，其中都是可逆矩陣（2）相似存在可逆矩陣，使得（3）合同若存在可逆矩陣，使得二次型與有相同的正、負(fù)慣性指數(shù)對于對稱矩陣而言，相似必合同，合同必等價(jià)；對于一般矩陣，相似必等價(jià)，合同必等價(jià)，相似與合同沒有必然聯(lián)系沖刺題型：例1 答案： 例2 證明例3 設(shè)是階矩陣，證明注：兩類數(shù)學(xué)歸納法介紹（一）（1）驗(yàn)證時(shí)，命題成立； （2）假設(shè)時(shí)，命題成立； （3）利用（2），證明當(dāng)時(shí)，命題成立。（二）（1）驗(yàn)證時(shí)，命題成立； （2）假設(shè)時(shí)，命題成立； （3）利用（2），證明當(dāng)時(shí)，命題成立。例4 答案：例5 設(shè)均為階矩陣，且分別是和

9、的伴隨矩陣，則= 答案：例6 已知矩陣和相似，其中，則 答案：例7 設(shè)都是維非零列向量，矩陣，若，則 答案：例8 三階矩陣可逆，把矩陣的第2行與第3行互換得矩陣，把矩陣的第1列的倍加到第3列得到單位矩陣，則 答案：例9 設(shè)為矩陣，且, 則下列命題錯(cuò)誤的是 （ ）（A）方程組只有零解 （B）方程組必有無窮多解（C）對任意的維列向量，必有無窮多解（D）對任意的維列向量，總有唯一解答案：選例10 設(shè)是矩陣，是矩陣，則（A）時(shí)僅有零解 （B）時(shí)必有非零解（C）時(shí)僅有零解 （D）時(shí)必有非零解答案：選例11 設(shè)是階矩陣，是維列向量，若秩，則線性方程組（A）必有無窮多解 （B）必有唯一解（C）僅有零解 （D

10、）必有非零解答案：選例12 設(shè)是的一組基礎(chǔ)解系，考查下列向量組； ； 上述向量組中，仍是的基礎(chǔ)解系的是 答案：選例13 已知是非齊次線性方程組的三個(gè)解，若，則方程組的通解（A） （B） （C） （D）答案：選例14 已知齊次方程組（）；方程（）有公共解，求的值及所有的公共解答案：時(shí)，公共解為；時(shí)，公共解為例15設(shè)四元線性齊次方程組()為 ,又已知某線性齊次方程組()的通解為 (1)求線性方程組()的基礎(chǔ)解系. (2)問線性方程組()和()是否有非零公共解?若有,則求出所有的非零公共解.若沒有,則說明理由.答案：（1）方程組()的基礎(chǔ)解系為 (2)所有公共解為例16設(shè)矩陣，當(dāng)為何值時(shí)，方程無解；

11、當(dāng)為何值時(shí)，方程有解，并求全部解答案：時(shí)，方程無解；當(dāng)時(shí)，方程有唯一解，解為例17 求一個(gè)齊次線性方程組，使它的基礎(chǔ)解系為答案：例18 已知是3階實(shí)對稱矩陣，若，求的通解答案：的通解例19 設(shè)且，求齊次方程組的通解答案：的通解為例20 設(shè)，不能由，線性表出。（1）求（2）將由線性表出例21 設(shè)是矩陣，是齊次方程組的基礎(chǔ)解系，是非齊次線性方程組的解.（1）證明：線性無關(guān)（2）證明方程組的任一解均可由線性表示例22 已知，則下列矩陣中與相似共有（ ）個(gè)答案：2例23 設(shè)為4階實(shí)對稱矩陣,且,若的秩為3,則相似于 ( )(A) . (B) .(C) . (D) .答案：選例24設(shè)是階矩陣，先交換的第

12、行和第行，再交換的第列和第列得到，則下列關(guān)系中正確的有 個(gè)。 等價(jià)于 相似于 合同 答案：5例25 設(shè)矩陣相似于矩陣（1）求的值；（2）求可逆矩陣，使為對角矩陣答案：（1） （2），（不唯一）則例26 已知矩陣（1）求；（2）設(shè)3階矩陣滿足.記，將分別表示為的線性組合.答案：，。例27設(shè)是3階方陣，方程組通解為：，其中為任意常數(shù)，求和答案：，例28若二次曲面的方程為，經(jīng)正交變換化為，則答案：例29二次型，則的正慣性指數(shù)為_答案：2例30 設(shè)二次型的秩為，中行元素之和為，則在正交變換下的標(biāo)準(zhǔn)型為_答案：標(biāo)準(zhǔn)形為例31設(shè)二次型，則在空間直角坐標(biāo)系下的二次曲面為（ ）（A） 單葉雙曲面 （B）雙葉雙曲面 （C）橢球面 （D）柱面答案：選例32已知，二次型的秩為2（1）求實(shí)數(shù)的值；（2）求利用正交變換將化為標(biāo)準(zhǔn)型答案：；，在正交變換下，標(biāo)準(zhǔn)型為例33已知二次型在正交變