1、嘉函數與指數函數的區別幕函數的定義：一般地,我們把形如y=x”的函數稱為“幕函數(power- function)>其中x是自變量,概念的理解：指出下列函數哪些是幕函數4"(l)r = .v'，' 1，C)T 二一Xy_2 9)y = x 彳(2)1-=.y°(3)y=xx(4)1=-v2(6)v=-(")1=l*2+lx(8)1'=(x+1)2X23(10)T=(11)V-幕函數與指數函數的區別:指數函數的概念：一般地、函數丁="(a>0,且aWlR叫做指數函數、其中工是自變量，函數的定義域是R。-結論:從它們的解析

2、式來看有如下區別：v季函數底數是自變量、指數是常數。指數函數指數是自變量、底數是常數。，1 .指數函數：自變量X在指數的位置上，y=aAx(a>0,a不等于1)性質比較單一，當&>1時，函數是遞增函數，且y>0;當Ova<l時，函數是遞減函數，且y>0.2 .幕函數：自變量x在底數的位置上，y=xAa(a不等于1).a不等于1,但可正可負，取不同的值，圖像及性質是不一樣的。高中數學里面，主要要掌握a=-l,2、3、1/2時的圖像即可。其中當a=2時，函數是過原點的二次函數。其他a值的圖像可自己通過描點法畫下并了解下基本圖像的走向即可。3.y二8八(-0.7

3、)是一個具體數值，并不是函數，如果要和指數函數或者哥函數聯系起來也是可以的。首先你可以將其看成：指數函數y二8八x(a=8),當x-0.7時,y的值；或者將其看成：幕函數y二x八(-0.7)(a=-0.7),當x=8時，y的值。幾種常見的幕函數圖象：。嘉函數的性質：根據圖象，幕函數性質歸納如下：（1）所有的事函數在（0,+8）都有定義，并且圖象都過點（1,1）；（2）當a>0時，幕函數的圖象通過原點，并且在區間。+8）上是增函數,特別地，當a>l時，塞函數的圖象下凸；當Ovavl時，塞函數的圖象上凸；（3）當a<0時，嘉函數的圖象在區間（0,+8）上是減函數.在第一象限內，當

4、x從右邊趨向原點時，圖象在y軸右方無限地逼近y軸正半軸，當x趨于+8時，圖象在軸x上方無限地逼近軸x正半軸。指出：此時y=xO=l；定義域為（-8,0）U（0,+°°）,特別強調，當x為任何非零實數時，函數的值均為1,圖像是從點（0,1）出發，平行于x軸的兩條射線，但點（0,1）要除外。思考討論：（1）在塞函數丫=乂&中，當a是正偶數時，這一類函數有哪種重要性質？（2）在嘉函數丫=*&中，當a是正奇數時，這一類函數有哪種重要性質？講評：（1）在幕函數y=xa中，當a是正偶數時，函數都是偶函數，在第一象限內是增函數。對數函數的性質y二】。舐kg>0,&#

5、171;=1)(1)當a>l時;x>0,即。和負數無對數；當x=l時，y=O；當x>l時，y>0；當OVxVl時，y<0；在(0,+8)上是增函數.(2)當OVaVl時，x>0,即。和負數沒有對數；當x=l時，y=0；當x>1時，yV0；當OVxV1時，y>0；在(0,+8)上是減函數.函數V=叫做幕函數，其中x是自變量，a是常數(這里我們只討論a是有理數n的情況).對數與對數函數學習目標1、理解對數概念；2、能進行對數式與指數式的互化；3、掌握對數的運算性質；4、培養應用意識、化歸意識。5、掌握對數函數的概念；6、掌握對數函數的圖像的性質；7、

6、掌握比較對數大小的方法，培養應用意識；8、培養圖形結合、化歸等思想。知識要點：我們在學習過程遇到2x=4的問題時，可憑經驗得到x=2的解，而一旦出現2x=3時、我們就無法用已學過的知識來解決，從而引入出一種新的運算一一對數運算。1 .對數的定義：如果ab=N(a>0,且aW1),那么數b叫做以a為底N的對數，記作：logaN=b。其中a叫做對數的底數，N叫做真數。注意：由于a>0,故N>0,即N為正數，可見零和負數沒有對數。上面的問題：2=3=工=log3通常將以io為底的對數叫做常用對數,log 1。R簡記作lg以e為底的對數叫做自然對數，1空e嫡記作仙N。2 .對數式與指

7、數式的關系由定義可知：對數就是指數變換而來的，因此對數式與指數式聯系密切，且可以互相轉化。它們的關系可由下圖表示。指數式對數式指數對數等具數II=NlogaN-b底數由此可見a,b,N三個字母在不同的式子中名稱可能發生變化。3 .三個對數恒等式由于對數式與指數式可以互化，因此指數的恒等轉化為對數恒等式。在(a>0,aWl)前提下有：(1) a°=I<=>logaI=0儲=aOlogi=1(3)-="二產J"4 .三個運算法則：指數的運算法則通過轉化可變為對數的運算法則。在a>0,aW1的前提下有:(1)棺0蜿”必+她&叢=婉則令am

8、=M,an=N,則有m=logaM,n=logaN,必從一.m+n=bga(MN),即臉做十臉心臉網M/+/=跋山財-10g嚴=I叫(2)N,M=aN用一改令am二M,an=N,則有m=logaM,n=logaN,logalogMTog2曾=log.不方，即-N)，尸產與園地射=1%"口哂,令am二M,貝1J有m=logaM,/.mn=nbg止*.*Mn=amn,/.mn=她國(n£R),n1%MJog15.兩個換底公式同底對數才能運算，底數不同時可考慮進行換底，在a>0,aWl,M>0的前提下有：logaM-log，/恥R)令logaM二b,則有ab=M,(a

9、b)n=Mn,即I")二時,即'卜3J淡,即!%loglog。M=，.版(c>0,/1)(2) 年",令logaM=b,則有ab二M,則有1%J=1叫Mc>0,"1),log/.M,i11Zb=一log赴舷=-£(c>0,c=1)即爐臉a=log，即log",即log"當然，細心一些的同學會發現(1)可由(2)推出，但在解決某些問題(1)又有它的靈活性。而且由(2)還可以得到一個重要的結logqb=1'(a>0,ah1法>0,8m1)論：例題選講：第一階梯例1將下列對數式化為指數式，指數式

10、化為對數式：(l)log216=4；log】27=-3；(3)54=625；(1)24=16(3) V54=625,Alog5625=4.11-(4) V3-2=-,/Jog3-=-2.(5) 7(V=16/Jogl16-244例2解下列各式中的x：Q)log式也7=72(2)1。酊"一/(3)2x=3；(4)log3(x-l)=log9(x+5).解:172-1=正+工彳=4(3)x=log23.(4)將方程變形為x-l>010 ggsTy=10ggS + 5)= x + 5x-l > 0Qx = 4x + 5>0例3求下列函數的定義域:y=Jlog0J(4i-3

11、);(3)y=lg(x2+2x3)(4)廣臉小-盯思路分析:求定義域即求使解析式有意義的X的范圍，真數大于0、底大于。且不等于1是對數運算有意義的前提條件。解：(1)令x2-4x-5>0,得(x-5)(x+l)>0，故定義域為xlxv-1，或x>5(2)7log05(4x-3)>0=log051,4x-3>0,:0<4x-3Wlo解得八E4.1，定義域是xl1).X2-4>0,卜4-2或722,曲?+2x-3>0,得<x<-3或x>1.Ilg(x2+2x-3)h0,xh故所求定義域為收或-1-小M-3,Sx>2)167&g

12、t;0(4)由卜+10:兀+1H1x<2,得y>fI；tH0.所以所求定義域為xl-kO,或0vXv2vSPAN>第二階梯例4比較下列各組數中兩個值的大小(l)log23.4,(2)log0.31.8(3)loga5.1,思路分析：log28.5；,logO.32.7；loga5.9(a>0，aWl)。題中各組數可分別看作對數函數y=log2x>y=log0.3x>y=logax的兩函數值,可由對數函數的單調性確定。解：因為底數2>1,所以對數函數y=log2x在(0,+8)上是增函數，于是log23.4<LOG28.5；(2)因為底數為0.3,

13、又0V0.3因,所以對數函數y=log0.3x在(0,+8)上是減函數,于是logO.3L8>bgO.32.7；(3)當a>l時，函數y=logax在(0,+8)上是增函數，所以loga5.l<LOGa5.9；當OvAax在(0,+8)上是減函數，所以Ioga5.1>loga5.9。說明：本題是利用對數函數的單調性比較兩對數的大小問題，對底數與1的大小關系未明確指定時，要分情況對底數進行討論來比較兩個對數的大小，利用函數單調性比較對數的大小，是重要的基本方法。例5若a>0,aW1,x>0,y>0,x>y,下列式子中正確的個數是()(l)logax

14、logay=loga(x+y)；(2)logax-logay=loga(x-y)；(3)%3%戶臉了；y(4)logaxy=logaxlogay；A、0B、1C、2D、3思路分析：對數的運算實質是把積、商、塞的對數運算分別轉化為對數的加、減、乘的運算。在運算中要注意不能把對數符號當作表示數的字母參與運算。如logaxWlogax是不可分開的一個整體。4個選項都把對數符號當作字母參與運算，因此都是錯誤的。答案：A例6已知坨2。0,3010,lg3=0.4771,求1g745。思路分析：解本題的關鍵是設法將的常用對數分解為2, 3的常用對數代入計算。解：1g45-11g45=!獲9+國10-電2)

15、u=*lg3+D乙=lg3+1一.lg2乙乙=04771+05-0.1505=08266.第三階梯例7若方程lg(ax)lg(ax2)=4的所有解都大于1,求a的取值范圍。思路分析：由對數的性質，方程可變形為關于Igx的一元二次方程，化歸為一元二次方程解的討論問題。解：原方程化為(lgx+lga)(lga+21gx)=4。21g2x+31galgx+lg2a-4=0,令t=lgx,則原方程等價于2t2+3tlga+lg2a-4=0,(*)若原方程的所有解都大于1,則方程(*)的所有解均大于0,則=(31ga尸一42(lg篤-4)>0,3<-lgd>0,21 5-0g2-4)&

16、gt;0.u,MlL解得0<a<_L.100說明：換元要確保新變量與所替換的量取值范圍的一致性。例8將y=2x的圖像()A、先向左平行移動1個單位B、先向右平行移動1個單位C、先向上平行移動1個單位D、先向下平行移動1個單位再作關于直線y二x對稱的圖像，可得函數y=k)g2(x+l)的圖像。思路分析：由于第二步的變換結果是已知的，故本題可逆向分析。解法1：在同一坐標系內分別作為y=2x與y=log2(x+l)的圖像，直接觀察，即可得D。解法2：與函數y=log2（x+l）的圖像關于直線y=x以對稱的曲線是它的反函數y=2x-l的圖像，為了得到它，只需將y=2x的圖像向下平移1個單位

17、。由尸gQ+D臺 yr解法3：了:所以Q0）點在函勤工log式了+1）的圖像上,0）點關于y=兀對稱的點還是了=。本身。函數y=2x的圖像向左或向右或向上平行移動都不會過（0,0）點，因此排除A、B、C,即得D。說明：本題從多角度分析問題、解決問題，注意培養思維的靈活性。例9已知logl89=a,18b=5,求log3645的值；（用含有a、b的式子表示）思路分析：當指數的取值范圍擴展到有理數后，對數運算就是指數運算的逆運算（擴展之前開方運算是乘方運算的逆運算）。因此，當一個題目中同時出現指數式和對數式時，一般要把問題轉化，即統一到一種表達形式上。解：由18b=5,得b=logl85,又log

18、l89=a,.Iogl89+logl85=log3645=a+b,則"l°gi&45logie361+log1822-log892-a說明：在解題過程中，根據問題的需要指數式轉化為對數式，或者對數式轉化為指數式運算，這正是數學轉化思想的具體體現，轉化思想是中學重要的教學思想，要注意學習、體會, 詳細題解逐步達到靈活應用。1.求值：小2bg525 + 31og，4-81ogo1lg5-g20+lgJ2解:(2)21og525+31og264-8Iog101=2,logs5，3log?26-8x0=4+18-0=22.lg5lg20+lg32=lg5(lg4+lg5)+

19、lg32=21g2Ig5+lg25+lg22=(lg2+lg5)2=l注意：Ig2=logl02,此為常用對數，Ig22=(lg2)2,區別于lg2,=21g2。2 .求值:(1)(log43+log83)(log32+log92)log8940g并329”解：(i)(log43+log83)(log32+log92)=(!2+號2)Qog32+=1'loga3'iog32=|1591g3221g351g210(2)bgJbg燈兆lg8g2731g231g39o=3嘀總=25o不為1任意數為底均可，但具12(-lo©5)丁砥5w32法一：921,口彳小劣”92法二:9

20、產33,注意：運用換底公式時，理論上換成以大于體到每一個題，一般以題中某個對數的底為標準，或都換成以10為底的常用對數也可。（3）的第二種方法直接運用的第一個換底公式，很方便。log 4”6 =3 .已知:log23=a，log37=b，求:log4256=?log356_1叫7+log38_logJ7+31og32_MM_log342log37+log36log37+l+log32b+3a_ab+J3-1+a+1a.a+81.«,、lg=-(lg3+lg)4 -已知：a2+b2=7ab,a>0,b>0o求證：32證明：:a2+b2=7ab,/.a2+2ab+b2=9ab

21、,即(a+b)2=9ab,lg(a+b)2=lg(9ab),*/a>0,b>0,21g(a+b)=lg9+lga+lgb,/.21g(a+b)-lg3=lga4-lgb,a+b1&-1g亍=2堰"屋)5 .已知：2”=3=求證：3ab-bc-2ac=0。證明:設2唯3=6'=佃°),則:6a=log2m,3b=log”2c=log6mlog 2 用M log 6 掰3ab="log2mlog3m6be+lac=+2a)c=(-log3m+-log2w)-log6m=(log3m+33261,1例2幽Oga冽L1,1=7(；"+

22、log2w)-log2wlog3wb-6log23log366log23、+1)丁log”log36=1，二3ab=bc+2ac，= gm即3ab-bc-2ac=0。7電26 .求值：27里i7堵2.(上戶0=7必守1°.(2)迄7-1解：22產向,鏟匯京嗎嬴2.2.7總?(1)/另解：設2=m(m>0),./. Ig2=lgm, /. 2=m, R|J國2崛7+*.lg227+(Jg7-D(-lg2)=lg加產大 課后練習：盧上蚯)3-4$X2|log52'1og793.4.5.2.已知:x log34=l，求：2" + 2T的值。已知:lg2=a ,lg3

23、=b ，求:log512的值。1,W3+lg5參考答案:31.- 22.-3. 17t74. 32a +35. 1一 d對數函數的性質及應用概念與規律：1 .對數函數y=bgax是指數函數y=ax的反函數，在學習對數函數的概念，圖象與性質時，要處處與指數函數相對照。2 .在同一坐標系內，當a>l時，隨a的增大，對數函數的圖像愈靠近x軸;當0vA<l<SPAN>時，對數函數的圖象隨a的增大而遠離x軸。(見圖1)例1.求下列函數的定義域。蜿1(1)-1y="23 2)y=ln(ax-k2x)(a>0且aWl,keR)x>1二-1<13K工一解：(

24、1)因為2所以函數的定義域為(1,2)U3(2,2)。(2)因為ax-k2x>0,所以g)x>ko10,當kWO時，定義域為R；*20,當k>0時，若a>2,則函數定義域為(2k,+-)；(ii)若0vAv2vSPAN>,且aWl,則函數定義域為(-8,2k)；(111) 若a=2,則當OvKvlvSPAN,時，函數定義域為R；當kNl時，此時不能構成函數，否則定義域為。0例2,若Iogm3.5>k)gn3.5(m,n>0,且mWl,nWl),試比較m,n的大小。解：(1)當m>l,n>l時，:3.5>1,由對數函數性質：當底數和真數

25、都大于1時，對同一真數，底數大的對數值小，Jn>m>l。(2)當m>l,OvNvl<SPAN>時，Vlogm3.5>0,logn3.5<0,A0<N<l<M<SPAN>也是符合題意的解。(3)當O<M<1<SPAN>,O<N<1<SPAN,時，:3.5>1,由對數函數性質，此時底數大的對數值小，故OvM<N<lvSPAN>。綜上所述，m,n的大小關系有三種：l<M<NvSPAN或0<N<1<M<SPAN>或0<

26、M<N<l<SPAN>o例3.作出下列函數的圖象：y=lgx,y=lg(-x),y=-lgx(2)y=lglxl(3)y=-l+lgx解：如圖2；(2)如圖3；(3)如圖4o圖4例4.函數y二f(2x)的定義域為-1,1,求產f(log2x)的定義域。11提示：由-1WxW1,可得y=f(x)的定義域為2,2,再由2<R)g2x<2得y=f(log2x)的定義域為也,4。呵例5.求函數y=，(-x2+2x+3)的值域和單調區間。logi解：設t=-x2+2x+3,則t=-(x-l)2+4,y=，t為減函數，且OvTvSPAN>W4,log4y22二-2

27、,即函數的值域為-2,+8)olog】再由：函數y=2(-x2+2x+3)的定義域為-x2+2x+3>0,即-1<X<3<SPAN。bgl工t=-x2+2x+3在(-1,1)上遞增而在1,3)上遞減，而y=，t為減函數。嘀J函數y=1(-x2+2x+3)的減區間為(-1,1),增區間為1,3)。例6.已知f(x)=ax-a-x(其中0<Avl)<SPAN。(1)求函數f(x)的反函數f-l(x)；(2)試判斷函數f-l(x)的奇偶性，并證明你的結論。y+護+4解得ax=解：(1)設y=ax-a-x,貝lja2x-yax-l=0,ax>0,x=loga2

28、,x+x2+4(x eR)o2x+4所求函數的反函數f-l(x)=loga2-x+J/+4(2)x£R且f-l(-x)=loga2=logax+X2+4=loga(2)-l=-f-l(x)。J函數f-l(x)是奇函數。認/7)2例7,已知f(logax)二工避一L(a>0且aW1),試判斷函數f(x)的單調性。解：設t=logax(x£R+,t£R)。當a>l時、t=logax為增函數，若tl<T2,貝U0<Xl<X2,以城-1)a(xl-1)0(百一麴)5萬+D一af(ti)-f(t2)=T)%。2T)打勺，T),.<0<

29、;Xl<X2，a>l,；f(tl)<F(T2),，f(t)在R上為增函數,當OvAvlvSPAN>時，同理可得f(t)在R上為增函數。不論a>l或OvAvlvSPAN>,f(x)在R上總是增函數。例8.已知函數f(x)=lg(ax2+2x+l)。(1)若函數f(x)的定義域為R,求實數a的取值范圍；(2)若函數f(x)的值域為R,求實數a的取值范圍。分析：與求函數定義域、值域的常規問題相比，本題屬非常規問題，關鍵在f(x)的定義域為R,即關于x的不等式ax2+2x+l>0的解集于轉化成常規問題。解：(l)f(x)的定義域為R, 當a=0時，此不等式變為

30、ax2+2x+l恒為正值是不等價的,一切實數，即要求u=ax2+2x+l數的圖象的各種情況，如圖5,卜)0當 aWO 時，有Q的取值范圍為a>lo即：關于x的不等式ax2+2x+l>0的解集為R,2x+l>0,其解集不是R；(2)f(x)的值域為R，即u=ax2+2x+l能取遍一切正數a=O或Q>0=4-4a>0e0Wa01,Ja的取值范圍為OWaWlo例9.已知函數h(x)=2x(x£R),它的反函數記作g(x),A、B、C三點在函數g(x)的圖象上，它們的橫坐標分別為a,a+4,a+8(a>l),記ABC的面積為So求S二f(a)的表達式；(2

31、)求函數f(a)的值域;(3)判斷函數S=f(a)的單調性，并予以證明；(4)若S>2,求a的取值范圍。解：(1)依題意有g(x)=log2x(x>0),并且A、B、C三點的坐標分別為A(a,log2a),B(a+4,log2(a+4)，C(a+8,log2(a+8)(a>l),如圖6。JA,C中點D的縱坐標為2(log2a+log2(a+8)2，S=2|BDI42=4IBDI=41og2(a+4)-21og2a-21og2(a+8)。(2)把S=f(a)變形得:S=f(a)=221og2(a+4)-log2a-log2(a+8)("4)216=21og2儀(4+8

32、)=21og2(l+J)。1625由于a>l時，a2+8a>9,/1<1+a+8<9,又函數y=log2x在(0，+°°)上是增函數，1625250v210g2(1+a23a)<21og29，即0<S<2LOG29。(3)S=f(a)在定義域(1,+°0)上是減函數，證明如下：任取al,a2,使l<Al<A2<4-0°,則:16(1+a2+a2)-(1+16113-)(為+“2+8)一J一-一一一,一+防)=16(W+眄才+防)=16(4+a32)(fl?+aal),由al>l,a2>

33、;l,且a2>al,/.al+a2+8>0,2+8a2>0,”1+8al>0,al-a2<0,16161<1+2曰的<1+al+孫，再由函數y=log2x在(0，)上是增函數，S=f(a)在(1,+8)上是減函數。(4)由S>2,即得3,2Q 4 & + 8)a >1解之可得：lvA-4 o課外練習：1 .已知y=loga(2-ax)在0,1上是x的減函數，則a的取值范圍是2x+b2 .已矢口函數f(x)=loga2x(a>0且aWl,bvO)。(1)求函數f(x)的定義域；(2)判斷函數f(x)的奇偶性，并予以證明；(3)指

34、出f(x)的單調區間；(4)求函數f(x)的反函數。3 .已知函數f(x)=lg(x+加/)_lg2,證明：(1)f(x)的圖象關于原點對稱；(2)f(x)為單調函數。4 .已知關于x的方程log2(x+3)-log4x2=a的解在區間(3,4)內，求實數的取值范圍。參考答案：1) (1,2)bb2) (1)(-8,2)U(-2,+8)(2)奇函數bb3) )a>l時，f(x)在(-8,),2一，4-co)2h都是增函數，OvAvl<SPAN>時，f(x)在G8,2),(-2,+8)上都是減函數。咐+1)4) )f-1(x)=-1)(xW0,xeR)o3. (1)證明f(x)

35、為奇函數；(2)證明f(x)為R上的增函數。74. Iog24VA<1<SPAN。專題輔導對數與對數函數1 .本單元重、難點分析1)重點：對數的定義；對數的性質與運算法則；在理解對數函數的定義的基礎上，掌握對數函數的圖象和性質。2)難點：對數定義中涉及的名稱較多，易混難記；對數的運算法則的指導和應用；對數函數的圖象與性質及其運用。2 .典型例題選講例1.已知log23=a，3b=7,求log1256的值。講解:先將3b=7轉化為Iog37=b,然后設法將logl256化成關于log23和log37的表達式，即可求值。解法1:log23=a,：.2a=3o又3b=7,7=(2a)b=

36、2ab，故56=23+ab。又12=34=2a4=2a+2o12翳J+而3+就從而56= (2幅產=12忘故 Iogl256=logl2解法2:log23二a,/.Iog32=a,又3b=7,/.Iog37=b，S + 3,工 ,7 n31 + 2- a + 2 a從而log?56=10-37+log35=log?7+Rog32log312log33+logs4l+21og?2log1256=lg3解法3:log23二收2=/.Ig3=alg2,又3b=7,/.Ig7=blg3,/.Ig7=ablg2og56_31g2+1g7_31g2+abg2_3+ab從而k)gl256=31221g2+l

37、g321g2+alg22+“。說明：解法1借助指數變形來解；解法2與解法3是利用換底公式來解，顯得較簡明，應用對數換底公式解這類題的關鍵是適當選取新的底數，從而把已知對數和所求對數都換成新的對數，再代入求值即可。例2.已知Ioga3>k)gb3>0,則a,b,1的大小關系是。講解：由對數函數的性質可知，a>l,b>l,關鍵是判斷a與b的大小，這可以利用對數函數的單調性來解決。解法1由bga3>bgb3>00惋3a惚代>0Iog3b>log3a>0OIog3b>log3a>log31。Vy=log3x是增函數，故b>a>

38、;lolg3lg3/""解法2由Ioga3>logb3>00收白電力>0。Vlg3>0,/.lga>0,lgb>0,J上式等價于gagb>0<=>lgb>lga>00lgb>lga>lgl。.y=lgx是增函數，故b>a>lo解法3分別作出y=logax與y=logbx的圖象，然后根據圖象特征進行推斷。VIoga3>logb3>0,a>l,b>l,故y=logax與y=logbx均為增函數。XVIoga3>logb3>0,/.當x>l時，y=I

39、ogax的圖象應在y=logbx圖象的上方，如圖所示。根據對數函數的圖象分布規律，可知：b>a>lo說明：解法1利用了logab與logba互為倒數，轉化為同底的對數，再利用單調性判斷。解法2利用了換底公式。解法3利用了圖象的特征。3.容易產生的錯誤1)對數式logaN=b中各字母的取值范圍(a>0且aW1,N>0,beR)容易記錯。2)關于對數的運算法則，要注意以下兩點：一是利用對數的運算法則時，要注意各個字母的取值范圍，即等式左右兩邊的對數都存在時等式才能成立。如：k)g2(-3)(-5)=log2(-3)+log2(-5)是不成立的，因為雖然log2(-3)(-5

40、)是存在的，但log2(-3)與log2(-5)是不存在的。二是不能將和、差、積、商、累的對數與對數的和、差、積、商、塞混淆起來，即下面的等式是錯誤的：Ioga(M±N)=logaM±logaN,Ioga(MN)=logaMlogaN,MlogaMloga=o3)解決對數函數y=logax(a>0且aW1)的單調性問題時，忽視對底數a的討論。4)關于對數式logaN的符號問題，既受a的制約又受N的制約，兩種因素交織在一起，學生應用時經常出錯。下面介紹一種簡單記憶方法，供同學們學習時參考。以1為分界點,當a,N同側時,logaN>0；當a,N異側時,logaN&l

41、t;0o反饋練習一、選擇題1 .設a,b,c為正數，且3a=4b=6c,則有()。1 112211222121a=«4MhJLA、cabb>cabc>cabd.cabA、B2第3第圉log 8 < 12.已知a 20<a<-20<a<-2 或 a>l,那么a的取值范圍是()。B、-< a < 1C、2D、3 .圖2中曲線是對數函數y=Iogax的圖象，已知a值取啰篇，則3-591-10f4 - 33 - 5f(x)=log|x2-6x+5|4 .函數2的單調遞增區間為()。A、(-8,3B、(-84)或3,5)C、3,+8)

42、D、(1,3)或(5,+8)5 .設偶函數f(x)=logalx-bl在(-8,0)上是增函數,則f(a+l)與f(b+2)的大小關系是()。A、f(a+l)=f(b+2)B、f(a+l)>f(b+2)C、f(a+l)<F(B+2)<SPAN>D、不能確定6 .設方程2x+x-3=0的根為a,方程k)g2x+x-3=0的根為B,則a+B的值是()。A、1B、2C、3D、6二、填空題：7 .已知函數y=bga(kx2+4kx+3),若函數的定義域為R,則k的取值范圍是;若函數的值域為R,則k的取值范圍是。8 .已知函數V+1：，仁&4),則f(bg23)的值為。9

43、 .已矢口&=0.331=30.3,<:=10830.3,(1二1080.33，則a,b,c,d的大小關系三、解答題:10.logac設logac,logbc是方程x2-3x+l=0的兩根，求b的值。11.f(x)=+咱x+21+x1)解;M3第4題,善用圖2)判斷f(x)的單調性，并給出證明；若f(x)的反函數為f-1(x)，證明f-l(x)=0有唯一3)11解關于x的不等式22o12.光線通過一塊玻璃板，其強度要損失10%,把幾塊這樣的玻璃板重疊起來,為yo設光線原來的強度為a,通過x塊玻璃板以后強度值1)試寫出y關于x的函數關系式;1以下。2)通過多少塊玻璃板以后，光線強度

44、減弱到原來的3答案：一、選擇題1、B2、D3、A4、B5、B6、1.設3a=4b=6c=k,貝lja=log3k,b=log4k,c=log6k,1 10211-=:-r=*§-=logk4-=logk6小kg3k,同理b,cK-=i°Sk_=logk3+1%k2而2bc,loga>l2 .當a>l時，由2知2,故a>l；loga1<logaa0<a<-，故 2 o當OvAvlvSPAN時，由2知0<A<v:shapes="_x0000_il212”src=utgglsxO9.filesZimageO76.gif&#

45、39;0<a<:綜上知：a的取值范圍是2或a>lo0<-<14.因為2，所以只求出y=lx2-6x+5l的遞減區間即可。f(x)的定義域為(-8J)U(l,5)U(5,+8)o作出y=lx2-6x+5l=l(x-3)2-4l的圖象。如圖3所示，由圖象即可知。5 .由f(x)是偶函數，得b=0；又因為f(x)在(-8,o)上是增函數，得OvAvl.vXwSPAN>:所以OvA+kSPAN>,由f(x)在(0,+8)上是減it函數，得f(a+l)>f(b+2)圖4第6留解尊用用6 .將方程整理得2x=-x+3,log2x=-x+3,如圖4所示，可知a

46、是指數函數y=2x的圖象與直線y=-x+3的交點A的橫坐標；8是對數函數y=log2x的圖象與直線y=-x+3的交點B的橫坐標。由于函數y=2x與函數y=log2x互為反函數，它們的圖象關于直線產x對稱，所以A,B兩點也關于直線廠x對稱，所以A(a,B),B(B,a)。注意到A(a,B)在直線y=-x+3上，所以有a+3,即a+B=3。二、填空題：要使函數的定義域為R,只需對一切實數x,kx2+4kx+3>0恒成立，其充要條件是k=O或16k -12k < 0,30<k<-解得k=O或4,故k的取值范圍是4。要使函數的值域為R,只需kx2+4kx+3能取遍一切正數，則卜

47、>。，33A=16k2-12k>0解得7o故k的取值范圍是7°18.24。V1<LOG23<2,3+log23>4,f(3+log23)=d)3+吟=d)%24又 丁 當 x<4 時，f(x+1 )=f(x),，f(log23)=f(l+log23)=f(2+k)g23)=f(3+k)g23)二24.9. b>a>d>c, ' V3>1, 0<0.3<l, 又: b=30.3>l,V0.3>0, 3>0,/.a=0.33>0, b=30.3>0.,/.c=log30.3<

48、;0, d=log0.33<0a=0.33<l,/ b>a三、10.1=log 3 0.3 < log3 - = _10 i d=log03 3 >log03- = -l .5, . .d>c.解答題:Jlogac + logbc = 3r 依題意得：l10gaC，l°SbC = 1,Jogc a4ogcblog c a + log c b = 3, logcatlogcb = l1.(logca-logcb)2 = Qogca + 臉曠 -4臉 a-logcb = 32-4 = 5o .logca-logcb = +5 YVof 1 1log a

49、 C =b logc- logca-bgcb故b11.U>0,1）由I'".。得_ivx<>所以f（x）的定義域為1設-1vX1vX2<1,則 f(xl)-f(x2)二 臼 乙+電*(一+1g1+ % 町 + 21-X21F叼一町（X + 2）肉 + 2）一卬（1+町）%（1+句）”叼）,又因為(l-xl)(l+x2)-(l-x2)(l+xl)=(1-xl+x2-xlx2)-(l+xl-x2-xlx2)=2(x2-xl)>0,(l-xl)(l+x2)>0,(l+xl)(l-x2)>0,（1.2）（1+彳2）所以（1+）（1-福）kEX

50、）0一0所以（1+AjXl-Zj），又易知（血+2炳+2）,/.f（xl）-f（x2）>0,即f（xl）>f（x2）.故f（x）在Gl,l）上是減函數。f（O）=l+lgl=l1心=0X2）因為,22,所以2,即f-1（x）=o有一個根2o1x。w一假設f-l（x）=O還有一個根2,則f-l（xO）=O,f（O）=MT即2，這與f（x）在（-1,1）內單調遞減相矛盾。1X=-故2是方程f-i（x）=o的唯一解。f（o）4（-3<«0）3）因為2,所以2o0<x（z-）<1又f（x）在G1,1）上單調遞臧，所以2。一1一而的“11+炳xe（；，O）UJ&#

51、39;）解得424。12.1經過1塊玻璃板后光線強度為：（l-10%）a=0.9a；經過2塊玻璃板后光線強度為：（1-10%）09a=0.92a；經過3塊玻璃板后光線強度為：（1-10%）O92a=0.93a；經過x塊玻璃板后光線強度為：O.9xa.所以，y=O.9xa（xeN+）.0.9,43o,9x<-2由題意可知：3,3,兩邊取常用對數得：xlg0.9又一11.10 421g 0.9故xmin=l1.答：需要11塊以上玻璃板重疊起來，光線強度減弱到原來的I以檢測題1、在b=bg(a-2)(5-a)中，實數a的范圍是()A、a>5或a<2B、2<A<a<

52、3或3<a<a<4<FONT>的值是()B、D、23、logab=logba(aWb),則ab=(A、1 B 、2D、44、若 lg2=a , .2abA1 +。i方程2嗎"lg3=b ，則 log512 等于(1 + a=1的解是() 41 -dr9D.xs96、己知log川Og«0g2X)卜0,那么X2等于A-BC-J3.2招.2,127、y=(0.2)-x+l的反函數是()A、y=log5x+1(x>0)B>y=log5x+l(x>0且xWl)Cy=log5(x+1)(x>-1)Dny=log5(x-l)(x>

53、;l)8、已知y=loga（2-ax）在0,1上是x的減函數，則a的取值范圍是（）A、(0,1)B、(1,2)C、(0,2)D、2,+8)9、若OvAvl,則LOG3(log3a)是()A、正數B、負數C、零D、無意義10、已知a=log32,那么Iog38-21og36用a表示是()A.a-2B.5a-2C.3a-(l+a)2D.3a-a2-l11、若Iog2log0.5(log2x)=0,貝Ix=o12、計算Q)產+國；1+：庶0.36+：庶823收5420+做2廣答案：15CAACADBDA610C11/212、(1)原式=1；(2)原式二1。指數函數指數函數的一般形式為y=a八x（a&

54、gt;0且不=1）,從上面我們對于事函數的討論就可以知道，要想使得x能夠取整個實數集合為定義域，則只有使得如圖所示為a的不同大小影響函數圖形的情況。在函數y=aN中可以看到：（1）指數函數的定義域為所有實數的集合，這里的前提是a大于0且不等于1,對于a不大于。的情況，則必然使得函數的定義域不存在連續的區間，因此我們不予考慮，同時a等于0一般也不考慮。(2)指數函數的值域為大于0的實數集合。(3)函數圖形都是下凹的。(4)a大于1,則指數函數單調遞增；a小于1大于0,則為單調遞臧的。(5)可以看到一個顯然的規律，就是當a從。趨向于無窮大的過程中(當然不能等于0),函數的曲線從分別接近于Y軸與X軸

55、的正半軸的單調遞臧函數的位置，趨向分別接近于Y軸的正半軸與X軸的負半軸的單調遞增函數的位置。其中水平直線廠1是從遞減到遞增的一個過渡位置。(6)函數總是在某一個方向上無限趨向于X軸，永不相交。(7)函數總是通過(0,1)這點(8)顯然指數函數無界。(9)指數函數既不是奇函數也不是偶函數。(10)當兩個指數函數中的a互為倒數是，此函數圖像是偶函數。例1：下列函數在R上是增函數還是臧函數？說明理由.(l)y=4Ax因為4>1,所以y=4N在R上是增函數；(2)y=(l/4)Ax因為Ovl/4<1,所以y=(l/4)Ax在R上是減函數對數的概念如果a(a>0,且a*l)的b次號等于

56、N,SPab=N,那么數b叫做以a為底N的對數，記作：logaN二b,其中a叫做對數的底數，N叫做真數.由定義知：負數和零沒有對數；a>0且a*l,N>0;1a特別地，以10為底的對數叫常用對數，記作log 10N,簡記為lgN ;以無理數e(e=2.71828)為底的對數叫做自然對數，記作logeN,簡記為InN.2對數式與指數式的互化式子名稱abN指數式ab=N(底數)(指數)(幕值)對數式logaN=b(底數)(對數)(真數)3對數的運算性質如果a>O,aWl,M>0,N>0,那么(1)loga(MN)=logaM+logaN.(2)logaMN=logaM-logaN.(3)logaMn=nlogaM(n£R).自然對數到底有什么用？自然對數當x趨近于正無窮或負無窮時，l+(l/x)rx的極限就等于e,實際上e就是通過這個極限而發現的。它是個無限不循環小數。其值約等于2.718281828.它用e表示以e為底數的對數通常用于In而且e還是一個超越數e在科學技術中用得非常多，一般不使用以10為底數的對數。以e為底數，許多式子