1、數學破題36計第30計 統計開門 存異求同計名釋義甲問：什么是“可能一統”？乙答：就是“可能性”完成大一統.甲：此話怎講？乙：排列、組合講的是“可能狀態”，概率講的是“可能比值”，而統計則是對“各種可能”的計算，故稱“可能一統”.甲：這有什么意義呢？乙：現實意義，實際意義，應用意義.你不知道嗎，如今的數學應用題幾乎全部轉入到“可能一統”之中.甲：不錯！以往的高考應用題，多在函數、方程、不等式上打主意，自從新課標普及以來，應用題轉到概率和統計上了.不過，這是否在實用方面有點偏離高中數學的主干內容呢？乙：大概命題人也想到這點，因此近年的概統應用題，似乎都在想方設法往函數、方程、不等式方面拉關系!典

2、例示范【例1】 假設關于某設備的使用年限x和所支出的維修費用y（萬元），有如下的統計資料：x23456y2238556570若由資料可知y對x呈線性相關關系.試求：（1）線性回歸方程；（2）估計使用年限為10年時，維修費用是多少？【分析】 本題告訴了y與x間呈線性相關關系，倘若記住了公式，便可以迅速解答出此題.注：設所求的直線方程為=bx+a，其中a、b是待定系數相應的直線叫做回歸直線，對兩個變量所進行的上述統計分析叫做回歸分析.解：（1）列表如下：i12345xi23456yi2.238556570xiyi44114220325420x49162536于是b=，a=0.08. 線性回歸方程為

3、：=bx+a=1.23x+0.08.（2）當x=10時，=1.23×10+0.08=12.38（萬元）即估計使用10年時維修費用是12.38萬元.【點評】 本題若沒有告訴我們y與x間是呈線性相關的，應首先進行相關性檢驗.如果本身兩個變量不具備線性相關關系，或者說它們之間相關關系不顯著時，即使求出回歸方程也是沒有意義的，而且其估計與預測也是不可信的.【例2】 某種燈泡的使用時數在1000小時之上的概率是0.7,求：（1）3個燈泡在使用1000小時之后恰壞1個的概率；（2）3個燈泡在使用1000小時之后最多只壞1個的概率.【思考】 本題的實質是檢查3個燈泡，可視為3次獨立重復試驗.(1)

4、中3個燈泡在使用1000小時之后恰壞1個，相當于在3次獨立重復試驗中事件A恰好發生2次（事件A是“燈泡的使用時數在1000小時以上”）；（2）中指“恰好壞1個”與“3個都未壞”這兩種情況，即事件A發生2次和發生3次，可用獨立重復試驗的方法求解.【解答】 設“燈泡的使用時數在1000小時以上”為事件A，則P（A）=0.7,檢查3個燈泡可視為3次獨立重復試驗.(1)3個燈泡在使用1000小時之后恰好壞1個，相當于在3次獨立重復試驗中事件A恰好發生2次.P3(2) =C(0.7)2(1-0.7)3-2=3×0.49×0.3=0.441.(2)“3個燈泡在使用1000小時之后最多只

5、壞1個”包括了“恰好壞1個”和“3個都未壞”這兩種情況，它們彼此互斥，相當于A發生2次和發生3次的概率和，即所求概率為P3（2）+P3(3)=0.441+C0.73=0.784.【點評】 用獨立重復試驗的概率公式Pn(k)=C·Pk·(1-p)n-k來求概率的步驟：首先判斷是不是獨立重復試驗；求一次試驗中事件A發生的概率P；利用公式計算在n次獨立重復試驗中事件A恰好發生k次的概率.【例3】 甲、乙兩人參加一次英語口語考試，已知在備選的10道試題中，甲能答對其中的6題，乙能答對其中的8題，規定每次考試都從備選題中隨機抽出3題進行測試，至少答對2題才算合格.(1)求甲答對試題數

6、的概率分布及數學期望;(2)求甲、乙兩人至少有一人考試合格的概率.【思考】 本題主要考查概率統計的基礎知識，離散變量的概念，數學期望的定義；首先要弄清的取值范圍,=0,1,2,3,然后再求概率.【解答】 （1）依題意，甲答對試題數的概率分布如下：0123P甲答對試題數的數學期望.E=0×+1×+2×+3×=(2)設甲、乙兩人考試合格的事件分別為A、B，則P(A)= P(B)=因為事件A、B相互獨立,方法一：甲、乙兩人考試均不合格的概率為甲、乙兩人至少有一人考試合格的概率P=1-P（）=1-方法二：甲、乙兩人至少有一人考試合格的概率為P=P(A·

7、)+P（·B）+P(A·B)=P(A)P()+P()·P(B)+P(A)P(B)=×+×+×=【點評】 要分清對立事件與互斥事件的關系，獨立事件、互斥事件的相互區別.在數學中必須強調隨機變量的概念，分布列的定義與求法，熟悉常用的分布列：01分布、二項分布，數學期望與方差的計算等.對應訓練1.在袋里裝30個小球，其彩球中有n(n2)個紅球，5個藍球，10個黃球，其余為白球.若從袋里取出3個都是相同顏色的彩球（無白色）的概率是，求紅球的個數，并求從袋中任取3個小球至少有一個是紅球的概率.2.某突發事件，在不采取任何預防措施情況下發生的概率

8、為0.3,一旦發生，將造成400萬元的損失.現在甲、乙兩種相互獨立的預防措施可供采用，單獨采用甲、乙預防措施所需的費用分別為45萬元和30萬元，采用相應預防措施后此突發事件突不發生的概率分別為0.9和0.85，若預防方案允許甲、乙兩種預防措施單獨采用、聯合采用或不采用，請確定預防方案使總費用最少.(總費用=采取預防措施的費用+發生突發事件損失的期望值)3.公共汽車門的高度是按照確保99%以上的成年男子頭部不跟車門頂部碰撞設計的，如果某地成年男子的身高N（173，72）（cm），問車門應設計多高？4.為考慮廣告費用x與銷售額y之間的關系，抽取了5家餐廳，得到如下數據：廣告費用（千元）104060

9、100140銷售額 （千元）190440400520530現要使銷售額達到6萬元，則需廣告費用為 （保留兩位有效數字）.參考答案1.取3個小球的方法數為C=4060.設“3個小球全是紅球”為事件A，“3個小球全是藍球”為事件B，“3個小球全是黃球”為事件C，則P(B)=，P(C)=.A、B、C為互斥事件，P(A+B+C)=P(A)+P(B)+P(C).即=P(A)+P(A)=0.紅球的個數2，又n2，故n=2.記“3個小球至少有一個是紅球”為事件D，則為“3個小球沒有一個紅球”.P(D)=1-P()=1.2.不采取任何預防措施時，總費用即損失期望值為400×0.3=120(萬元);若

10、單獨采取措施甲，則預防措施費用為45萬元，發生突發事件的概率為1-0.9=0.1,損失期望值為400×0.1=40(萬元)，所以總費用為45+40=85（萬元）.若單獨采取預防措施乙，則預防措施費用為30萬元，發生突發事件的概率為1-0.85=0.15,損失期望值為400×0.15=60(萬元)，所以總費用為30+60=90（萬元）若聯合采取甲、乙兩種措施，則預防措施費用為45+30=75(萬元)，發生突發事件的概率為（1-0.9）(1-0.85)=0.015，損失期望值為400×0.015=6(萬元)，所以總費用為75+6=81(萬元)綜合、，比較其總費用可知，應選擇甲、乙兩種預防措施聯合采用，可使總費用最少.3.設公共汽車門的設計高度為x cm，由題意，需使P（x）1%.N（173，72），P（x）=（）0.99.查表得2.33，x189.31，即公共汽車門的高度應設計為190 cm，可