1、 42直線、圓的位置關系直線、圓的位置關系 42.1直線與圓的位置關系直線與圓的位置關系一、閱讀教材P126128回答1直線與圓的位置關系設直線l：AxByC0，圓C：(xa)2(yb)2r2，圓心C(a，b)到直線l的距離為d，聯立得方程組，消去x或y后，所得一元二次方程的根的判別式為若直線和圓相交，則滿足或若直線和圓相切，則滿足或若直線和圓相離，則滿足或.2直線l與圓交于A、B兩點，圓心到直線的距離為d，圓的半徑為r，則弦長|AB| .d0dr0dr0，則相交；若有兩組相同的實數解，即0，則相切；若無實數解，即0，則相離(2)幾何法：由圓心到直線的距離d與半徑r的大小來判斷：當dr時，直線

2、與圓相離3圓的切線方程的求法求過圓C外一點P(x0，y0)的 C的切線方程幾何方法：設切線yy0k(xx0)，由圓心C到切線距離等于圓的半徑r，列方程求k，若有兩解即得切線方程，若只有一解，則另一條為xx0.代數方法：設切線yy0k(xx0)與圓方程聯立，消元由0求出k，討論方法同上4(1)直線若過定點，定點在圓內則直線與圓必相交(2)直線與圓相離時，圓上點到直線的距離d，圓心到直線距離為m，則mrdmr；直線與圓相交時，圓上點到直線距離為d，圓心到直線距離為m，則0dmr.(3)過圓心的直線將圓平分，垂直平分弦的直線過圓心(4)過圓內一點的直線被圓截得最長弦為直徑，最短弦為以該點為中點的弦與

3、圓有關的最值問題，常常用數形結合法求解例1已知圓的方程是x2y22，直線yxb，當b為何值時，圓與直線有兩個公共點，只有一個公共點，沒有公共點？解析解法1：將yxb代入x2y22中消去y得2x22bxb220其判別式(2b)28(b22)4(b2)(b2)，當2b0，方程有兩個不等實根，直線與圓有兩個公共點當b2時，0，方程有兩個相等實根，直線與圓有一個公共點當b2時，0，方程無實數根，直線與圓無公共點當dr，即2br，即b2時，直線與圓相離，無公共點點評討論直線與圓的位置關系，可以用代數法，即將直線與圓的方程聯立，消元后用判別式作判斷；也可以用幾何法，求圓心到直線的距離d和圓的半徑r，用d與

4、r大小判斷一般地，說幾何法更簡便(1)直線3x4y60與圓(x2)2(y3)24的位置關系是()A相離B相切C相交且過圓心 D相交但不過圓心(2)若直線ykx2k與圓(x3)2y21恒有兩個交點，則實數k的取值范圍為()(3)直線ykx被圓x2y22截得的弦AB長等于()A4 B2答案(1)C(2)A(3)C解析(1)圓心(2,3)在直線3x4y60上，直線與圓相交且過圓心，故選C.(2)設圓的切線方程為yxb，代入圓的方程，整理得2x22bxb240，直線與圓相切(2b)242(b24)0.解法2：設切點為M(x0，y0)，則過點M的切線方程為 總結評述：求過定點的圓的切線方程，一定要先判斷

5、點是在圓上還是在圓外(1)可以利用圓心到直線的距離等于半徑求切線方程也可利用判別式的值等于0求切線方程若設出切線斜率，用點斜式寫出切線方程，應注意斜率不存在的情況(2)也可以先求出以Q和圓x2y24的圓心(原點)O為端點的線段OQ為直徑的圓的方程，進而求出兩圓交點即切點的坐標，由兩點式求得切線方程(已知圓O：x2y25和點A(1,2)，則過A且與圓O相切的直線與兩坐標軸圍成的三角形的面積等于_若x、y滿足(x2)2y23，那么xy的取值范圍是_；(x2)2(y2)2的取值范圍是_解析令xyt，則ytx點評此題解法較多，可用代數法，也可用幾何法，數形結合的思想在這里起主導作用，望細致體會.例4自

6、點A(3,3)發出的光線l射到x軸上，被x軸反射，其反射光線所在直線與圓x2y24x4y70相切，求光線l所在直線的方程光線l所在直線的方程為3x4y30或4x3y30.解法2：已知圓(x2)2(y2)21關于x軸的對稱圓C的方程為(x2)2(y2)21，如圖所示可設光線l所在直線方程為y3k(x3)，直線l與圓C相切，圓心C(2，2)到直線l的距離點評解法1用的是常規方法待定系數法，關鍵在于運用已知條件去確定系數，而解法2主要運用對稱思想，這樣可使運算過程得以簡化.點評(1)直線l與圓有公共點，可利用dr或0求解(2)半徑r、半弦m、弦心距d滿足d2m2r2是解決弦長問題的主要途徑(3)直線

7、l與圓相離時，設圓心C到l距離為d，圓半徑為r，則圓上點到直線距離的最大值為dr，最小值為dr，自己想想l與圓C相切(或相交)時呢？(4)點P(x0，y0)在圓C內，圓半徑為r，|PC|d，則圓上所有點中到P距離的最大值為dr，最小值為rd；過P的所有直線與圓相交弦中，最長弦為直徑，最短弦為與PC垂直的弦，此時P為弦的中點(1)已知圓的方程為x2y26x8y0.設該圓過點(3,5)的最長弦和最短弦分別為AC和BD，則四邊形ABCD的面積為()(2)已知圓C的圓心與點P(2,1)關于直線yx1對稱，直線3x4y110與圓C相交于A、B兩點，且|AB|6，則圓C的方程為_(3)直線l與圓x2y22

8、x4ya0(a3)相交于兩點A、B，弦AB的中點為(0,1)，則直線l的方程為_(4)由點P(2,0)向圓C：x2y21所引切線長為_解析(1)圓x2y26x8y0的圓心(3,4)，半徑為5.由題意知，AC為圓的直徑且BDAC，(2)設圓的圓心坐標為(a，b)，由題意得a0，b1，圓心到直線3x4y110的距離所求圓的方程為x2(y1)218.(3)已知圓x2y22x4ya0的圓心C(1，2)，弦AB的中點D(0,1)，由圓的幾何性質知，CDl，kCD1，kl1，l：y11(x0)，即xy10.答案D2過點P(2,3)引圓x2y22x4y40的切線，其方程是()Ax2B12x5y90C5x12

9、y260Dx2和12x5y90答案D解析點P在圓外，故過P必有兩條切線，選D.二、填空題3已知圓C的圓心是直線xy10與x軸的交點，且圓C與直線xy30相切，則圓C的方程為_答案(x1)2y22解析在直線方程xy10中，令y0得，x1，圓心坐標為(1,0)，4若直線3x4ym0與圓x2y22x4y40沒有公共點，則實數m的取值范圍是_答案(，0)(10，)解析圓x2y22x4y40的圓心坐標為(1，2)，半徑r1，5將圓x2y21沿x軸正向平移1個單位后得到圓C，則圓C的方程是_；若過點(3,0)的直線l和圓C相切，則直線l的斜率是_解析將圓x2y21沿x軸正向平移1個單位得到的圓C，其半徑仍為1，圓心由(0,0)變為(1,0)，所以其方程為(x1)2