1、積分法積分法原原 函函 數數選選擇擇u u有有效效方方法法基基本本積積分分表表第一換元法第一換元法 第二換元法第二換元法直接直接積分法積分法分部分部積分法積分法不不 定定 積積 分分幾種特殊類型幾種特殊類型函數的積分函數的積分一、主要內容1 1、原函數、原函數 如果在區間如果在區間I內，可導函數內，可導函數)(xF的導函數為的導函數為)(xf， 即， 即Ix ， 都 有， 都 有)()(xfxF 或或dxxfxdF)()( ，那么函數，那么函數)(xF就稱為就稱為)(xf或或dxxf)(在區間在區間I內原函數內原函數.定義定義原函數存在定理原函數存在定理 如如果果函函數數)(xf在在區區間間I

2、內內連連續續，那那么么在在區區間間I內內存存在在可可導導函函數數)(xF，使使Ix ，都都有有)()(xfxF .即：連續函數一定有原函數即：連續函數一定有原函數2 2、不定積分、不定積分(1) 定義定義 在區間在區間I內，函數內，函數)(xf的帶有任意常數項的帶有任意常數項的原函數稱為的原函數稱為)(xf在區間在區間I內的內的不定積分不定積分，記，記為為 dxxf)(CxFdxxf )()(函函數數)(xf的的原原函函數數的的圖圖形形稱稱為為)(xf的的積積分分曲曲線線. dxxgxf)()(10 dxxgdxxf)()(2) 微分運算與求不定積分的運算是互逆的微分運算與求不定積分的運算是互

3、逆的. dxxkf)(20 dxxfk)(（k是是常常數數，)0 k(3) 不定積分的性質不定積分的性質 )()(xfdxxfdxd dxxfdxxfd)()( CxFdxxF)()( CxFxdF)()(3 3、基本積分表、基本積分表 kCkxkdx()1(是常數是常數)1(1)2(1 Cxdxx Cxxdxln)3( dxx211)4(Cx arctan dxx211)5(Cx arcsin xdxcos)6(Cx sin xdxsin)7(Cx cos xdxxtansec)10(Cx sec xdxxcotcsc)11(Cx csc dxex)12(Cex xdx2cos)8( xdx

4、2secCx tan xdx2sin)9( xdx2cscCx cot dxax)13(Caax ln Cxxdxcoslntan)16( Cxxdxsinlncot)17( Cxxxdx)tanln(secsec)18( Cxxxdx)cotln(csccsc)19(Caxadxxa arctan11)20(22Cxaxaadxxa ln211)22(22Caxdxxa arcsin1)23(22Caxxdxax )ln(1)24(2222Caxaxadxax ln211)21(22Cx sh)14( xdxch xdxCx ch)15(sh5 5、第一類換元法、第一類換元法4 4、直接積分

5、法、直接積分法定定理理 1 設設)(uf具具有有原原函函數數，)(xu 可可導導，則則有有換換元元公公式式 dxxxf)()( )()(xuduuf 第一類換元公式湊微分法）第一類換元公式湊微分法）由定義直接利用基本積分表與積分的性質求不由定義直接利用基本積分表與積分的性質求不定積分的方法定積分的方法.;)(. 11dxxxfnn ;)(. 2dxxxf;)(ln. 3dxxxf;)1(. 42dxxxf;cos)(sin. 5xdxxf;)(. 6dxaafxx常見類型常見類型:;sec)(tan. 72xdxxf;1)(arctan. 82dxxxf 6 6、第二類換元法、第二類換元法定定

6、理理 設設)(tx 是是單單調調的的、可可導導的的函函數數，并并且且0)( t ，又又設設)()(ttf 具具有有原原函函數數，則則有有換換元元公公式式 )()()()(xtdtttfdxxf 其中其中)(x 是是)(tx 的反函數的反函數.第二類換元公式第二類換元公式常用代換常用代換:.,)(. 1Rbatx .sin,)(. 222taxxaxf 令令如如三角函數代換三角函數代換.tan,)(taxxaxf令令22.tx13令令倒置代換倒置代換7 7、分部積分法、分部積分法分部積分公式分部積分公式dxvuuvdxvu duvuvudv 9 9、幾種特殊類型函數的積分、幾種特殊類型函數的積分

7、（1有理函數的積分有理函數的積分定義定義兩個多項式的商表示的函數稱之兩個多項式的商表示的函數稱之.mmmmnnnnbxbxbxbaxaxaxaxQxP 11101110)()(其其中中m、n都都是是非非負負整整數數；naaa,10及及mbbb,10都都是是實實數數，并并且且00 a，00 b.真分式化為部分分式之和的待定系數法真分式化為部分分式之和的待定系數法四種類型分式的不定積分四種類型分式的不定積分;ln. 1CaxAaxAdx ;)(1()(. 21CaxnAaxAdxnn ;arctanln2. 342422222CqxqNqpxxMdxqpxxNMxpppMp dxqpxxNqpxx

8、dxpxMdxqpxxNMxnMpnn)()()2(2)(. 42222此兩積分都可積此兩積分都可積,后者有遞推公式后者有遞推公式令令2tanxu 212sinuux 2211cosuux uxarctan2 duudx212 dxxxR)cos,(sinduuuuuuR22221211,12 （2） 三角函數有理式的積分三角函數有理式的積分定義定義 由三角函數和常數經過有限次四則運算由三角函數和常數經過有限次四則運算構成的函數稱之一般記為構成的函數稱之一般記為)cos,(sinxxR（3） 簡單無理函數的積分簡單無理函數的積分討論類型：討論類型：),(nbaxxR ),(necxbaxxR

9、解決方法：解決方法：作代換去掉根號作代換去掉根號;necxbaxt 令令;nbaxt 令令，設設例例Cxdxxxfarcsin)(1dxxf)(1計算計算解：等式兩邊對 求導得： x211xxxf)(211xxxf)()()(222112111xdxdxxxdxxfCx232131)(二、典型例題二、典型例題dxxx2112)(ln例例Cxxdx)arcsin(lnln)(ln211dxxxsincos33例例xdxxxdxxsin)sinsin(sinsinsin112Cxx221sinsinlndxex114例例dxeedxeeexxxxx)(1111Cexedexxxx)ln()(111

10、1dxxx22215cossin例例Cxxxdxdxxx222212121222tantanlntantantancosdxxxx2116)ln(ln例例Cxxxxdxx)lnarctan()ln()ln(211dxxexxx)(117例例Cxexexedxexexexedxxexeexxxxxxxxxxx11111ln)()()()(dxxxx111182ln例例Cxxxxdxx11411111212lnlnlndxxx221192例例，令令txtan1，則則tdtdx2secdttttdtttdxx)secsec(secsecsec)(11111122dttt)cos(sec11dtttt

11、21212costanseclnCxxxxxx112222122)ln(Cttt2tantansecln例例1010解解.1122 dxxxx求求,1tx 令令dttttt)1(1)1(111222 原式原式dttt 211 22212)1(11ttddttCtt 21arcsin.1arcsin12Cxxx (倒代換倒代換)dxxx211112)(例例dttdxtx2111,令令22221121111ttdtdtttt)()(2121)()(ttdCt21arcsinCxx)(arcsin122dxxxx42312cossin例例xxdxdxxx3223tansectanxdxxxxtan)

12、(sectan123Cxxxxcoslntantan2321dxxxx232113/)(ln例例dxxxxxxxd22211111lnln221111xxdxxlnCxxxx)ln(ln221111dxexxxxxsincossincos2314例例xdexdedxxxexdxxexxxxcoscossincossinsinsinsin12Cxexedxedxexexxxxexxxcossinsinsincossinsinsindxxx cos)sin(22115例例)sin)(sin(sincos)sin(cosxxxddxxxx2222122dttttx)(sin22121dttdttdt

13、tttt22222221311131121231)()()(Cttt22311161arctanlnCxxx22311161sinarctansinsinln例例1616 dxxx1)23()23(2原式原式解解.dxxxxx4932求求 1)23()23(23ln12xxd 123ln12tdt dttt)1111(23ln21Ctt 11ln)2ln3(ln21.2323ln)2ln3(ln21Cxxxx tx )23(令令例例1717解解.cos1)sin1( dxxxex求求 dxxxxex2cos2)2cos2sin21(2原式原式 dxxexexx)2tan2cos21(22tan

14、)2(tan( xxdexxde )2tan(xedx.2tanCxex 例例1818解解.15)1ln(22 dxxxx求求5)1ln(2 xx,112x 5)1ln(5)1ln(22 xxdxx原原式式.5)1ln(32232Cxx )1221(1122xxxx 例例1919解解.)1ln(arctan2 dxxxx求求dxxx)1ln(2 )1()1ln(2122xdx .21)1ln()1(21222Cxxx 21)1ln()1(21arctan222xxxxd 原原式式xxxxarctan)1ln()1(21222 dxxxx1)1ln(21222 例例2020解解.)2(10 xx

15、dx求求 )2(10109xxdxx原式原式 )2()(101101010 xxxdCxx )2ln(ln2011010.)2ln(201ln2110Cxx .2)1ln(23)1ln()1(arctan212222Cxxxxxxx 例例2121解解.)1()1(342 xxdx求求.)1()11()1()1(234342 xxxxx,11 xxt令令,)1(22dxxdt 則則有有 原原式式 234)1()11(xxxdxdtt 3421Ct 3123.11233Cxx 例例2222解解.cos1sin dxxxx求求dxxxxx 2cos22cos2sin22原式原式dxxdxxx 2ta

16、n2cos22dxxdxxxx 2tan2tan2tan.2tanCxx 例例2323解解 dxxfxfxfxfxf)()()()()(322原式原式.)()()()()(32 dxxfxfxfxfxf求求 dxxfxfxfxfxfxf)()()()()()(22 )()()()(xfxfdxfxf.)()(212Cxfxf 例例2424解解., 1max dxx求求, 1max)(xxf 設設,1,11,11,)( xxxxxxf則則,),()(上連續上連續在在xf).(xF則必存在原函數則必存在原函數須處處連續，有須處處連續，有又又)(xF.1,2111,1,21)(32212 xCxxC

17、xxCxxF)21(lim)(lim12121CxCxxx ,21112CC 即即)(lim)21(lim21321CxCxxx ,12123CC 即即.1,12111,211,21, 1max22 xCxxCxxCxdxx故故.1,2132CCCC 可可得得,1CC 聯聯立立并并令令一、一、 選擇題：選擇題：1 1、 設設)(, )(21xFxF是區間是區間I內連續函數內連續函數)(xf的兩個不的兩個不 同的原函數，且同的原函數，且0)( xf, ,則在區間則在區間I內必有內必有（ ）（A A） CxFxF )()(21；（B B） CxFxF )()(21；（C C） )()(21xCFx

18、F ；（D D） CxFxF )()(21. .2 2、若、若, )()(xfxF 則則 )(xdF= =（ ）（A A） )(xf； （B B） )(xF；（C C） Cxf )(； （D D） CxF )(. .測測 驗驗 題題3 3、)(xf在某區間內具備了條件在某區間內具備了條件（ ）就可保證它的）就可保證它的 原函數一定存在原函數一定存在（A A） 有極限存在；有極限存在； （B B）連續；）連續；（B B） 有界；有界； （D D）有有限個間斷點）有有限個間斷點 4 4、下列結論正確的是、下列結論正確的是（ ）（A A） 初等函數必存在原函數；初等函數必存在原函數；（B B） 每個

19、不定積分都可以表示為初等函數；每個不定積分都可以表示為初等函數；（C C） 初等函數的原函數必定是初等函數；初等函數的原函數必定是初等函數；（D D） CBA,都不對都不對 . .5 5、函函數數2)()(xxxf 的的一一個個原原函函數數 )(xF( ( ) )（A A）334x; ; （B B）234xx; ;（C C) )(3222xxx ; ; （D D）)(322xxx . .6 6 、 已已 知知 一一 個個 函函 數數 的的 導導 數數 為為xy2 ，21 yx時時且且, ,這這個個函函數數是是（ ） （A A）;2Cxy （B B）;12 xy （C C）Cxy 22; ; （

20、D D）.1 xy7 7、下列積分能用初等函數表出的是、下列積分能用初等函數表出的是（ ） （A A） dxex2； （B B） 31xdx； （C C） dxxln1； （D D） dxxxln. .8 8、 ,)()(CxFdxxf且且,batx 則則 dttf)(（ ） （A A）CxF )(； （B B） CtF )(; ; （C C）CbatFa )(1; ; （D D）CbatF )( . . 9 9、 dxxx2ln（） （A A）Cxxx 1ln1; ; （B B）Cxxx 1ln1; ; （C C）Cxxx 1ln1； （D D）Cxxx 1ln1. . 10 10、 10)14( xdx（ ） （A A）Cx 9)14(191； （B B）Cx 9)14(1361； （C C）Cx 9)14(1361； （D D）Cx 11)14(1361. .二、求下列不定積分：二、求下列不定積分： 1 1、 dxxx1cos12; ; 2 2、 522xxdx; ; 3 3、 dxxxx2215)1ln(; ; 4 4、 dxxx222)1(; ; 5 5、 211xdx; ; 6 6、 d