1、 第四節冪級數教學重點 函數項級數 冪級數及其斂散性教學難點 收斂域的求法函數項級數的概念函數項級數的概念 二二 冪級數冪級數三三 冪級數的運算冪級數的運算一 函數項級數的概念函數項級數：設函數列 ，那么稱為函數項級數，記作 .當給定 時,則函數項級數 成為常數項級數 記作 .12( ), ( ), , ( ),nu x u xu xx I12( )( )( ),nu xu xu xx I n 1u ( )(xI)nx0 xx1( )nnux10200u( )( )( ),nxu xu x 0n 1u ( )nx收斂點發散點）：假設 收斂發散），則稱 為函數項級數的收斂點發散點）。收斂域：函數

2、項級數 的收斂點的全體稱為它的收斂域。記收斂域為D。和函數：對于任意一點 ,那么 收斂,因而有一個確定的和,因而, 的和是關于x的函數,記作S(x).稱S(x)為 和函數,其定義域是收斂域D,即在收斂域上有0n 1u ( )nx0 xn 1u ( )nxDxn 1u ( )nxn 1u ( )nxn 1u ( )nx12( )=( )( )( ),nS xu xuxuxxI函數項級數的余項: 若用 表示函數項級數的前n項的和,即則在收斂域上,有 記 稱 為函數項級數 的余項,且在其收斂域上有nS (x)12( )= ( )( )( )nnS x u x u xu x nnlimS (x)=S(

3、x).( )( )-( ).nnr xS x S x( )nrxn 1u ( )nxlim ( )0.nnr x二 冪級數當函數項級數的每一項都是冪函數時，即得函數項級數稱為關于x的冪級數，并稱 為冪級數1的系數。冪級數更一般的形式為 稱為 冪級數。 ( )(0,1,2, )nnnu xa x n20121(1)nnnniaax a xa xa x012, , ,na a aa 201020001()()()()(2)nnnnia a x xa x xa x xa x x 0 xx如果在冪級數2中令 ，則冪級數2就化為冪級數1的形式。因而，我們將著重討論冪級數1）。下面將討論冪級數1的收斂半徑

4、及收斂域的求法。0t x x 定理1 設有冪級數 , 如果其系數滿足記 ,那么1)當 時， 內收斂； （2當 時， 內收斂； （3當 時， 僅在x=0點收斂。稱R為冪級數 的收斂半徑，稱 為收斂區間。1nnna x1lim,nnnaa1R01R,+Rnnna x在（-）01(- ,+ )nnna x 在1nnna x1nnna x(,)R R 注：對于冪級數的收斂域，可先求出收斂半徑R和收斂區間，再將區間的端點 代入冪級數中化為函數項級數,討論其斂散性，就可得到冪級數的收斂域。xR 例1 求下列冪級數的收斂域。（1） （2） （3）0!nnxn0nnxn1nnnn x解 （1） ,故 ，即收斂

5、域為 。1!nan1!1limlimlim01!1nnnnnanann R,（2）故 ，即收斂區間為 。11limlim11nnnnnananan1R 1,1對于x=1，冪級數化為 ，為調和級數可知其發散；對于x=-1，冪級數化為 ，為交錯級數可知其收斂，故收斂域為 。01nn11( 1)nnn1,1（3） ,故R=0，級數僅在x=0處收斂。11(1)1,limlimlim(1)nnnnnnnnnnananann 例2 求冪級數 的收斂域。解 作變換t=x-1，將 。 的收斂半徑為R=2。當t=2時, 是發散的；當t=-2時， 是收斂的，故 的收斂域為 ，從而 ，所以 收斂域為 。1(1)2n

6、nnxn11(1)22nnnnnnxtnn化為1121limlimlim.( 1 )22( 1 ) 2nnnnnnnannann 12nnntn11212nnnnnn11( 1) 2( 1)2nnnnnnnn12nnntn22,21 2tx 即13x 1(1)2nnnxn1,3 例3 求冪級數 的收斂域。 解 所給級數缺少x的偶數次項，不能用定理2求收斂半徑，因此用比值判別法求，有 當 ,級數絕對收斂;當 級數發散，所以收斂區間為 。當 時，級數為 是發散的；當 時，級數為 仍為發散的，故原級數的收斂域為 。 22113nnnnx22112221221(1)1113limlimlim ().3

7、33nnnnnnnnnnxunxxnunx21133xx，即當時21133xx，即當時，3, 33x222 111( 3)33nnnnnn3x21()3nn3, 3三 冪級數的運算定理2 設有兩冪級數 ，收斂半徑分別為 ，和函數分別為 ，即 則在區間 內，兩冪級數可作加法、減法、及乘法運算：00,nnnnnnaxbx12,R R12( ), ( )S x S x11202120( )(,)( )(,)nnnnnnaxS xxR RbxS xxR R12( , )(m in( , )RR RR R12120000 00 11 00020 21 12 0011012()( )( ),(, )()

8、()()()() ,(, )nnnnnnnnnnnnnnnnnnnnaxbxa b xS x S xxR Raxbxabab ab xab ab ab xab abab xxR R 注:兩個冪級數的加減乘法運算與兩個多項式的相應運算完全相同.定理3 設冪級數 的收斂半徑為R,則它的和函數S(x)在(-R,R)內具有以下性質:(1) S(x)是連續的;S(x)是可導的,且有逐項求導公式：逐項求導后所得到的 冪級數的收斂半徑仍為R.S(x)是可積的，且有積分公式:逐項積分后所得到的 冪級數的收斂半徑仍為R.0nnnax1n=00S( )= ()=,( , )nnnnnxaxnaxxRR1000000( )(),(, )1xxxnnnnnnnnnaS xdxax dxaxdxxxRRn例如 冪級數 的收斂域為(-1,1)，且和函數為 ，即顯然 在(-1,1)內是連續的，對(*)式逐項求導，得對(*)式逐項積分得即 這樣,我們求出了冪級數 的和函數為 ,冪級數 的和函數為 ,且收斂半徑都是1。0nnx1( )1S xx211,( 1 ,1) ( )1nx x