1、第五節第五節 連續函數的性質連續函數的性質一一 連續函數的運算性質連續函數的運算性質二 閉區間上連續函數的性質三三 小結與思考判斷題小結與思考判斷題定理1處也連續.在點則處連續在點若函數 000)0)()()(),()(),()(,)(),(xxgxgxfxgxfxgxfxxgxf 例如例如,),(cos,sin內連續內連續在在xx.csc,sec,cot,tan在其定義域內連續在其定義域內連續故故xxxx 1、四則運算的連續性一、連續函數的運算性質定理定理4 4.)(,)(,)(,)(00000也連續也連續在點在點則復合函數則復合函數連續連續在點在點而函數而函數且且連續連續在點在點設函數設函

2、數xxxfyuuufyuxxxxu 例如例如,), 0()0,(1內內連連續續在在 xu,),(sin內內連連續續在在 uy.), 0()0,(1sin內內連連續續在在 xy定理3 嚴格單調的連續函數必有嚴格單調的連續反函數.例如例如,2,2sin上單調增加且連續上單調增加且連續在在 xy. 1 , 1arcsin上也是單調增加且連續上也是單調增加且連續在在故故 xy;1 , 1arccos上上單單調調減減少少且且連連續續在在同同理理 xy.,cot,arctan上上單單調調且且連連續續在在 xarcyxy反三角函數在其定義域內皆連續反三角函數在其定義域內皆連續.定理3).(lim)()(li

3、m)(,)(lim000 xfafxfaufaxxxxxxx 則有連續,在點函數若注注1.定理的條件：內層函數有極限，外層函數定理的條件：內層函數有極限，外層函數 在極限值點處連續在極限值點處連續可可得得類類似似的的定定理理換換成成將將 xxx0. 2意義1.極限符號可以與函數符號互換極限符號可以與函數符號互換;.)(. 2的的理理論論依依據據變變量量代代換換xu 例1.)1ln(lim0 xxx 求. 1 xxx10)1ln(lim 原原式式)1(limln10 xxx eln 解例2.1lim0 xexx 求解,1yex 令令),1ln(yx 則則. 1 )1ln(lim0yyy 原原式式

4、. 0,0yx時時當當yyy10)1ln(1lim 同理可得同理可得.ln1lim0axaxx 二、初等函數的連續性二、初等函數的連續性定理定理4 4 基本初等函數在定義域內是連續的基本初等函數在定義域內是連續的. .定理定理5 5 一切初等函數在其定義區間內都是連一切初等函數在其定義區間內都是連續的續的. .定義區間是指包含在定義域內的區間定義區間是指包含在定義域內的區間. .例例1 1. 1sinlim1 xxe求求1sin1 e原式原式. 1sin e例例2 2.11lim20 xxx 求求解解解解)11()11)(11(lim2220 xxxxx原原式式11lim20 xxx20 .

5、0 )()()(lim000定定義義區區間間 xxfxfxx 初等函數求極限的方法代入法初等函數求極限的方法代入法.例例3 求求)1arcsin(lim22xxxx解解 都都和和時時，當當221xxxx不能應用差的極限運算法則，須變形不能應用差的極限運算法則，須變形先分子有理化，然后再求極限先分子有理化，然后再求極限)1(lim2xxxx xxxxxxxx 1)1)(1(lim2221111lim1lim22 xxxxxx21 )1arcsin(lim2xxxx )1(limarcsin2xxxx 621arcsin 例例4 求求.)21 (limsin30 xxx解解:原式ex0lim)21

6、ln(sin3xxex0limx36e說明說明: 假假設設,0)(lim0 xuxx則有)()(1lim0 xvxxxu,)(lim0 xvxxe)(1ln)(lim0 xuxvxxe)()(lim0 xuxvxxx2三 閉區間上連續函數的性質 在閉區間在閉區間a,b上連續：上連續： 在在 (a,b) 內連續，在內連續，在 a點右連續，在點右連續，在 b 點左連續點左連續.)(xf函函數數)(xf函函數數閉區間上連續函數的定義、最大值和最小值定理、最大值和最小值定理定義:上的最大(小)值.在區間是函數則稱都有使得對于任一如果有上有定義的函數對于在區間IxfxfxfxfxfxfIxIxxfI)(

7、)()()( )()(,),(0000 例如例如,sgn xy ,),(上上在在, 2max y; 1min y,), 0(上上在在. 1minmax yy,sin1xy ,2 , 0上上在在 ; 0min y, 1max y定理1(最大值和最小值定理) 在閉區間上連續的函數一定有最大值和最小值.ab2 1 xyo)(xfy ).()(),()(,)(2121xffxffbaxbabaCxf 有有使得使得則則若若注意注意:1.:1.若區間是開區間若區間是開區間, , 定理不一定成立定理不一定成立; ; 2. 2.若區間內有間斷點若區間內有間斷點, , 定理不一定定理不一定成立成立. .例如例如

8、,)1,0(,xxy無最大值和最小值 xoy1121,31,110,1)(xxxxxxfxoy1122也無最大值和最小值 又如又如, ,)(baxf在因此bxoya)(xfy 12mM推論：推論：由定理 1 可知有, )(max,xfMbax)(min,xfmbax, ,bax故證證: 設設, ,)(baCxf,)(Mxfm有上有界 .在閉區間上連續的函數在該區間上有界. 3、介值定理、介值定理定義定義: :.)(, 0)(000的的零零點點稱稱為為函函數數則則使使如如果果xfxxfx .內至少存在一個實根內至少存在一個實根在在即方程即方程0)( xf),(baab3 2 1 幾何解釋幾何解釋

9、:.,)(軸至少有一個交點軸至少有一個交點線弧與線弧與則曲則曲軸的不同側軸的不同側端點位于端點位于的兩個的兩個連續曲線弧連續曲線弧xxxfy xyo)(xfy 定理 4(介值定理 ) 設函數)(xf在閉區間 ba, 上連續，且在這區間的端點取不同的函數值 Aaf )( 及 Bbf )(, , 那末，對于 A與B之間的任意一個數 C ，在開區間( () )ba,內至少有一點 ，使得Cf )( )(ba . . 例1.)1 , 0(01423至至少少有有一一根根內內在在區區間間證證明明方方程程 xx證, 14)(23 xxxf令令,1 , 0)(上連續上連續在在則則xf, 01)0( f又又, 0

10、2)1( f由零點定理由零點定理,使使),(ba , 0)( f, 01423 即即.)1 , 0(01423 內至少有一根內至少有一根在在方程方程 xx推論 在閉區間上連續的函數必取得介于最大值 與最小值 之間的任何值.Mm, 0 , 0 證,)()(xxfxF 令令,)(上連續上連續在在則則baxFaafaF )()(而而由零點定理由零點定理,使使),(ba , 0)()( fFbbfbF )()(.)( f即即.)(),(.)(,)(,)( fbabbfaafbaxf使使得得證證明明且且上上連連續續在在區區間間設設函函數數例2例例 3 3 證明方程證明方程bxax sin，其中，其中0,

11、0 ba，至少，至少有一個正根，并且它不超過有一個正根，并且它不超過ba . .bxaxxf sin)(證：證： , 0)sin(1)sin()( baabbaababaf, 0)0( bf 上上連連續續，在在ba 0()0,.f a ba b 若取. 0)(, 0 fba使使（否否則則至至少少例例4 )()(), 0)2()0(2 , 0)(affaaffaxf 使使證明證明上連續，且上連續，且在在設設證證則則記記)()()(axfxfxF )(, 0(, 0)(的的定定義義域域即即上上連連續續在在xFaaxF)()0()0(affF 且且)0()()2()()(fafafafaF )()0

12、(aff 若若即為所求即為所求則則0 )()0(aff 若若0)()0( aFF則則由零點定理知由零點定理知0)(), 0( Fa 使使)()(aff 即即總之總之)()(), 0affa 使使注注方程方程f(x)=0的根的根函數函數f(x)的零點的零點有關閉區間上連續函數命題的證明方法有關閉區間上連續函數命題的證明方法10直接法：先利用最值定理，再利用介值定理直接法：先利用最值定理，再利用介值定理20間接法輔助函數法）：先作輔助函數，間接法輔助函數法）：先作輔助函數， 再利用零點定理再利用零點定理輔助函數的作法輔助函數的作法（1將結論中的將結論中的(或或x0或或c)改寫成改寫成x（2移項使右

13、邊為移項使右邊為0，令左邊的式子為，令左邊的式子為F(x)則則F(x)即為所求即為所求 區間一般在題設中或要證明的結論中已經給出，區間一般在題設中或要證明的結論中已經給出，余下只須驗證余下只須驗證F(x)在所討論的區間上連續，再比較一在所討論的區間上連續，再比較一下兩個端點處的函數值的符號，或指出要證的值介于下兩個端點處的函數值的符號，或指出要證的值介于F(x)在所論閉區間上的最大值與最小值之間。在所論閉區間上的最大值與最小值之間。內容小結內容小結)()(lim00 xfxfxx0)()(lim000 xfxxfx)()()(000 xfxfxf左連續右連續)(. 2xf0 x第一類間斷點可去

14、間斷點跳躍間斷點左右極限都存在 第二類間斷點無窮間斷點振蕩間斷點左右極限至少有一個不存在在點間斷的類型)(. 1xf0 x在點連續的等價形式基本初等函數在定義區間內連續連續函數的四則運算的結果連續連續函數的反函數連續連續函數的復合函數連續初等函數在定義區間內連續說明說明: 分段函數在界點處是否連續需討論其分段函數在界點處是否連續需討論其 左、右連續性左、右連續性.3.3.初等函數連續性初等函數連續性4.四個定理四個定理有界性定理有界性定理;最值定理最值定理;介值定理介值定理;根的存在性定理根的存在性定理.注意注意1閉區間；閉區間； 2連續函數連續函數這兩點不滿足上述定理不一定成立這兩點不滿足上述定理不一定成立備用題備用題 確定函數確定函數間斷點的類型.xxexf111)(解解: 間斷點間斷點1,0 xx)(lim0 xfx,0 x為無窮間斷點;,1 時當x xx1,0)(xf,1 時當x xx1,1)(xf故1x為跳躍間斷點. ,1,0處在x.)(連續xf思考題一 設設xxfsgn)( ，21)(xxg ，試試研研究究復復合合函函數數)(xgf與與)(xfg的的連連續續性性.思考題一解答( () )2sgn1)(xxfg 0, 10, 2xx在在)0 ,( ), 0( 上上處處處處連連續續)(xfg0 x是它的可去間斷點是它的可去間斷點1 21)(xxg )1sgn()(