1、第十一章 復變函數第一節(jié) 、 復平面第二節(jié)、復變函數第三節(jié)、解析函數第一節(jié)、復平面第一節(jié)、復平面 一、復數的概念 二、復數的各種表示、模與輻角 三、復平面上的點集與區(qū)域一、復數的概念一、復數的概念 定義；設 x,y為兩個恣意實數，稱形如x+yi 的數為復數，記為 z= x+yi ，其中 i 滿足i2 =-1，i稱為虛數單位.實數x 和 y分別稱為復數z 的實部和虛部，記為x=Rez,y=Imz. 各數集之間的關系可表示為 有理數實數無理數復數純虛數虛數非純虛數復數的代數運算復數的代數運算 設復數 , 定義 z1 與 z2 的四那么運算如下： 加法： 減法： 乘法： 除法： 111zxiy222

2、zxiy121212()()zzxxi yy1 21 21 21 22 1() ()zzxx yy ixy xy1111 21 22 11 2222222222222(0)zx iyxxyyxy xyizzx iyxyxy121212()()zzxxi yy復數四那么運算規(guī)律：復數四那么運算規(guī)律： 1加法交換律: (2乘法交換律 3加法結合律 4乘法結合律 5乘法對于加法的分配律 復數運算的其它結果： 1 2 3假設 ，那么 Z1與 Z2至少有一個為零，反之亦然.1221zzzz1221zzzz123123() ()zzzzzz123123() ()z z zz z z1231 21 3()z

3、 zzzzzz0, 00zzz 11,1zzzz 1 20zz共軛復數的運算性質：共軛復數的運算性質： 1 2 3 4 5 6 為實數zz1 21 2zzzz11222(0)zzzzz22Re Im zzzzRe, Im22z zz zzziz zz 例例1 化簡化簡2(23 )2ii2(2 3)4 9 1222( 5 12 )(2)10 12 29(2)(2)4 12 295iiiiiiiiii 解：例2 1 22()Re , Im3 45iizzz zzii設， 求及1 22(1 2 )(34 )234(34 )(34 )5511 2(2)( 5 )11 25 10168255 ( 5 )

4、25252525168Re, Im252516816864()()25252525125iiiiiziiiiiiiiiiiiizzzzii解：所以，二、復數的各種表示、模與輻角二、復數的各種表示、模與輻角 1.復數的幾何表示 由復數z=x+iy 的定義可知，復數是由一對有序實數(x,y) 獨一確定的，于是可建立全體復數和 平面上的全部點之間的一一對應關系，即可以用橫坐標為x ，縱坐標為y的點 表示復數 如圖，這是一種幾何表示法，通常稱為點表示，并將點 P 與數 看作同義詞. 2.復數的向量表示復數的向量表示復數復數 還可以用起點為原點，終點為還可以用起點為原點，終點為P(x,y) 的向量的向量

5、 來表示如圖，來表示如圖， x 與與 y 分別是實部和虛部分分別是實部和虛部分. 3.復數的模與輻角 復數的模 Z0對應的向量 的長如圖, 與實軸正方向所夾的角 ，稱為復數 Z的輻角,記作argz ，即 =argz+2k , k為整數 并規(guī)定 按逆時針方向取值為正，順時針方向取值為負. 4.復數的的三種表示式. 復數的表示式 稱為復數 的三角表示式. 復數的表示式 稱為復數 的指數表示式 復數的表示式 稱為復數 的代數表示式zxiyizre(cossin )z riOP OP OP 3Arg(22 )Arg( 34 )Arg(22 )arg(22 )22arctan22(0,1,2,)24ii

6、iikkkk 例 求和解：23413Re1Im33Argan31132arg133222(cossin)233izixzyzztzizziie 例求的三 角 表 示 式 與 指 數 表 示 式解 ： 因 為，設， 則又 因 為， 位 于 第 二 象 限 ， 所 以， 于 是三、復平面上的點集與區(qū)域三、復平面上的點集與區(qū)域擴展復平面 包括無窮遠點在內的復平面稱為擴展復平面.有限復平面 不包括無窮遠點的復平面稱為有限復平面，或復平面.鄰域 平面上以 z0為心 ，0為半徑的圓： 內部一切點z0 的集合稱為點z0的 鄰域，記為 N(z0,) . 稱集合 (z0 - , z0 + ) 為 z0 的去心

7、鄰域 記作開集 假設點集 D 的每一個點都是D 的內點，那么稱 D 為開集.閉集假設點集D的余集為開集，那么稱 D為閉集.連通集 設是D開集，假設對D 內恣意兩點，都可用折線銜接起來，且該折線上的點都屬D那么稱開集是連通集.區(qū)域或開區(qū)域 連通的開集稱為區(qū)域或開區(qū)域.閉區(qū)域 開區(qū)域 連同它的邊境一同，稱為閉區(qū)域，記為 .0 x zD第二節(jié)、復變函數第二節(jié)、復變函數 一、復變函數的概念一、復變函數的概念：一、復變函數的概念： 定義1 設 D為給定的平面點集，假設對于D 中每一個復數z=x+iy ，按著某一確定的法那么f ，總有確定的一個或幾個復數 與之對應，那么稱 f是定義在D上的復變函數復變數

8、是復變數Z的函數，簡稱復變函數，記作 =f(z) 其中 Z稱為自變量, 稱為因變量，點集 D 稱為函數的定義域. 例1 將定義在全平面上的復變函數 化為一對二元實變函數. 解 設 21wz222222,1()1121zxiy wuivwzwuivxiyxyixyuxy 代入得比較實部虛部得4042142213312 cos()sin()4433224412 cossin(0,1)22332(cossin)88552(cossin)88iiikkiikwiwi 例 計算解：因為所以即第三節(jié)、解析函數第三節(jié)、解析函數 一、復變函數的導數 二、解析函數的定義 三、柯西黎曼條件一、復變函數的導數一、復

9、變函數的導數 1.導數的定義 定義1 設函數f(z) 在包含 z0 的某區(qū)域 D內有定義，當變量z 在點z0 處獲得增量 時，相應地，函數 獲得增量 假設極限 存在，那么稱f(z) 在點 z處可導， 此極限值稱為f(z) 在點 z處的導數，記 或 ，即 z000( )()limzzf zf zzz0( )f z0zzdwdz00000()()()limzz zf zzf zdwfzdzz 如果函數f(z)在區(qū)域D內每一點都可導，則稱f(z)在D內可導。33322200023( )()( )()limlimlim 333( ) 3xxxf zzf zzf zzzzzz zzzzzf zz例求 復

10、 變 函 數的 導 數解 ： 因 為 所 以 122.(1)()0,2,3( )( )( )( )4( )( )( )( )( )( )( )( )( )( )( )5( )0)( )( )6 ( )nnCCznznfzg zfzgzfzg zfz g zfz gzfzfz g zfz gzg zg zg zfzf 導 數 運 算 法 則復 變 函 數 的 求 導 法 則 (以 下 出 現 的 函 數 均 假 設 可 導 ):其 中為 復 常 數 ；（ ） （）其 中 為 正 整 數 ；（ ）（ ）（ ）（ ）()( ),( )wzwz其 中2425224242 33242 32433(1)1

11、( )(2)2( )(0)( )5(2) 420 (2)4(1) 22 (1)22( )(1) (31)zf zzif zzzfzzizzzizzzzfzzzzz例 求下列函數的導數（），（ ）解：（1）（ ）22( )2(24) (22)( )2( )2( ) 4 2 ( ) 24(3 2)(1)4 20f zzzzfiiiiiii 解：因為所以二、解析函數的定義二、解析函數的定義 定義3 假設函數 f(z)不僅在點 z0處可導，而且在點z0 的某鄰域內的每一點都可導，那么稱 f(z) 在點z0 處解析，并稱點z0 是函數的解析點；假設函數 f(z) 在區(qū)域D內每一點都解析，那么稱 f(z)

12、 在區(qū)域 D內解析或稱 為區(qū)域D 內的解析函數，區(qū)域 D 稱為 的解析區(qū)域. 假設 f(z) 在點z0 處不解析，但在z0 的任一鄰域內總有 z0 的解析點,那么稱 z0 為f(z) 的奇點.例例5 討論函數討論函數 f(z)=z2的解析性的解析性. 解 由例2知，f(z)=z2 在整個復平面內處處可導且 ，那么由函數在某區(qū)域內 解析的定義可知，函數 f(z)=z2在整個復平面上解析。( )2fzz三、三、 柯西柯西黎曼條件黎曼條件定理 設函數 在區(qū)域 D 內有定義，那么 在 D內解析的充分必要條件為 在 D內任一點 處1可微； 2滿足 上式稱為柯西黎曼條件或方程，簡稱CR條件或方程. 定理

13、函數 在區(qū)域 D 內解析的充要條件為 1 在D內延續(xù)；2 在 D 內滿足CR條件 ， ( )( , )( , )f zu x yiv x y,uvuvxyyx ,uuvvxyxy( )( , )( , )f zu x yiv x y,uvuvxyyx 2222222226( )( )()2( , ), ( , )2( , ), ( , )2( , )( , )2 ,2( , )( , )f zzf zzxiyxyi xyu x yxyv x yxyu x yxyv x yxyu x yv x yuvuvxyxyyxu x yv x yCR 2例 討論函數的可導性，并求其導數解：由得則顯然，在復

14、平面內和的偏導數處處連續(xù)，且即和處處滿足條件且處處可微，所以,f（z)=z 在復平面內處處可導且f (z)=2z第四節(jié)、初等解析函數第四節(jié)、初等解析函數 一、指數函數 二、對數函數 三、冪函數 四、三角函數一、一、 指數函數指數函數 定義3 復變量的指數函數定義為 指數函數的一些重要性質： 1指數函數 ez在整個Z的有限平面內都有定義，且處處不為零. 2ez1+z2 =ez1ez2 3指數函數是以2i 為周期的周期函數 4指數函數ez 在整個復平面上解析，且有 (ez)=ez (cossin )zx iyxeeey iy二、對數函數二、對數函數 定義4 對數函數定義為指數函數的反函數.假設 ，

15、那么稱 是Z的對數函數，記作 對數函數是一個多值函數，每一個Z 對應著多個LnZ的值.假設令k=0 ，那么上式中的多值函數便成為了單值函數，那么稱這個單值函數為多值函數LnZ 的主值. 記作lnz 例1 求 .解 由于-1的模為 1，其輻角的主值為 ，所以 而 又由于 iii的模為1，而其輻角的主值為 ，所以 (0,)wzezwLnwzln( 1),Ln( 1),lnLnii和ln( 1)ln1iiLn( 1)2(21) (0, 1, 2, )ik iki k 1lnln1Ln2(2)2222(0,1,2,)iiiiikikik復變量對數函數具有與實變量對數函數同樣復變量對數函數具有與實變量對

16、數函數同樣的根本性質：的根本性質： 5對數函數的解析性可以證明 Lnz在除去原點與負實軸的Z平面內解析，所以 Lnz的各個分支也在除去原點與負實軸的Z平面內解析。Ln11 212122(1)0lnln(2)0 Lnln(21) ,(0, 1,2,)(3),Ln2,(0, 1,2,)(4)Ln()LnLn,Ln()LnLnzzzxzxzxxxikkezezki kzz zzzzzz時，三、冪函數三、冪函數 定義5 設 為恣意復常數，定義普通冪函數為 它是指數與對數函數的復合函數，是多值函數(因 對數函數是多值的). 冪函數的幾種特殊情形：1當 為整數時，是與K 無關的單值函數0,n 為正整數時，

17、 f(z)=zn為Z的 次乘方， 2當 為有理數 時為既約分數， n0 ，Ln(0)zzez2ln1,ikzewze Ln(ln2)mmmzziknnnzzee只需 n 個不同的值，即當 K 取 0,1,2,n-1時的對應值.3當 為無理數或復數時，z 有無窮多個值. 此時的 z 與根式函數 的區(qū)別 是無窮多值函數.而后者的值是有限的。1nz1當當 =n n 為正整數時，為正整數時，zn 在整個在整個復平面內單值解析，且復平面內單值解析，且 2當 =-nn 為正整數時， 在除原點的復平面內解析，且 1()nnznz 1nnzz222 Ln( 1)2(21)22 21(ln12)(2)Ln222

18、3222Ln(2)333 2232( 1)( 1)(0, 1, 2,)3(0, 1, 2,)444cos()sin(),0,1,2333313,22kiik iiiii kkiiiikieeeekiieeekiieekikkii例 求解：例 求解：例 求解：所以 的三個值分別為13,122i四、三角函數四、三角函數定義7 設 Z 為任一復變量，稱 與 分別為復變量Z的正弦函數與余弦函數，分別記為sinz 與cosz 正弦函數與余弦函數的性質：1sinz 與 cosz都是以 2為周期的周期函數 2 sinz為奇函數，cosz 為偶函數，即對恣意的Z 有 31( )()2izizf zeei1( )()2izizg zeei22121212121212sin()cos ,sincos12sin()sincoscossincos()coscossinsinzzzzzzzzzzzzzzzz4 和和 都是無界的都是無界的. 由于 可見，當 無限增大時， 趨于無窮大，同理可知， 也是無界的.()()11co