1、微分與積分思想【摘要】微分與積分是微積分中極其重要的兩個數學思想，它們是數學理論與現實 的連接橋梁，關系著社會的進步與科技開展，它在天文學、力學、化學、生物學、工程學、經濟學等自然科學、社會科學及應用科學等多個分支中，有越來越廣 泛的應用，微積分的開展更有助于這些應用的不斷開展。因此，研究微分與積 分具有重要意義。【關鍵詞】 微分、積分、思想一、微分與積分的意義微分和積分是數學中極其摘要的兩個數學模塊，它們在數學分析和應用中起主要 作用。微分是對一個函數的微分，以求函數的微小變化，積分是函數對因變量在某 個取值范圍內積累，當變化范圍是有限時，稱為定積分，當變化范圍是無限時，稱 為不定積分。如果

2、把函數當成一杯水，微分就是將這杯水蒸發，得到成個的水分子， 從而了解其本質；而積分就是把有限或者無限杯水集中求其總量，比方，定積分就 是將有限杯水集中得到其體積，質量，作用，從而了解了解其具體成效。二、微分與積分的思想解釋微積分的誕生與開展共經歷了三個時期：牛頓與萊布尼的以無窮小為根底的時期；柯西的動態極限概念為根底的時期；威爾拉斯以靜態的量為概念的根底時期。這三 個時期是微積分思想碰撞很劇烈的時期，也是微積分得到較大突破的時期，是研究 的量變產生質變的時期其中就莊子的文章“天下篇中有這么一句“一尺之棰，日取其半，萬世不竭 包含了微積分思想。在微積分中，微分是對函數的局部變化率的一種線性描述。

3、微分可以近似地描述當函數自變量的取值作足夠小的改變時，函數的值是怎樣改變的。比方設函數y二f(x) 在xo的鄰域內有定義，xo及x0 + Ax在此區間內。如果 函數的 增量 A y二f(x o + A x) ? f(x o)可表示為A y二A A x + o( A x)(其中A是不依賴于 Ax的常數)，而o( AxO)是比 Ax高階的 無窮小，那么稱函數f(x) 在點x0是可微的，且 AAx稱作函數在點 xo相應于自變量增量 Ax的微分，記 作dy，即dy = AA x。函數的微分是函數增量的主要局部，且是Ax的線性函數，故說函數的微分是函數增量的線性描述( X 0)。例1求(1)分析：這個函

4、數是無法通過代數變形求出結果的，它只能通過微分的定義進行剖析從中得到微分概念是在解決直與曲的矛盾中產生的，在微小局部可以用直線去近似替代曲線，它的直接應用就是函數的線性化。微分具有雙重意義：它表示一個微 小的量，同時又表示一種與求導密切相關的 運算。微分是 微分學 轉向積分學的一個關鍵概念。微分的思想就是一個線性近似的觀念，利用幾何的語言就是在函數曲線的局部， 用直線代替曲線，而線性函數總是比擬容易進行數值計算的，因此就可以把線性函數的數值計算結果作為本來函數的數值近似值，這就是運用微分方法進行近似計算的根本思想。在積分中，積分有兩種，即定積分和不定積分。定積分是微分的逆運算，即 知道了函數的

5、 導函數，反求原函數。在應用上，定積分作用遠不止如此，它被大量應用于求和，例如求 曲邊三角形 的面積，這巧妙的求解方法是積分特殊的 性質決定的。一個 實變函數在區間a,b上的定積分，是一個實數。它等于該函數的一個原函數在b的值減去在a的值。一個函數的不定積分(亦稱原函數)指另一族函數，這一族函數的導函數恰為前一函數。其中：F(x) + C/二f(x) o定積分和不定積分的定義迥然不同，定積分是求圖形的面積，即是求微元元素的累加和，而不定積分那么是求其原函數，它們又為何通稱為積分要靠牛頓 和萊布尼茨的奉獻了，把本來毫不相關的兩個事物緊密的聯系起來了。牛頓一 布萊尼公式：設f ( x)在a，b上連續，F (x )是f (x)的一個原函數，即F(x) ' =f(x),那么有/ abf (x) dx=F( a) -F(b)=F (x) I ab通過公式可以知道，它們的通道為x的取值范圍，當x的取值范圍為閉區間時，F(x)為定積分，當x的 取值范圍為幵區間時，F (x)為不定積分。不定積分的性質：1、兩個函數的代數和的積分，等于這兩個函數積分的代數和，即/ f (x)± g (x) = / f (x)&