1、鄭州大學數學建模論文題目：電梯調度問題2011 年8月11日摘 要本文首先建立一個電梯調度模型評價指標體系，從乘客滿意度和公司滿意度兩個角度考慮評價指標的選取。選取了表征乘客滿意度的指標乘客平均候梯時間與乘客平均乘梯時間；表征公司滿意度的指 1標電梯能耗的大小并以電梯的總停靠次數衡量。利用這三個指標來綜合評價電梯調度方案的優劣。并采用模糊評價和層次分析1的思想，建立了全面合理的電梯調度方案的評價體系。其次，考究問題是一個排隊系統動態優化問題，通過為電梯合理分配樓層，來最大限度地縮短時間、減少電梯能耗。根據題目提供的數據，掌握各個乘客的時間信息記憶樓層信息，利用matlab隨機數生成函數模擬出每

2、次運行過程乘客的停靠信息，綜合考慮乘客、公司滿意度指標設計了如下調度方案：將電梯分為三組，每組兩臺電梯，分別負責低層、中高層和高層區域。通過計算機仿真模擬得出：方案第一組電梯負責2至9層，第二組負責10至15層，第三組負責16至22層時較優。在第二問中，利用已經建立的評價指標體系，通過將影響總體滿意度的各個因素進行融合，得到了電梯調度模型的綜合評價體系。利用該方法分別計算模型未改進時、設計方案后的綜合滿意度，即可衡量出方案的改進程度。結果顯示，第一組電梯負責2至9層，第二組負責10至15層，第三組負責16至22層時，乘客候梯時間、乘客乘梯時間和電梯停靠次數均被不同程度地優化，可以將此方案建議給

3、大樓管理者采納。最后本文就所建立的模型在實際運用中的作用進行了分析，并提出了改進方向。結合實際，加入重要因素的考慮，比如考慮其他交通流，考慮個別人群滿意度。關鍵字：調度 優化 隨機函數 層次分析法 模糊評價一、 問題重述電梯是高層建筑的主要垂直交通工具，在現代社會中扮演著極其重要的角色。如今在一幢寫字樓中，由于每天早晚上下班的時間固定，所以人們乘坐電梯的時間也相對集中，在某些時間段人流相對密集。結果有幾部電梯在高峰時段每一層都停下來各上一兩位乘客，這樣導致乘客的平均等待時間較長，且電梯能耗較大。因此，改善電梯在高峰模式下的調度模式，研究改善當前電梯運行情況的方案，就愈發顯示出其重要的現實意義。

4、商業中心某寫字樓有二十二層地上建筑樓層和兩層地下停車廠，6部電梯，每部電梯最大載重是20個正常成人的體重之和。工作日里每天早晚高峰時期均是非常擁擠，而且等待電梯時間明顯增加。請針對早晚高峰期的電梯調度問題建立數學模型，以期獲得合理的優化方案。1）寫出若干合理的模型評價指標。2）暫不考慮該寫字樓的地下部分，每層樓層的平均辦公人數經過調查已知（見表1）。假設每層樓之間電梯的平均運行時間是3秒，最底層(地上一層)平均停留時間是20秒，其他各層若停留，則平均停留時間為10秒，電梯在各層的相應的停留時間內乘梯人員能夠完成出入電梯。表1：該寫字樓各層辦公人數（見附表1）請你針對這樣的簡化情況，建立你的數學

5、模型（列明你的假設），給出一個盡量最優的電梯調度方案，并利用所提評價指標進行比較。3）將你在第2問中所建立的數學模型進一步實際化，以期能夠盡量適用于實際情況，用于解決現實的電梯調度問題。二、 問題分析本題建立了一個電梯調度模型，研究在高峰模式下改善電梯調度模式、優化電梯運行情況方案的問題。考慮到優化前的方案在高峰時段每一層都停下來各上一兩位乘客，造成了時間的浪費，延長了乘客的等待時間， 因此在設計較為優化的調度方案時，應盡量避免每一層都停下來。基于上述原則， 結合題目要求與約束條件，考慮到現實生活中的要求，建立了本文調度方案。將這些方案與原有方案進行比較，度量縮短的等待時間，進而判斷方案的可取

6、程度。在第一問中，分析沿行以往電梯運行模式所暴露的弊端：上下班時期電梯擁擠不堪，乘客等候時間漫長，電梯能耗頗大，找到問題的癥結。為改良此種現象，需要設計某種電梯調度方案，同時設定合理的評價指標體系比較方案的優劣。在第二問中，將影響電梯調度模型的各個因素利用層次分析法進行融合，得到總體的滿意度評價體系。利用該體系衡量問題一中的方案，即可比較出各方案的改善程度。該部分主要運用MATLAB 進行層次分析以及matlab隨機數生成函數。第三問，為了解決現實的電梯調度問題，針對所作假設加以是實際化，即將乘客同時到達電梯門口改為乘客以泊松分布到達的情況，進而加以運算比較。三、 模型假設1. 各個乘客均在上

7、班時間之前到達各自樓層，均在下班時間之后開始離開各自的樓層，沒有遲到和早退的現象發生；2. 電梯總能夠按照接受的指令正常工作，不會產生物理故障；3. 乘客進入電梯后，電梯門隨即關閉，不考慮人為因素等待的情況；4. 電梯調動過程中，只考慮直達的交通流，其他形式的交通流不予考慮；5.進出寫字樓工作人員均為正常成人，擁有正常成人體重；6.六部電梯分組完畢后，于組間獨立運行無不干擾；7.認為2層以上工作人員均以電梯為工具到達所在樓層而非其他途徑（如走樓梯）；8.電梯只以人員為乘坐對象，非運送其他實物為目的；9.電梯在各層的相應停留時間內乘梯人員能夠完成出入電梯；10將要到達的乘客虛擬為都已經到達的乘客

8、，上、下班高峰期的電梯優化調度就相當于在所有乘客已經到達情況下地優化調度問題；11.電梯在上行中不考慮下行情況，下行過程中不考慮上行情況；12.電梯每次上行均在啟動層滿載，下行不接客；下行不接客；四、 符號說明xij:電梯第i次上升到第j層下梯的人數；t(r):電梯從啟動到第r層停止所用的時間(單位為秒)；bh:各組電梯所負責樓層的最高樓層；bl:各組電梯所負責樓層的最底層；T1:每位乘客平均的等待時間(單位為秒)；T2:每位乘客平均的乘梯時間(單位為秒)；Q：電梯總的停靠次數;f(r)=0或1：0代表電梯于第r層不停靠；1代表電梯于第r層停靠； k:電梯運行的次數；Y1:乘客對平均候梯時間的

9、滿意度；Y2:乘客對平均乘梯時間的滿意度；Y3:對電梯停靠總次數的滿意度；Y0：未優化時的綜合滿意度；Y：優化方案下的綜合滿意度；五、 電梯群控模型評價指標體系的建立在電梯的群控模型中，不同的電梯調度方案會產生不同的調度結果。為比較各種調度方法的優劣，有必要建立電梯群控模型的評價指標體系，來比較不同調度方案的不同。影響電梯調度方案好壞的因素有很多，但為簡化模型，并結合題目中的具體要求，將“乘客滿意度”和表征公司滿意度的“電梯的能耗”作為影響電梯調度方案好壞的主要因素。5.1 乘客滿意度評價指標結合題目的說明以及實際生活中人們對于乘梯的要求，從乘客的角度上講， 為了使乘客的滿意度盡可能地大，即乘

10、客盡可能快地到 6達目的地，設計電梯調度方案時應該考慮以下影響乘客滿意度的主要因素：乘客的平均等待時間要短；T1乘客的平均乘梯時間要短；T2上述各個指標的計算方法如下：1） 乘客的平均乘梯時間T2的計算由0或1變量可以確定電梯的停靠位置及相應的次數，maxf(r)*r表示一次運行過程電梯完成負責樓層時所停靠的最高樓層；f(r)*10表示一次運行過程電梯總的停靠時間；所以可推出 blibhit(r)=(R-1)*3+ f(r)*10，其中R= maxf(r)*r。采用電腦隨機blibhibhibli模擬乘客停靠位置，同時考慮各層人員數量的硬性限制利用matlab軟件編程求的每次運營的t(r),再

11、利用t(r)/x ij計算出平均乘梯時間T2。2）乘客的平均候梯時間T1的計算：設候梯大廳的人員變化情況為Pk=P0-40*k,一次運行結束等候的總時間為Pk*t(r)+3(R-1)。將上一步運算結果t(r)帶入Pk*t(r)+3(R-1)，累加計算總的等候時間為WP11KK,其中Wpk=Pk*t(r)+3(R-1)，故此T1=WP/P k11KK5.2 電梯能源消耗評價指標現實生活中，衡量一個電梯的能耗要綜合考慮多種因素，如電梯的 7加速與減速過程、電梯運行的路程、電梯能量轉化效率等等。如將這些因素全部考慮，往往會使所建立的模型過于復雜，不能得到影響能耗的主要矛盾。基于上述考慮，并且由于題目

12、中沒有給出關于能耗的具體要求，故把電梯整個運行過程（包含上升和下降）中的停靠次數作為衡量電梯能耗大小的指標。為使電梯能耗盡可能地低，應盡量使電梯上升與下降過程中的總的停靠次數盡可能地短;電梯停靠總次數的計算方法如下：Q=5.3 運用層次分析法計算各個指標的權重利用歸一化原則與模糊分析的方法,將以上各個指標分別量化到以01為范圍的滿意度函數。 乘客平均候梯時間T1由于乘客滿意度Y1與T1負相關，我們建立Z 型隸屬度函數2來反映二者之間的關系：滿意度Y1與T1的函數圖像如下: f(r) 1bli3bli由圖可知，根據電梯的實際運行情況，我們規定：當T1=178.5時，滿意度為0,；當T1=76.5

13、7時，滿意度為1。 乘客的平均乘梯時間T2由于乘客滿意度Y2與T2負相關，我們建立Z 型隸屬度函數來反映二者之間的關系。滿意度Y2與T2的函數圖像如下:由圖可知，根據電梯的實際運行情況，我們規定：當T2=3.51時，滿意度為0；當T2=0.94時，滿意度為1。 電梯停靠總次數Q根據實際生活情況可知，電梯的停靠次數越大，則電梯群控系統的運載效率越低，耗能會相應增加Q。因此，可以認為對電梯停靠總次數的滿意度Y3與Q負相關。由此，利用Z 型隸屬度函數來反映二者之間的關系。對電梯停靠總次數的滿意度Y3與Q之間的函數圖像：由圖可知，根據電梯的運行情況，我們規定：Q=2407時，滿意度為0；Q=115時，

14、滿意度為1。5.4 綜合評價指標體系的建立對上述每個分立指標進行歸一化處理后，我們考慮構造一個綜合指標來反映該體系總體的優劣程度，構造的模型如下：Y=Y1+Y2+Y3（+=1）構造兩兩比較矩陣要比較的因素為乘客的平均候梯時間T1，乘客的平均乘梯時間T2，電梯的總停靠次數Q。根據以上三個因素對電梯運行安排合理性的影響，確定其重要程度，每次選取兩個因素進行比較，則判別矩11/53陣aij=5171/31/713/197/473/11 ;按列歸一后得矩陣bij=15/1935/477/11 1/195/471/1111按行求和得vij=2.17.一致性檢驗通過得權重系數矩陣wi=0.723,（+=1

15、）六、模型的求解6.1 乘客滿意度評價指標的求解 乘客的平均等待時間：T 1故T 1=（96.8031+128.7071+171.1268）/3=132.212(s)乘客的平均乘梯時間： T2故T2=（1.8008+2.0969+2.6177）/3=2.1718(s) 電梯停靠總次數QQ=f(r)1bli3bli=195+157+155=5076.3 Y1、Y2、Y3滿意度求解根據Y1與T1、Y2與T2、Y3與Q的z型隸屬度函數圖象分別得出本方案下的滿意度分別為：0.4125、0.3247、0.9414。進而得出綜合滿意度Y=0.193*0.4124+0.723*0.3247+0.084*0.

16、9414=0.3964，同理，根據未優化時的數據可得其綜合滿意度Y0=0.1011。七、模型的評價大體來看，本文提出的調度方案能夠解決該商業中心早晚高峰期電梯擁擠，乘客等待時間漫長的問題。采用本方案，對比未優化時的各項指標，具體如表：在保證乘客滿意度的前提下，盡量使電梯的能耗最小化，實現個人及企業效益的最優。在方法上，本模型并未局限于排隊系統優化模型中的M/M/6,而是將要到達的乘客虛擬為都已經到達的乘客，上、下班高峰期的電梯優化調度就相當于在所有乘客已經到達情況下地優化調度問題，大大的簡化了模型。采用matlab隨機數生成函數模擬出乘客停靠信息，合理簡便的計算出乘客的平均等待時間、平均候梯時間，便于模型結果的相互比較。但是模型的建立在假設方面存在著某些局限性，如，在樓層較低時，會有大多乘客采用步行的方式。另外，在模擬乘客停靠信息時，由于時間的局促、數據源的不足，模擬次數的限制可能使模型結果與實際有一定出入，需加以改進。再者該模型主要針對上班高峰期的情況進行量化分析，假定了下班高峰期的情況與上班高峰期情況相近，進行了簡化處理。八、模型的改進通過對實際情況的審視，可以對模型進行相應的約束改進。在假設中，我們不考慮乘客的步行需求，但在電梯數量容量有限的條件下，為了節約寶貴時間，選擇步行方式有其合理性。因此，可