1、第十一講全等三角形中的倍長類中線中考要求考試要求板塊A 級要求B 級要求C 級要求全等三角形掌握全等三角形的概念、判定和性質，會運用全等三角形的性的性質及判會識別全等三角形會用全等三角形的性質和判定解決簡質和判定解決有關問題定單問題知識點睛三角形中線的定義：三角形頂點和對邊中點的連線三角形中線的相關定理：直角三角形斜邊的中線等于斜邊的一半等腰三角形底邊的中線三線合一(底邊的中線、頂角的角平分線、底邊的高重合)三角形中位線定義：連結三角形兩邊中點的線段叫做三角形的中位線三角形中位線定理：三角形的中位線平行于第三邊并且等于它的一半中位線判定定理：經過三角形一邊中點且平行于另一邊的直線必平分第三邊中

2、線中位線相關問題(涉及中點的問題 )見到中線 (中點 )，我們可以聯想的內容無非是倍長中線以及中位線定理(以后還要學習中線長公式涉及線段的等量關系時，倍長中線的應用更是較為常見重、難點重點： 本節的重點是全等三角形的概念和性質以及判定，全等三角形的性質是以后證明三角形問題的基礎，也是學好全章的關鍵。同時全等三角形的判定也是本章的重點，特別是幾種判定方法，尤其是當在直角三角形中時， HL 的判定是整個直角三角形的重點難點： 本節的難點是全等三角形性質和判定定理以及中線的靈活應用。為了能熟練的應用性質定理及其推論，要把性質定理和推論的條件和結論弄清楚，哪幾個是條件，決定哪個結論，如何用數學符號表示

3、，即書寫格式，都要在講練中反復強化例題精講版塊一、倍長中線【例 1】 已知：ABC 中，AM是中線求證：1AM(AB AC)2ABMC【鞏固】 (2002 年通化市中考題 )在ABC 中， AB5, AC9 ，則 BC 邊上的中線AD的長的取值范圍是什么？【例 2】 如圖，ABC 中， ABAC ，AD是中線求證：DAC DAB ABDC【例 3】 如圖，已知在ABC 中，AD是 BC 邊上的中線，E是AD上一點，延長BE交 AC 于F，AFEF，求證： ACBE AEFBDC【例 4】 已知 ABC， B= C， D， E 分別是 AB 及 AC 延長線上的一點，且BD =CE，連接 DE

4、交底 BC 于G，求證 GD =GEADCBGE【例 5】 如圖，在ABC 中，AD交 BC 于點D，點E是 BC 中點，EF AD交 CA 的延長線于點F，交EF于點 G，若 BGCF ，求證：AD為ABC 的角平分線【例 6】 ( 2008 年巴中市高中階段教育學校招生考試)已知：如圖，梯形ABCD 中， AD BC ，點E是 CD 的中點，BE的延長線與AD的延長線相交于點F求證：BCE FDE ADFEBC【例 7】 已知AM為ABC 的中線，AMB，AMC 的平分線分別交AB于E、交 AC 于F求證：BECFEFAEFBCM【例 8】( 浙江省 2008 年初中畢業生學業考試E分別是

5、AD及其延長線上的點，(湖州市 )數學試卷CF BE 求證：)如圖，在BDE ABC 中，D是CDF BC 邊的中點，F，AFBCDE【例 10】 ( 2008 年四川省初中數學聯賽復賽CB 上，滿足DFE90 若AD初二組 )在 Rt ABC 中，F是斜邊AB的中點，D、E分別在邊3 ，BE4，則線段DE的長度為 _CA 、ADFCEB【例 11】如圖所示，在ABCADAD，求證和ABC 中，AD、ADABCABC 分別是BC、B C上的中線， 且ABA B ，ACA C，AABDCBDC【例 9】 在 Rt ABC 中，A 90 ，點D為 BC 的中點，點E、F分別為AB、AC 上的點，且

6、EDFD以線段BE、EF、 FC 為邊能否構成一個三角形？若能，該三角形是銳角三角形、直角三角形或鈍角三角形？AEFBCD【鞏固】如圖所示，在ABC中，D是BC的中點，DM垂直于DN，如果BM2CN2DM2DN2，求證AD21AB2AC24AMNBDC【例 12】如圖所示，BACDAE90 ，M是BE的中點，ABAC ，ADAE，求證 AMCD AEBMCD【鞏固】已知在AC 于FABC 中，AD是中線，2，求證 PBPE PF P是AD上的任意一點，CF AB 且交BP的延長線于點F，BF交AFEPBDC版塊二、中位線的應用【例 13】AD是ABC 的中線，F是AD的中點，BF的延長線交AC

7、 于E求證：1AEAC3AEFBDC【例 14】如圖所示，在ABC 中， ABAC ，延長AB到D，使BDAB，E為AB的中點，連接CE 、 CD ，求證 CD2EC AEBCD【鞏固】已知ABC 中， AB=AC， BD 為 AB 的延長線，且BD=AB， CE 為 ABC 的 AB 邊上的中線求證CD =2CECAEBD【例 15】在ABC 中，ACB90 ， AC1BCD ，E是 CD 的中點，求證：BC ，以 BC 為底作等腰直角2AEEB且AEBEDECAB【例 16】如圖，在五邊形 ABCDE 中， ABCAED90 ， BACEAD ，F為 CD 的中點求證：BFEFABECFD

8、【例 17】 ( “祖沖之杯 ”數學競賽試題， 中國國家集訓隊試題)如圖所示，P是ABC 內的一點，PACPBC ，過P作 PMAC 于M，PLBC 于L，D為AB的中點，求證DMDLCMPLADB【例 18】已知： ABCD 是凸四邊形，且AC GNM AEDMNGBFC【例 19】 ( 全國數學聯合競賽試題) 如圖所示， 在ABC 中，D為AB的中點， 分別延長 CA 、CB 到點E、F，使DEDF過E、F分別作直線CA 、CB 的垂線，相交于點P，設線段PA、PB的中點分別為M、N 求證：(1)DEM FDN ；(2)PAEPBFCDBAANMEFEP【例 20】已知：在 ABC 中，分

9、別以 AB、AC 為斜邊作等腰直角三角形ABM，和 CAN，P 是邊 BC 的中點 求證： PM PN(1991 年泉州市初二數學雙基賽題)AQRMBPCN【例 21】已知，如圖四邊形ABCD 中， ADBC ，E、F分別是AB和 CD 的中點，AD、EF、 BC 的延長線分別交于M、 N 兩點求證：AMEBNE NMFCDAEB【鞏固】(2009 年大興安嶺地區初中畢業學業考試)已知：在ABC 中， BC的頂點A逆時針旋轉，且ADBC ，連結 DC 過AB、 DC 的中點E、F作直線，直線EF與直線AD、 BC 分別相交于點M、NMMNDF( N)DCCFHAEBAE圖 1圖 2 如圖 1，

10、當點D旋轉到 BC 的延長線上時，點N 恰好與點F重合，取 AC 的中點H，連結HE、HF，根據三角形中位線定理和平行線的性質，可得結論AMFBNE (不需證明 ) 當點D旋轉到圖 2 或圖 3 中的位置時，AMF與BNE 有何數量關系？請分別寫出猜想，并任選一種情況證明【例 22】如圖， AE AB， BC CD ，且 AE=AB， BC=CD ， F 為 DE 的中點， FM AC證明： FM =1AC2EFDBAMC【鞏固】 (2004 全國數學聯賽試題)如圖，梯形ABCD 中， AD BC，分別以兩腰AB 、CD 為邊向兩邊作正方形 ABGE 和正方形 DCHF 設線段 AD 的垂直平分線l交線段 EF 于點 M 求證：點 M 為 EF 的中點lEEMFADGGHBC家庭作業【習題 1】如圖，在等腰ABC 中， ABAC ，D是 BC 的中點，過A作AEDE，AFDF，且AEAF求證：EDBFDC AEFBDC【習題 2】如圖，已知在ABC 中，AD是 BC 邊上的中線，E是AD上一點，且 BE AC ，延長BE交 AC 于F，AF與EF相等嗎？為什么？AFEBDC【習題 3】如右下圖，在ABC 中，若B2 C ， ADBC ，E為 B