1、.第一講 第一章：函數(shù) 4學時教學目的與要求：理解函數(shù)的概念，掌握函數(shù)的初等函數(shù)的性質(zhì)及其圖形，并會建立簡單應(yīng)用問題中的函數(shù)關(guān)系式。教學內(nèi)容概述：本講主要復習中學所學集合；函數(shù)；函數(shù)的表示方式，函數(shù)的幾種特性；反函數(shù)與復合函數(shù)；基本初等函數(shù)；初等函數(shù)等。教學重點（難點）：理解復合函數(shù)及分段函數(shù)，反函數(shù)及隱函數(shù)的概念，基本初等函數(shù)的性質(zhì)及其圖形。教學過程：一、集合1、 集合概念具有某種特定性質(zhì)的事物的總體叫做集合。組成這個集合的事物稱為該集合的元素。表示方法：用A，B，C，D表示集合；用a，b，c，d表示集合中的元素。1)2)元素與集合的關(guān)系：，一個集合，若它只含有有限個元素，則稱為有限集；不是

2、有限集的集合稱為無限集。常見的數(shù)集：N，Z，Q，R，N+元素與集合的關(guān)系：A、B是兩個集合，如果集合A的元素都是集合B的元素，則稱A是B的子集，記作。如果集合A與集合B互為子集，則稱A與B相等，記作若作且則稱A是B的真子集。全集I：AiI（I=1，2，3，.）。空集： 。2、 集合的運算并集： 交集：差集：補集（余集）：IA集合的并、交、余運算滿足下列法則：交換律： 結(jié)合律：，分配律： ，對偶律： ( 笛卡兒積： A×B3、區(qū)間和鄰域1）有限區(qū)間：開區(qū)間，閉區(qū)間，半開半閉區(qū)間。2）無限區(qū)間：（），。3）鄰域：注：a 鄰域的中心，鄰域的半徑；去心鄰域記為。二、映射映射概念定義 設(shè)X，Y

3、是兩個非空集合，如果存在一個法則，使得對X中的每一個元素，按法則，在Y中有唯一確定的元素與之對應(yīng)，則稱為從X到Y(jié)的映射，記作 其中稱為元素的像，并記作，即。 注意：每個X有唯一的像；每個Y的原像不唯一。三、函數(shù)1、 函數(shù)的概念定義 設(shè)數(shù)集，則稱映射為定義在D上的函數(shù)，記為 。注：函數(shù)相等：定義域、對應(yīng)法則相等。2、 函數(shù)的幾種特性1）函數(shù)的有界性（上界、下界；有界、無界），有界的充要條件：既有上界又有下界。2）函數(shù)的單調(diào)性（單增、單減），在x1、x2點比較函數(shù)值與的大?。ㄗⅲ号c區(qū)間有關(guān)）。3）函數(shù)的奇偶性(定義域?qū)ΨQ、與關(guān)系決定)，圖形特點 (關(guān)于原點、Y軸對稱)。4)函數(shù)的周期性(定義域中成

4、立：)3、 函數(shù)與復合函數(shù)1）反函數(shù)：函數(shù)是單射，則有逆映射，稱此映射為函數(shù)的反函數(shù)。函數(shù)與反函數(shù)的圖像關(guān)于對稱。2）復合函數(shù)：函數(shù)定義域為D1，函數(shù)在D上有定義、且。則為復合函數(shù)。3）分段函數(shù)：分段函數(shù)的統(tǒng)一表達式。結(jié)論：對于分段函數(shù) f（x）=若初等數(shù)函f1（x）和f2（x）滿足f1（a）= f2（a），則 f（x）= f1（x+a-）+ f1（x+a+）- f1（a）4、初等函數(shù)1）冪函數(shù)： 2)指數(shù)函數(shù)： 3)對數(shù)函數(shù)： 4)三角函數(shù)：5)反三角函數(shù)：， 以上五種函數(shù)為基本初等函數(shù)。6）雙曲函數(shù)：，注：雙曲函數(shù)的單調(diào)性、奇偶性。雙曲函數(shù)公式：7）反雙曲函數(shù)：例1 已知分段函數(shù) 1）求其

5、定義域并作圖；2）求函數(shù)值例2 求由所給函數(shù)復合的函數(shù)，并求各復合函數(shù)的定義域：y=10u，u=1+x2, y=arctanu2, u=tanv, v=a2+x2.例3 求函數(shù)的反函數(shù)及反函數(shù)的定義域：y=x2,（0 x）， 作業(yè)：見課后各章節(jié)練習。第二講 第一章：函數(shù) 4學時教學目的與要求：掌握復合函數(shù)的分解方法；熟悉經(jīng)濟分析中的常用函數(shù)。教學內(nèi)容概述：本講主要講授復合函數(shù)的分解；經(jīng)濟分析中的常用函數(shù)。教學重點（難點）：理解復合函數(shù)的分解；掌握常用經(jīng)濟函數(shù)的具體形式。 教學過程：一、復合函數(shù)注：（1）不是任何兩個函數(shù)都可以復合成一個復合函數(shù)。例如： ；因前者定義域為-1，1，后者，故這兩個函

6、數(shù)不能復合成復合函數(shù)。（2）復合函數(shù)可以由兩個以上的函數(shù)經(jīng)過復合而成。例1 設(shè) 求解 =例2 將下列函數(shù)分解成基本初等函數(shù)的復合 （1） （2） 解 （1）所給函數(shù)是由 四個函數(shù)復合而成的 （2）所給函數(shù)是由 三個函數(shù)復合而成的。二、常用經(jīng)濟函數(shù)1、單利與復利單利計算公式 設(shè)初始本金為P（元），銀行年利率為r，則第一年末本利和為 ；第二年末本利和為；。第n年末本利和為。復利計算公式 設(shè)初始本金為P（元），銀行年利率為r，則第一年末本利和為 ；第二年末本利和為 ；。第n年末本利和為 2、多次付息單利付息情形因每次的利息不記入本金，故若一年分n次付息，每次利息為則第一次末本利和為 第二次末本利和為

7、 。第n次末即年末的本利和為 復利付息情形因每次支付的利息記入本金，設(shè)初始本金為P（元），銀行年利率為r，若一年分m次付息，第一次末本利和為 第二次末本利和為 。第m次末即一年末的本利和為 第m+1次末的本利和為 第二年末的本利和為 第n年末本利和為 例1：現(xiàn)有初始本金100元，若銀行年儲蓄利率為7%，問：（1）按單利計算，3年末的本利和為多少？（2）按復利計算，3年末的本利和為多少？（3）按復利計算，需多少年才能使本利和超過初始本金一倍？解 （1）已知p=100， r=0.07 由單利計算公式得（元）即三年末的本利和為121元。（2）由復利計算公式得 （元）即三年末的本利和為122.5元。

8、（3）若n年后的本利和超過初始本金一倍，即要 從而即需11年后本利和可超過初始本金的一倍。3、貼現(xiàn) 設(shè)第n年后價值為R元錢的現(xiàn)值，假設(shè)在這n年之間復利年利率r不變。利用復利計算公式有 得到第n年后價值為R元錢的現(xiàn)值為例2 某人手中有三張票據(jù)，其中一年后到期的票據(jù)金額是500元，二年后到期的票據(jù)金額是800元，五年后到期的票據(jù)金額是2000元，已知銀行的貼現(xiàn)率為6%，現(xiàn)在將三張票據(jù)向銀行做一次性轉(zhuǎn)讓，銀行的貼現(xiàn)金額是多少？解 由貼現(xiàn)計算公式，貼現(xiàn)金額為 其中 。故（元） 4、需求函數(shù) 需求函數(shù)表示的就是商品需求量和價格這兩個經(jīng)濟變量之間的數(shù)量關(guān)系 其中表示需求量，表示價格。需求函數(shù)的反函數(shù)稱為價

9、格函數(shù)，習慣上將價格函數(shù)也統(tǒng)稱為需求函數(shù)。需求函數(shù)是單調(diào)減少函數(shù) 需求函數(shù)的線性模型為5、供給函數(shù)供給函數(shù)表示的就是商品的供給量和價格這兩個經(jīng)濟變量之間的數(shù)量關(guān)系其中表示供給量，表示價格。供給函數(shù)以列表方式給出時稱為供給表，而供給函數(shù)的圖像稱為供給曲線。供給函數(shù)是單調(diào)增加函數(shù)。供給函數(shù)的線性模型為6、市場均衡對一種商品而言，如果需求量等于供給量，則這種商品就達到了市場均衡。以線性需求函數(shù)和線性供給函數(shù)為例，令 則 稱為該商品的市場均衡價格。為該商品的市場均衡點。例3 某種商品的供給函數(shù)和需求函數(shù)分別為 求該商品的市場均衡價格和市場均衡量。解、由均衡條件得 從而即市場均衡價格為7，市場均衡數(shù)量為

10、1657、成本函數(shù)產(chǎn)品成本可分為固定成本和可變成本，一般地，以貨幣計值的（總）成本C是產(chǎn)量x的函數(shù)，即 稱為單位成本函數(shù)或平均成本函數(shù)例4 某工廠生產(chǎn)某種產(chǎn)品，每日最多生產(chǎn)200單位，它的日固定成本為150元，生產(chǎn)一個單位產(chǎn)品的可變成本為16元。求該廠日總成本函數(shù)及平均成本函數(shù)。解 據(jù)，可得總成本平均成本8、收入函數(shù)與利潤函數(shù)銷售某產(chǎn)品的收入R,等于產(chǎn)品的單位價格P乘以銷售量x，即，稱其為收入函數(shù)。銷售利潤L等于收入R減去成本C，即，稱其為利潤函數(shù)。當時，生產(chǎn)者盈利；當時，生產(chǎn)者虧損；當時，生產(chǎn)者贏虧平衡，使的點稱為盈虧平衡點例5某電器廠生產(chǎn)一種新產(chǎn)品，在定價時不單是根據(jù)生產(chǎn)成本而定，還要請各

11、消費單位來定價，即他們愿意以什么加個人來購買，根據(jù)調(diào)查得出需求函數(shù)為 該廠生產(chǎn)該產(chǎn)品的固定成本是270000元，而單位產(chǎn)品的變動成本為10元，為獲得最大利潤，出場價格應(yīng)為多少？解 以x表示產(chǎn)量，C表示成本，p表示價格，則有而需求函數(shù)為 代入中得收入函數(shù)為：利潤函數(shù)為：當價格p=30元時，利潤90000元為最大利潤，銷售量為18000（單位）。作業(yè)：p17 1 2 6 第三講 極限的概念 2學時 教學目的與要求：理解數(shù)列極限；函數(shù)極限的概念，性質(zhì)。教學內(nèi)容概述：本講主要學習數(shù)列極限的概念；性質(zhì)，函數(shù)在無窮大處的極限；函數(shù)在有限點處的極限及函數(shù)極限的性質(zhì)。教學重點（難點）：極限的概念的理解及應(yīng)用；

12、函數(shù)左極限與右極限，極限性質(zhì)教學過程：第一節(jié)、數(shù)列極限的定義與性質(zhì)一、數(shù)列 數(shù)列就是由數(shù)組成的序列。 1）這個序列中的每個數(shù)都編了號。2）序列中有無限多個成員。一般寫成： 縮寫為例1 數(shù)列是這樣一個數(shù)列，其中 ，也可寫為： 可發(fā)現(xiàn)：這個數(shù)列有個趨勢，數(shù)值越來越小，無限接近0，記為。數(shù)列極限的定義，則稱數(shù)列的極限為，記成 也可等價表述：1） 2）。極限是數(shù)列中數(shù)的變化總趨勢，因此與數(shù)列中某個、前幾個的值沒有關(guān)系。二、收斂數(shù)列的性質(zhì)定理1 如果數(shù)列收斂，那么它的極限是唯一。定理2 如果數(shù)列收斂，那么數(shù)列一定有界。定理3 如果且a>0(a<0)那么存在正整數(shù)N>0，當n>N時

13、，。例2 證明數(shù)列的極限是1。例3 作出數(shù)列圖形，討論其極限值。作業(yè)：見課后各章節(jié)練習。第二節(jié)：函數(shù)的極限一、極限的定義1、在點的極限1）可在函數(shù)的定義域內(nèi)，也可不在，不涉及在有沒有定義，以及函數(shù)值的大小。只要滿足：存在某個使：。2）如果自變量趨于時，相應(yīng)的函數(shù)值 有一個總趨勢以某個實數(shù)為極限 ，則記為 ：。形式定義為： 2、的極限設(shè)，如果當時函數(shù)值 有一個總趨勢-該曲線有一條水平漸近線-則稱函數(shù)在無限遠點有極限。記為：。 3、 （1）在無窮遠處的左右極限： ， 關(guān)系為： （2）在有限點處的左右極限： ， 關(guān)系為 二、函數(shù)極限的性質(zhì)1、極限的唯一性2、函數(shù)極限的局部有界性3、函數(shù)極限的局部保號

14、性4、函數(shù)極限與數(shù)列極限的關(guān)系例1 討論函數(shù)在x的極限。例2 求下面函數(shù)極限： ， 。 作業(yè)：見課后各章節(jié)練習。第四講 極限的運算法則 無窮小與無窮大 2學時教學目的與要求：掌握無窮小與無窮大概念；掌握極限的運算法則并能熟練求極限。教學內(nèi)容概述：本節(jié)主要講授無窮小與無窮大的定義；性質(zhì)，無窮小與無窮大之間的關(guān)系；極限的四則運算規(guī)則，極限的求法，復合函數(shù)的極限。教學重點（難點）：理解無窮小與無窮大的關(guān)系。教學過程：一、無窮小定義定義 對一個數(shù)列，如果成立如下的命題： 則稱它為無窮小量，即注：1）的意義；2）可寫成； 3）上述命題可翻譯成：對于任意小的正數(shù)，存在一個號碼N，使在這個號碼以后的所有的號

15、碼，相應(yīng)的與極限0的距離比這個給定的還小。它是我們在直觀上對于一個數(shù)列趨于0的認識。定理1 在自變量的同一變化過程（或中，函數(shù)具有極限A的充分必要條件是，其中是無窮小。二、無窮大定義一個數(shù)列，如果成立：那么稱它為無窮大量。記成：。特別地，如果，則稱為正無窮大，記成。特別地，如果，則稱為負無窮大，記成。（也可類似地對函數(shù)定義無窮小，無窮大的定義）注：無法區(qū)分正負無窮大時就籠統(tǒng)地稱之為無窮大量。三、無窮小和無窮大的關(guān)系定理2 在自變量的同一變化過程中，如果為無窮大，則為無窮??；反之，如果為無窮小，且則為無窮大。即非零的無窮小量與無窮大量是倒數(shù)關(guān)系：當時：有 注意是在自變量的同一個變化過程中。四、無

16、窮小的性質(zhì)設(shè)和是無窮小量于是：1）兩個無窮小量的和差也是無窮小量：2）對于任意常數(shù)C，數(shù)列也是無窮小量： 3）也是無窮小量，兩個無窮小量的積是一個無窮小量。 4）也是無窮小量： 5）無窮小與有界函數(shù)的積為無窮小。五、函數(shù)極限的四則運算1）若函數(shù)和在點有極限，則2）函數(shù)在點有極限，則對任何常數(shù)成立 3）若函數(shù)和在點有極限，則 4）函數(shù)和在點有極限，并且，則 極限的四則運算成立的條件是若函數(shù) 和 在點 有極限。定理3 設(shè)函數(shù)是由函數(shù)與復合而成，在點的某去心鄰域內(nèi)有定義，若，且存在，當 時，有，則例1 下面函數(shù)在x趨向什么時是無窮小，又當x趨向什么時是無窮大： 。例2 求下面函數(shù)極限： 作業(yè)：見課后

17、各章節(jié)練習。第五講 極限存在準則與兩個重要極限 無窮小的比較 2學時教學目的與要求：掌握極限存在準則，透徹理解兩個重要極限；理解無窮小的比較概念。教學內(nèi)容概述：本節(jié)借助例子給出極限存在的兩個準則，利用極限存在準則證明sinx/x =1 ，解釋（1+1/n）n = e 并講明其特征，注意其“型”。借助例題說明無窮小之間的幾種關(guān)系；學習利用無窮小的等價求極限。教學重點（難點）：極限存在準則，兩個重要極限的應(yīng)用；熟練應(yīng)用等價無窮小求極限教學過程：定理1（夾逼定理） 三數(shù)列、和，如果從某個號碼起成立：1），并且已知和收斂， 2），則有結(jié)論：定理2 單調(diào)有界數(shù)列一定收斂。單調(diào)增加有上界的數(shù)列一定收斂；單

18、調(diào)減少有下界的數(shù)列一定收斂。 極限sinx/x =1 O H YT該極限的證明，關(guān)鍵是證不等式:sinx<x<tanx (0<x</2).如圖.設(shè)單位圓O的漸開線為.B若記TOAx，并過作軸于，C切且交 A C X及軸分別于、，則Sinx =TH<AT<=（x）=TB<TC=tanx我們說這個證明不僅是一個創(chuàng)造性的，更主要它避免了傳統(tǒng)證法中的“循環(huán)論證”.因扇形面積ATx的求得，一般是n等分T成n個等腰AiOAi-1(i=1.2,n,A=A0,T=An)，則AiOAi-1=Sin（x/n）=n Sin（x/n）此時，扇形面積AT=AiOAi-1=Sin

19、（x/n）=x Sin（x/n）/（x/n）顯然當Sin（x/n）/（x/n）=1時，扇形面積ATx，但令t= x / n，則該極限為要證明的重要極限，即出現(xiàn)循環(huán)論證。 極限（1+1/n）n = e設(shè)An=（1+1/n）n，利用算術(shù)和幾何不等式關(guān)系，得： An=（1+1/n）（1+1/n）（1+1/n）1（n（1+1/n）+1）/（n+1） n+1即數(shù)列An單增。另外，設(shè)nn/（n+1） ，利用算術(shù)和幾何不等式關(guān)系，得：n1- 1/（n+1）>1- 1/n=（2(1/2)+（n-2）/n （1/2）21n-2=（1/4）1/n則 4 （n+1）/ n= （1+1/n）n即數(shù)列An有上界。

20、于是，極限存在，并記為數(shù)e。例1 求下面函數(shù)極限：， ，例2 證明有界，并求 的極限。作業(yè)：見課后各章節(jié)練習。第六節(jié)：無窮小的比較定義 若為無窮小，且 則與的關(guān)系，依次是高階、低階、同階、k階、等價（） 1）若為等價無窮小，則。 2）若、且存在，則： 例1 證明下面各無窮小量之間的關(guān)系： 與x（x +） tanx-sinx與sinx（x ）。例2 求下面函數(shù)極限： ， ， 。作業(yè)：見課后各章節(jié)練習。第六講 第七節(jié)：函數(shù)的連續(xù)性 2學時教學目的與要求：利用定義判斷函數(shù)的連續(xù)或間斷點。理解連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)和初等函數(shù)的連續(xù)性，并會利用函數(shù)的連續(xù)性求函數(shù)極限。了解閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)（有界性、最大值和

21、最小值定理、介值定理），并會應(yīng)用這些性質(zhì)。教學內(nèi)容概述：講解函數(shù)在一點的連續(xù)性，間斷點的幾種類型；連續(xù)函數(shù)的四則運算反函數(shù)連續(xù)定理，復合函數(shù)的連續(xù)性定理；閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)（最大、最小值；有界性；零點、介值定理教學重點（難點）：函數(shù)連續(xù)性判定；利用閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)解決問題一、函數(shù)在一點的連續(xù)性函數(shù)在點連續(xù)，當且僅當該點的函數(shù)值、左極限與右極限三者相等： 或者：當且僅當函數(shù)在點有極限且此極限等于該點的函數(shù)值 。 其形式定義如下：函數(shù)在區(qū)間（a,b）連續(xù)指：區(qū)間中每一點都連續(xù)，函數(shù)在區(qū)間a,b連續(xù)時包括端點。注：1）左右連續(xù)，在區(qū)間上連續(xù)(注意端點)； 2）連續(xù)函數(shù)的圖像是一條連續(xù)且不間

22、斷的曲線。 二、間斷點 若：中有某一個等式不成立，就間斷，分為：1、第一類間斷點 即函數(shù)在點的左右極限皆存在但不相等，曲線段上出現(xiàn)一個跳躍。2、第二類間斷點左極限與右極限兩者之中至少有一個不存在。例1 討論函數(shù)在x=0處的連續(xù)性：例2 求下面函數(shù)的間斷點，判斷其類型： 。作業(yè)：見課后各章節(jié)練習。第八節(jié)：連續(xù)函數(shù)的運算與初等函數(shù)的連續(xù)性一、連續(xù)函數(shù)的四則運算1） 且，2） 且，3） 且，二、反函數(shù)連續(xù)定理如果函數(shù)是嚴格單調(diào)增加（減少）且連續(xù)的，則存在它的反函數(shù)：也是嚴格單調(diào)增加（減少）并且連續(xù)。注：1）反函數(shù)的定義域就是原來的值域。2）通常慣用X表示自變量，Y表示因變量。反函數(shù)也可表成三、復合函

23、數(shù)的連續(xù)性定理： 設(shè)函數(shù)和滿足復合條件，若函數(shù)在點x0連續(xù)；，又若函數(shù)在點連續(xù)，則復合函數(shù)在點連續(xù)。 注：復合函數(shù)的連續(xù)性可以保證極限號與函數(shù)符號的交換：從這些基本初等函數(shù)出,通過若干次四則運算以及復合，得到的種種函數(shù)統(tǒng)稱為初等函數(shù)，并且初等函數(shù)在其定義區(qū)間內(nèi)連續(xù)。例1 求下面函數(shù)的連續(xù)區(qū)間： ， 。例2 求下面函數(shù)極限： ， 。作業(yè)：見課后各章節(jié)練習。第九節(jié)：閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì) 一、最大、最小值設(shè)函數(shù)：在上有界，現(xiàn)在問在值域中是否有一個最大的實數(shù)？如果存在，譬如說它是某個點的函數(shù)值 ，則記叫做函數(shù)在D上的最大值。 類似地，如果 中有一個最小實數(shù)，譬如說它是某個點的函數(shù)值，則記稱為函數(shù)在上

24、的最小值 。二、有界性有界性定理 如果函數(shù)在閉區(qū)間上連續(xù)，則它在上有界。三、零點、介值定理最大值和最小值定理 如果函數(shù) 在閉區(qū)間上連續(xù)則它在上有最大值和最小值，也就是說存在兩個點和，使得 。亦即 若x0使，則稱x0為函數(shù)的零點。 四、零點定理零點定理 如果函數(shù)在閉區(qū)間上連續(xù)，且在區(qū)間的兩個端點異號：則至少有一個零點，使。五、中值定理中值定理 如果函數(shù)在閉區(qū)間上連續(xù)，則在上能取到它的最大值和最小值之間的任何一個中間值。例1 證明方程x=asinx+b（a、b0）至少有一個正根，并且它不超過a=b。例2（2005年全國高考題） 已知函數(shù)。1）求的單調(diào)區(qū)間和值域； 2）設(shè)a1，函數(shù)，若對于任意使得成

25、立，求a的取值范圍。 作業(yè)：見課后各章節(jié)練習。（章節(jié)練習利用每次課課前解答）第七講 第二章導數(shù)與微分 第一節(jié) 導數(shù)的概念4學時一、教學目的： 1.理解導數(shù)的定義；2.了解導數(shù)的定義的幾種形式；3.掌握可導的充要條件；4.理解函數(shù)可導與連續(xù)的關(guān)系；5.知道導數(shù)的物理背景和幾何意義。二、.教學重點： 1.導數(shù)的定義及幾種形式；2.導數(shù)的幾何意義.三、教學注意點1 要充分認識函數(shù)在一點處的導數(shù)是函數(shù)關(guān)于其自變量在該點的變化率：切線的斜率；速度與加速度；角速度與角加速度；電流，等等。2 要充分理解函數(shù)可導則必然連續(xù)，而連續(xù)卻未必可導。3 注意要用函數(shù)可導的充要條件：存在來判斷分段函數(shù)在分段點處是否可導

26、。四、教學過程一.導數(shù)概念的引例（以物理學中的速度問題為例，引入導數(shù)的定義）1.變速度直線運動的瞬時速度由物理學知道，物體作勻速直線運動時，它在任何時刻的速度可以用來計算。當物體作變速直線運動時，上述公式只能計算某段路程的平均速度，要精確地了解物體的運動，不僅要知道它的平均速度，還要知道它在每個時刻的瞬時速度。設(shè)一物體作變速直線運動，物體經(jīng)過的路程是時間的函數(shù)，即；當時間由變化到時，在這時間段內(nèi)，物體走過的路程為 于是物體在這一段時間內(nèi)的平均速度為 = SS0f(t0+t)f(t0)顯然，這個平均速度是隨著的變化而變化的。一般地，當很小時，可看作是物體在時刻速度的近似值，且越小，近似程度越好，

27、因為取得越小，那么在這段時間內(nèi)物體運動的速度越是來不及有很大的變化，因而就越能接近物體在0時刻的瞬時速度。當時，平均速度的極限就是物體在時刻的瞬時速度，即 。這就是說，物體運動的瞬時速度就是位移的增量和時間增量的比值在時間增量趨于零時的極限。例如:自由落體運動的瞬時速度已知作自由落體運動的物體的位移與其時間的函數(shù)關(guān)系是，求該物體在時刻的瞬時速度1). （以均勻代替非均勻）首先從物體的內(nèi)的平均速度入手； 令物體移動時間從變化到； 在這個時間段物體的位移為； 物體在這個時間段內(nèi)的平均速度為.2). （以極限為手段）然后得到瞬時速度. 易見愈小，時間內(nèi)的平均速度的值就愈接近時刻的速度； 因此，當時，

28、的極限自然定義為物體在時刻的瞬時速度，即定義 .由此可見，物體在時刻的瞬時速度是函數(shù)的增量與自變量增量比值當?shù)臉O限. 推廣到一般，可以歸結(jié)為一個函數(shù)的增量與自變量的增量之比，當趨于零時的極限這種類型的極限我們稱其為導數(shù)2平面曲線的切線斜率在中學的平面幾何中，圓的切線被定義為“與圓只有一個交點的直線”.對一般曲線來說，用“與曲線只有一個交點的直線”作為切線的定義就不一定合適.例如，對于拋物線，在原點O處兩個坐標軸都符合上述定義，但實際上只有軸是該拋物線在點O處的切線.而如圖4.1.2中所示的直線由于它跟曲線相交于兩點，所以就不是曲線的切線了，這顯然是不合適的.因此，需要給曲線在一點處的切線下一個

29、普遍適用的定義。如圖，在曲線上取得與鄰近的另一點，作曲線的割線，當點沿著曲線向點移動時，割線繞點移動，當點逐漸接近于點時（），割線的極限位置就叫做曲線在點處的切線。設(shè)割線的傾斜角為，于是割線的斜率是 設(shè)切線的傾角為，點沿著曲線無限趨近于點，即，得到切線的斜率為： 這就是說，曲線在點處的縱坐標的增量與橫坐標的增量的比值，當時的極限為曲線在點處的切線的斜率。上述兩個問題，一個是物理問題，另一個是幾何問題.它們的實際意義不同，但如果撇開兩個極限的實際意義，那么不外乎是把所求的量歸結(jié)為：求當自變量的改變量趨向于零時，函數(shù)的改變量與自變量的改變量之比的極限。二、導數(shù)的定義與幾何意義1. 函數(shù)在一點處導數(shù)

30、定義 設(shè)函數(shù)在的某一鄰域內(nèi)有定義，當自變量在處取得增量(，點仍在該鄰域內(nèi))時；相應(yīng)地函數(shù)取得增量；如果與之比當時的極限存在，則稱函數(shù)在點處可導，并稱這個極限為函數(shù)在點處的導數(shù)，記為，即 . 也可記為 , 或 如果極限不存在，則稱函數(shù)在點處不可導。2. 函數(shù)在任一點處導數(shù)導函數(shù)將處導數(shù)定義中的換成，如果與之比當時的極限存在，則稱函數(shù)在點處可導，并稱這個極限為函數(shù)在點處的導數(shù)，記為，即 .顯然，當 在某區(qū)間內(nèi)變化時，是的函數(shù). 因此稱之為導函數(shù)，也簡稱為導數(shù). 導函數(shù)的記號還有, 或 注意：函數(shù)在點的導數(shù)是導函數(shù)在點處的函數(shù)值即 .例1 求函數(shù)（為常數(shù)）的導數(shù)。解：在中，不論取何值，起其函數(shù)值總為

31、，所以，對應(yīng)于自變量的增量，有 ，即。注：這里是指在任一點的導數(shù)均為0，即導函數(shù)為0。例2求（為正整數(shù)）在點的導數(shù)。解：即，亦即，若將視為任一點，并用代換，即得注：更一般地，（為常數(shù)）的導數(shù)為，由此可見， , 。例3求在點的導數(shù)。解： ,即 同理：若視為任意值，并用代換，使得，即。注：同理可證：。例4求的導數(shù)。解：所以。注：特別地，。例5求的導數(shù)。解：。注 1：等最后講到反函數(shù)求導時，可將作為的反函數(shù)來求導； 2：一般地說，求導有四步：一、給出；二、算出；三、求增量比；四、求極限。3導數(shù)的幾何意義切線斜率：函數(shù)在點處的導數(shù)在幾何上表示：曲線在點處的切線斜率.法線的定義：過切點且垂直于切線的直線

32、叫做曲線在點處的法線。 切線方程： 如果存在，則曲線在處的切線方程為法線方程： 如果存在，則曲線在處的法線方程為，（）當時，切線方程為平行于軸的直線，法線方程為垂直于軸的直線。當時，切線方程為垂直于軸的直線，法線方程為平行于軸的直線。例6 求拋物線在點（1,1）處的切線方程和法線方程.解 由例1知道，又由導數(shù)的幾何意義知道，所以，所求的切線方程為 ，即.法線方程為 ，即 4.可導的充要條件根據(jù)極限存在的充要條件，函數(shù)在點可導，當且僅當與同時存在且相等這兩個極限值分別稱為在點的右導數(shù)和左導數(shù)（統(tǒng)稱為單側(cè)導數(shù)）分別記為，2. 可導的充要條件函數(shù)在點處可導的充分必要條件是函數(shù)在點的左右導數(shù)存在且相等

33、，即=例題2 （1）設(shè) 討論函數(shù)在處的可導性（2） 設(shè) ，求三、函數(shù)可導性與連續(xù)性的關(guān)系 1.可導必連續(xù)設(shè)函數(shù)在點可導，即存在，由極限與無窮小量的關(guān)系知，其中是時的無窮小量上式兩端同乘以，得 由此可見，當時， 即函數(shù)在點連續(xù) 2. 連續(xù)未必可導例如，函數(shù)在點處連續(xù)（圖1），但由例題2（1）知，在點處不可導 同樣，函數(shù)在點處連續(xù)（圖2），但由例題2（2），中，在點處不可導. 由上面的討論可知，函數(shù)連續(xù)是函數(shù)可導的必要條件，但不是充分條件，所以如果函數(shù)在某點不連續(xù)，則函數(shù)在該點必不可導 圖1 圖2第八講 第二節(jié) 函數(shù)的和差積商的求導法則 2學時一、教學目的 熟練掌握函數(shù)的和、差、積、商的求導法則二

34、、.教學重點 積、商的求導法則和應(yīng)用三、教學注意點掌握函數(shù)的線性組合、積與商的求導法則 ；四、教學過程一.函數(shù)和的求導法則定理 1：若函數(shù)和在點都可導，則在點也可導，且 。證明： = 所以。注 1：本定理可推廣到有限個可導函數(shù)上去。 2：本定理的結(jié)論也常簡記為。二.函數(shù)積的求導法則定理2：若和在點可導，則在點可導，且有。證明： = = = =即 。例1 求下列函數(shù)的導數(shù)或?qū)?shù)值解：(1)解： (2)解： (3)注 1：若取為常數(shù)，則有：； 2：本定理可推廣到有限個可導函數(shù)的乘積上去，例如： 等。三.函數(shù)商的求導法則定理3 若都在點可導，且，則在點也可導，且。證明： = = =即注1：本定理也可

35、通過，及的求導公式來得；2：本公式簡化為；3：以上定理13中的，若視為任意，并用代替，使得函數(shù)的和、差、積、商的求導函數(shù)公式。例2 求函數(shù)的導數(shù).解 根據(jù)求導法則可得：即 用類似的方法可得 .例3 求函數(shù)的導數(shù).解 根據(jù)求導法則可得：即 .用類似的方法可得 .例4 設(shè)，求和. “先求導，再代入”解 因為所以練習: 利用導數(shù)的四則運算法則求導數(shù)1 ； 2 ；3 ；4 ；5 ；6；7；8；9；第九講 反函數(shù)的導數(shù)與復合函數(shù)的導數(shù)；高階導數(shù) 4學時一、教學目的1.掌握反函數(shù)的求導法則；2.掌握復合函數(shù)的求導法則 3能夠計算一些特殊函數(shù)的高階導數(shù)公式；二、.教學重點 求解反函數(shù)的導數(shù)與復合函數(shù)的導數(shù)的

36、法則和應(yīng)用 三、教學注意點在求導法則中，復合函數(shù)在鏈式求導法則是中心，應(yīng)用時一要弄清函數(shù)的復合關(guān)系，做到不遺漏，不重復；二是在每步求導時要弄清關(guān)于哪一個變量求導（即使這個變量不明顯出現(xiàn)），熟練掌握的關(guān)鍵是多做練習。四、教學過程一. 反函數(shù)的導數(shù)定理1 (反函數(shù)求導法則)設(shè)為的反函數(shù)，若在的某鄰域內(nèi)連續(xù)，嚴格單調(diào)，且，則在（即點有導數(shù)），且。證明： 所以 。 注1：，因為在點附近連續(xù)，嚴格單調(diào)； 2：若視為任意，并用代替，使得或，其中均為整體記號，各代表不同的意義； 3：和的“”均表示求導，但意義不同； 4：定理1即說：反函數(shù)的導數(shù)等于直接函數(shù)導數(shù)的倒數(shù)； 5：注意區(qū)別反函數(shù)的導數(shù)與商的導數(shù)公式

37、。例1求的導數(shù)，解：由于，是的反函數(shù)，由定理1得：。注1：同理可證：； 2：。例2 求的導數(shù).解: 例3 ，求. 解：，反過來，如果已知，也可求 .例4 ，求.解：，.二. 復合函數(shù)的求導公式復合函數(shù)的求導問題是最最常見的問題，對一復合函數(shù)往往有這二個問題：1.是否可導？2.即使可導，導數(shù)如何求？復合函數(shù)的求導公式解決的就是這個問題。定理2 （復合函數(shù)求導法則）如果在點可導，且在 點也可導，那么，以為外函數(shù)，以為內(nèi)函數(shù)，所復合的復合函數(shù)在點可導，且，或證明： = 所以。注 1：若視為任意，并用代替，便得導函數(shù)： ，或 或。 2：與不同，前者是對變量求導，后者是對變量求導，注意區(qū)別。 3：注意區(qū)

38、別復合函數(shù)的求導與函數(shù)乘積的求導。 4：復合函數(shù)求導可推廣到有限個函數(shù)復合的復合函數(shù)上去，如： 等。例6 求的導數(shù)。解：可看成與復合而成， 。例7 求（為常數(shù)）的導數(shù)。解：是，復合而成的。所以。這就驗證了前面§2、1的例4。由此可見，初等函數(shù)的求導數(shù)必須熟悉(i)基本初等函數(shù)的求導；(ii)復合函數(shù)的分解；(iii)復合函數(shù)的求導公式；只有這樣才能做到準確。在解題時，若對復合函數(shù)的分解非常熟悉，可不必寫出中間變量，而直接寫出結(jié)果。例8 ，求。解：。例9 ，求。解： 。例10 ，求。解： = =。例11 ，求。解： 。 第十講 第六節(jié) 微分及其應(yīng)用 2學時一、教學目的：1. 理解微分的

39、概念，了解微分的幾何意義以及微分與可導之間的關(guān)系；2. 熟悉微分的運算法則；3. 會用微分進行近似計算.二、.教學重點： 微分的概念，微分與可導之間的關(guān)系.三、內(nèi)容要點1函數(shù)在一點處可微及其微分的定義：若自變量x在x0處取得增量后，函數(shù)增量可表示為： （其中A與有關(guān)而與無關(guān)），則稱在點處可微，稱為在點處的微分，記作。2在處可微在處可導，且或3微分的運算法則： 微分形式的不變性：若，則4微分的意義：表示曲線在點的近旁可用該點處的切線近似代替，即“以直代曲?！?微分的應(yīng)用：用微分進行近似計算和估計誤差。四、教學注意1要抓住函數(shù)可微的定義若在處給出增量后，函數(shù)增量可表示為（A與x0有關(guān)而與無關(guān)），也

40、就是說，函數(shù)的增量與自變量增量的線性函數(shù)相差的只是的高階無窮?。痪€性函數(shù)就叫函數(shù)（在處）的微分，把握了這點，微分的意義和應(yīng)用就容易理解了。2要熟練掌握微分的運算法則（包括微分形式的不變性），因為微分的運算法則在以后的章節(jié)如“不定積分”、“定積分”及“微分方程”中都將用到。五、教學過程一、微分的定義和幾何意義1.實例：一個正方形的邊長由變到，面積改變了多少？用表示正方形的邊長，A表示面積A=，當=，=.所以 =，可見，當很小的時候，.2.定義： 若在處的增量可表示為，其中A為不依賴于的數(shù)，則稱在處可微，稱為的微分.記為，即，又，則 .3.可微與可導的關(guān)系： 可微可導證 必要性：若在處可微； 則

41、.充分性：若在處可導 在處可微由此可見，若在處微分. 注：是的高階無窮小 例1 求在，的改變量與微分. 解：記，=， ，又 所以. 下面討論微分的幾何意義. 所以幾何上表示曲線在點處切線的增量如圖，當自變量由x增加x+到時，函數(shù)y=f(x) 相應(yīng)的增量，又在M（）點，函數(shù)的切線的斜率為，從而得：PQ=,MQ=是曲線y=f(x)上的點的縱坐標的增量。是曲線在M點的切線上的點的縱坐標的增量，當時，故常用d來代替，用于近似的計算:注1：，當時，若，則相對誤差，可見，當越小，則用代替的效果越好！ 注：并非任一函數(shù)在處都可微。二、微分運算的法則1.運算法則；. 2. 復合函數(shù)的微分法則設(shè)，不論是自變量還

42、是中間變量都有.此稱作一階微分形式不變性證 若是自變量，則； 若是中間變量，則.例2 ，求.解法一： 則解法二： .例3 已知，求.解：= 所以三、微分在近似計算中的應(yīng)用實際中經(jīng)常會遇到一些函數(shù)表達式較復雜的運算，但是結(jié)果又并非要求十分精確,在這種情況下，可考慮使用微分來做近似的計算.當，比較小，容易求時，有近似公式或 .上式中令，則特別地，當很小時，有例4：求的近似值解：設(shè)函數(shù)，取，所以=.利用，很小，可證得以下的幾個公式：（1）；（2），；（3）.例5 有一批半徑為1cm的球，為了提高球面光滑度要鍍上一層銅.厚度為0.01cm估計一下每只球需要多少銅.（比重8.9克/cm）解：球體積為，問

43、題變?yōu)楫斪兊綍r求.因為，所以，將數(shù)據(jù)代入可以算出.所以每只球需要銅克.第十 一講 第三章導數(shù)應(yīng)用 第一節(jié) 中值定理 2學時 一、教學目的1.理解費爾馬引理和拉格朗日中值定理并了解柯西中值定理。2.會用中值定理證明簡單的不等式和證明方程解的存在性。二、.教學重點 羅爾定理和拉格朗日中值的條件幾何意義和運用.三、教學注意點1. 要注意羅爾、拉格朗日、柯西中值定理的條件與結(jié)論中的共同點與不同點，并且知道它們之間的關(guān)系：羅爾定理是拉格朗日定理的特例；拉格朗日定理又是柯西定理的特例。2. 要注意羅爾、拉格朗日、柯西中值定理的中值點是開區(qū)間（a,b）內(nèi)的某一點，而非區(qū)間內(nèi)的任意點或指定一點。換言之，這三個

44、中值定理都僅“定性“地指出了中值點的存在性，而非”定量“地指明的具體數(shù)值。3. 要結(jié)合這三個中值定理在本節(jié)中的應(yīng)用以及在以后章節(jié)中的應(yīng)用，反復體會這些定理在微積分學中意義與作用。四、教學內(nèi)容概述：本講主要講述羅爾定理；拉格朗日中值定理；柯西中值定理。五、教學過程一.羅爾(Rolle)定理如滿足：(i） 在閉區(qū)間a，b上連續(xù)；           （ii）在開區(qū)間（a，b）內(nèi)可導；（iii） ，則在（a,b）內(nèi)至少存在一點，使得（分析）由條件（i）知在a，b上有最大值和最小值，再由條件（ii）及（

45、iii），應(yīng)用費馬定理便可得到結(jié)論。證明：由（i）知f(x)在a,b上連續(xù)，故f(x)在上必能得最大值M和最小值m，此時，又有二種情況：（1） M=m，即f(x)在a,b上得最大值和最小值相等，從而知，此時f(x)為常數(shù)：f(x)M=m，0，因此，可知為（a,b）內(nèi)任一點，都有f()0。（2） M>m,此時M和m之中，必有一個不等于f(a)或f(b)，不妨設(shè)Mf(a)（對mf(a)同理證明），這時必然在（a,b）內(nèi)存在一點，使得f()=M,即f(x)在點得最大值。下面來證明：f()=0首先由（ii）知f()是存在的，由定義知：f()= .(*)因為為最大值，對有 f(x) Mf(x)M0

46、,當x>時，有0當x<時，有0。又因為（）的極限存在，知（）極限的左、右極限都存在，且都等于，即，然而，又有 和 。注 1：習慣上把結(jié)論中的稱為中值，羅爾定理的三個條件是充分而非必要的，但缺少其中任何一個條件，定理的結(jié)論將不一定成立，見下圖：例                            

47、0;                易見，F(xiàn)在x=-1不連續(xù)，在x=±1不可導，F(xiàn)(-2)F（2）,  即羅爾定理的三個條件均不成立，但是在（-2，2）內(nèi)存在點,滿足 注2：羅爾定理結(jié)論中的值不一定唯一，可能有一個、幾個甚至無限多個，例如：顯然在-1，1上滿足羅爾定理的條件，   在（-1，1）內(nèi)存在無限多個 = 使得 。注3：定理的幾何意義：設(shè)有一段弧的兩端點的高度相等，且弧

48、長除兩端點外，處處都有不垂直于軸的一切線，到弧上至少有一點處的切線平行于軸。 二.拉格朗日（Lagrange）中值定理拉格朗日中值定理 若函數(shù) f 滿足如下條件：（i）f 在閉區(qū)間a,b上連續(xù)；（ii）f 在開區(qū)間(a,b)內(nèi)可導；則在（a，b）內(nèi)至少存在一點，使得  （分析）羅爾定理是拉格朗日中值定理：（a）=(b)時的特殊情況，應(yīng)用羅爾定理證明此定理要構(gòu)造輔助函數(shù)使得滿足羅爾定理的條件 證明：作輔助函數(shù)     顯然，由（i）-(iii) 知 F（a）=F(b)（=0），且F在a，b上滿足羅爾定理的另兩個條件，故存在點(

49、a，b)，使得即    注1:羅爾定理是拉格朗日中值定理（a）=(b)時的特例注2:幾何意義：在滿足拉格朗日中值定理條件的曲線上至少存在一點，該曲線在該點處的切線平行于曲線兩端點的聯(lián)機AB，我們在證明中引入的輔助函數(shù)，正是曲線 與直線AB        之差，事實上，這個輔助函數(shù)的引入相當于坐標系統(tǒng)原點在平面內(nèi)的旋轉(zhuǎn)，使在新坐標系下，線段AB平行于新軸（F（a）=F（b）。注3:此定理的證明提供了一個用構(gòu)造函數(shù)法證明數(shù)學命題的精彩典范；同時通過巧妙地數(shù)學變換，將一般化為特殊，將復雜問題化為簡單問題的論證思想，也是數(shù)學分析的重要而常用的數(shù)學思維的體現(xiàn)。注4:拉格朗日中值定理的結(jié)論常稱為拉格朗日公式，它有幾種常用的等價形式，可根據(jù)不同問題的特點，在不同場合靈活采用：注5°拉格朗日中值定理的兩個條件彼此有關(guān)，并不彼此獨立，因為：在（a,b）可導可以推出在（a，b）連續(xù)，但反之不成立。把這兩個條件的“重迭”部分去掉，改成“函