1、精品文檔線線角、線面角、二面角的求法1.空間向量的直 角坐標運算律：兩個非零向量 a 與 b 垂直的充要條件是aba1b1a2b2a3b30兩個非零向量 a 與 b 平行的充要條件是a b =| a | b |2. 向量的數(shù)量積公式若 a 與 b 的夾角為 (0 ), 且 a( a1 ,a2 , a3 ) ， b(b1 ,b2 , b3 ) , 則（ 1）點乘公式：a b =| a | b | cos （ 2）模長公式：則 | a |a aa12a2 2a3 2 ， | b |b bb12b2 2b32a ba1b1a2b2a3b3（ 3）夾角公式： cos a ba12a2 2a32b12

2、b22b32| a | | b |（ 4）兩點間的距離公式：若A( x1, y1 , z1 ) ， B( x2 , y2 , z2 ) ，則| AB| AB2x ) 2( yy )2( zz )2， d( xx ) 2( yy ) 2( zz )2( xA, B212121212121兩條異面直線 a 、 b 間夾角0,2在直線 a 上取兩點 A、B，在直線 b 上取兩點 C、D，若直線 a 與 b 的夾角為，則 cos | cos AB,CD | AB CD 。AB CD精品文檔精品文檔例 1(福建卷 )如圖，長方體ABCD A1B1C1D 1 中， AA1 =AB =2， AD =1，點

3、E、 F 、G 分別是DD 1、AB 、CC1 的中點，則異面直線A1E 與 GF 所成的角是（）A arccos 15B 54C arccos10D 52D1C1A1B1EGDCAFB（向量法，傳統(tǒng)法）例2 (2005 年全國高考天津卷)如圖， PA平面 ABC ， ACB90 且PAAC BC a ，則異面直線PB 與 AC 所成角的正切值等于 _ P解：（ 1）向量法ACB（ 2）割補法：將此多面體補成正方體DBCA D BC P ， PB 與 AC 所成的角的大小即此正方體主對角線 PB與棱 BD所成角的大小，在Rt PDB 中 ， 即t a n DBAPD2 PC12故填DBD1B1

4、點評 ：本題是將三棱柱補成正方體DBCADBCPACDB直線 a 與平面所成的角0,( 重點講述平行與垂直的證明)2可轉(zhuǎn)化成用向量a 與平面的法向量 n 的夾角表示，由向量平移得：若精品文檔nanana精品文檔2時（圖 12 ）；若時（圖 13） .222平面的法向量 n 是向量的一個重要內(nèi)容， 是求直線與平面所成角、 求點到平面距離的必備工具 . 求平面法向量的一般步驟：(1) 找出 ( 求出 ) 平面內(nèi)的兩個不共線的向量的坐標a(a1 ,b1, c1 ), b( a2 , b2 ,c2 )(2) 設(shè)出平面的一個法向量為n(x, y, z)(3) 根據(jù)法向量的定義建立關(guān)于x,y,z 的方程組

5、 (0a2)(4) 解方程組，取其中的一組解，即得法向量。1. (,).在棱長為 a 的正方體ABCDABCD 中，E, F分別是BC, AD 的中線線角 線面角點.zAFD （1）求直線AC 與 DE 所成角；BC（2）求直線 AD 與平面 B EDF 所成的角 .yAGDxBEC精品文檔精品文檔2.如圖，底面ABCD為直角梯形，ABC 90 ， PB面ABCD ，BA BC BP 2CD 2 ， E 為 PD 的中點，求zP1） 異面直線 BD 與 PA 所成角的余弦值；2） 直線 CP 與面 ADP 所成角的正弦值；ByACDx精品文檔精品文檔求二面角的大小1. 范圍： 0,2. 二面角

6、的向量求法：方法一：如圖，若AB、 CD分別是二面角- l - 的兩個面內(nèi)與棱l 垂直的異面直線, 則二面角的大小就是向量AB與CD的夾角 .l方法二 : 設(shè) u ,v 是二面角 - l- 的兩個面 , 的法向量 , 則向量 u 與 v 的夾角 ( 或其補角就是二面角的平面角的大小. 如圖 , 設(shè)二面角的平面角的大小為, 法向量的夾角為.uvuvcosu vcoscos()u vcoscos|u | v | u |v |注意 : 在用向量求二面角的大小時，我們是先求出兩半平面的法向量所在直線的夾角，精品文檔精品文檔但二面角可能是鈍角或銳角，因此在求出角后，應(yīng) 判斷二面角的大小，再確定二面角就是

7、兩半平面的法向量所在直線的夾角或是其補角。例：如圖， PA平面 ABC ， ACBC, PAAC1, BC2 ，求二面角APBC 的大小。PzExDACBy1.2014 新課標全國卷 如圖，四棱錐 P -ABCD 中，底面 ABCD 為矩形， PA 平面 ABCD，E 為 PD 的中點(1)證明： PB平面 AEC；3(2)設(shè) AP1，AD 3，三棱錐 P - ABD 的體積 V 4 ，求 A 到平面 PBC 的距離精品文檔精品文檔2、 (2011 年高考陜西卷理科16) （本小題滿分12 分）如圖：在00AD是 BC上的高 ，沿 AD 把ABD 折起，使ABC中 , ABC=60,BAC=9

8、0,0BDC=90.證明：（）平面 ADB平面 BDC ；（）設(shè) E為BC的中點 , 求 AE與 DB夾角的余弦值 。3、 (2011 年高考北京卷理科16) （本小題共14 分）精品文檔精品文檔如圖，在四棱錐 PABCD中， PA平面 ABCD，底面 ABCD 是菱形，AB2,BAD60 .( )求證： BD平面 PAC; （）若 PAAB, 求 PB 與 AC 所成角的余弦值；4、 (2011 年高考全國新課標卷理科18) ( 本小題滿分12 分 )如圖，四棱錐P ABCD中，底面ABCD為平行四邊形，DAB=60 ,AB=2AD,PD底面 ABCD.( ) 證明： PA BD；( ) 若

9、 PD=AD，求二面角A-PB-C 的余弦值。zpaDCaBA2axy精品文檔精品文檔直線與平面平行或者垂直（重點掌握）1.如圖，已知正方體ABCD-AB C DM,N 分別是 A B，BB的中點 .求證 :1111，1 11D1(1)MN/ 平面 ACD1 ;(2)DB1平面 ACD.1CAMBDNCAB精品文檔精品文檔2、如圖，四棱錐P ABCD 中， PA平面 ABCD ，底面 ABCD 是直角梯形， AB AD ，CD AD ， CD=2AB ， E 為 PC 中點(I)求證： CD平面 PAD；P(II)求證： BE/ 平面 PADEDCAB3.正方體 ABCD A1B1C1D1 中 O 為正方形 ABCD 的中心， M 為 BB1 的中點，求證：（ 1） D1O/ 平面 A1BC1;（ 2） D1O平面 MAC.精品文檔精品文檔4.如圖 , 在直三棱柱 ABC A 1B 1C1 中， AC 3，BC 4，AA 1 4， AB 5 ,點 D 是 AB 的中